1、 基础题组练1若直线mxny4与O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数是()A至多为1B2C1 D0解析：选B.由题意知，2，即b0)，则c1.因为过F2且垂直于x轴的直线与椭圆交于A，B两点，且|AB|3，所以，b2a2c2，所以a24，b2a2c2413，椭圆的方程为1.4斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2 B.C. D.解析：选C.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0.则x1x2t，x1x2.所以|AB|x1x2|，当t0时，|AB|max.
2、5中心为(0，0)，一个焦点为F(0，5)的椭圆，截直线y3x2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：选C.c5，设椭圆方程为1，联立方程消去y，整理得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0，由根与系数的关系得x1x21，解得a275，所以椭圆方程为1.6已知斜率为2的直线经过椭圆1的右焦点F1，与椭圆相交于A、B两点，则弦AB的长为_解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1，0)，直线AB的方程为y2(x1)由方程组消去y，整理得3x25x0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x2，x1x
3、20.则|AB| .答案：7直线m与椭圆y21交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k10)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为_解析：由点差法可求出k1，所以k1，即k1k2.答案：8(2019广东广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，点F关于直线yx的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为_解析：设椭圆方程为1(ab0)，由题意可知c1，即a2b21，设点F(1，0)关于直线yx的对称点为(m，n)，可得2.又因为点F与其对称点的中点坐标为，且中点在直线yx上，所以有，联立，解得即对称点为，代入椭圆方程可得1，联立，解得a2，b2，所以椭圆
4、方程为1.答案：19(2019安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C：1(ab0)的焦点坐标分别为F1(1，0)，F2(1，0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|5|PF2|且cosF1PF2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线l：ykxm与椭圆C交于A，B两点，点Q，若|AQ|BQ|，求k的取值范围解：(1)由题意设|PF1|r1，|PF2|r2，则3r15r2，又r1r22a，所以r1a，r2a.在PF1F2中，由余弦定理得，cosF1PF2，解得a2，因为c1，所以b2a2c23，所以椭圆C的标准方程为1.(2)联立方程，得，消去y得(34k2)x28kmx4m2120，设A(x1，y
5、1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，且48(34k2m2)0，设AB的中点为M(x0，y0)，连接QM，则x0，y0kx0m，因为|AQ|BQ|，所以ABQM，又Q，M为AB的中点，所以k0，直线QM的斜率存在，所以kkQMk1，解得m，把代入得34k2，整理得16k48k230，即(4k21)(4k23)0，解得k或k，故k的取值范围为.10已知椭圆1(ab0)，过点A(a，0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D(1，0)与椭圆交于E，F两点，若2，求直线EF的方程解：(1)由题意，ab，得a，b1，所以椭圆方程为y2
6、1.(2)设EF：xmy1(m0)代入y21，得(m23)y22my20，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由2，得y12y2.由y1y2y2，y1y22y，得，所以m1，m1(舍去)，直线EF的方程为xy1即xy10.综合题组练1(一题多解)(2019南宁模拟)已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4，1)，则椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析：选C.法一：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，得两式相减得.因为kAB1，且x1x28，y1y22，所以，e，故选C.法二：将直线方程xy50代入1(ab0)，得(
7、a2b2)x210a2x25a2a2b20，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，又由中点坐标公式知x1x28，所以8，解得a2b，又cb，所以e.故选C.2(综合型)设F1，F2分别是椭圆y21的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使()0(O为坐标原点)，则F1PF2的面积是()A4 B3C2 D1解析：选D.因为()()0，所以PF1PF2，F1PF290.设|PF1|m，|PF2|n，则mn4，m2n212，2mn4，mn2，所以SF1PF2mn1.3从椭圆1(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的
8、交点，且ABOP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是_解析：由题意可设P(c，y0)(c为半焦距)，kOP，kAB，由于OPAB，所以，y0，把P代入椭圆方程得1，所以，所以e.答案：4.如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为_解析：设椭圆的方程为1(ab0)，B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，b)(c，b)0，得b2ac，即a2c20即e2e10，e或e，又0e1，所以eb0)的右焦点为F(，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C的方程；(2
9、)设经过点A(1，0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N.若点B(0，1)在以线段MN为直径的圆上，求直线l的方程解：(1)由题可知c，2，a2b2c2，所以a2，b1.所以椭圆C的方程为y21.(2)易知当直线l的斜率为0或直线l的斜率不存在时，不合题意当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为xmy1，M(x1，y1)，N(x2，y2)。联立，得消去x可得(4m2)y22my30.16m2480，y1y2，y1y2.因为点B在以MN为直径的圆上，所以0.因为(my11，y11)(my21，y21)(m21)y1y2(m1)(y1y2)20，所以(m21)(m1)20，整理，得3m2
10、2m50，解得m1或m.所以直线l的方程为xy10或3x5y30.6(应用型)(2019唐山模拟)在直角坐标系xOy中，长为1的线段的两端点C，D分别在x轴、y轴上滑动，.记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0，1)作直线与曲线E相交于A，B两点，当点M在曲线E上时，求四边形AOBM的面积解：(1)设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y)由，得(xm，y)(x，ny)所以得由|1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲线E的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知点M坐标为(x1x2，y1y2)由题意知，直线AB的斜率存在设直线AB的方程为ykx1，代入曲线E的方程，得(k22)x22kx10，则x1x2，x1x2.y1y2k(x1x2)2.由点M在曲线E上，知(x1x2)21，即1，解得k22.这时|AB|x1x2|，原点到直线AB的距离d，所以平行四边形OAMB的面积S|AB|d.
