1、模块素养评价 (120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.设复数z满足=i,则|z|=() A.1B.C.D.2【解析】选A.因为=i,所以z=i,故|z|=1.2.设xR,向量a=(x,1),b=(1,-2),且ab,则|a+b|=()A.B.C.2D.10【解析】选B.因为ab,所以ab=0,所以x-2=0,所以x=2,所以a+b=(3,-1),|a+b|=.3.为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.总的基本事件是:(红黄,白紫);(红白,黄紫)
2、;(红紫,黄白),共3种.满足条件的基本事件是:(红黄,白紫);(红白,黄紫),共2种.故所求事件的概率为P=.4.设向量a,b满足|a+b|=,ab=4,则|a-b|=()A.B.2C.2D.【解析】选C.考查向量的数量积.因为|a+b|=,ab=4,所以|a+b|2-|a-b|2=4ab=16,所以|a-b|=2.5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【解析】选B.方法一:画Venn图,如图设只用非现金支付(不用现金支付)的概率为x,则0.45+0.15+x=1,解得x
3、=0.4,所以不用现金支付的概率为0.4.方法二:记“用现金支付”为事件A,“用非现金支付”为事件B,则“只用非现金支付(不用现金支付)”为事件B-(AB),由已知,P(A)=0.45+0.15=0.6,P(AB)=0.15,又P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.6+P(B)-0.15=1,所以P(B)=0.55,P(B-(AB)=P(B)-P(AB)=0.55-0.15=0.4.6.甲、乙两组工人制造零件的个数分别是:甲:9,9,10,10,12;乙:8,9,9,10,11.若分别从甲、乙两组中随机选取一名工人,则这两名工人制造的零件总数不超过20的概率为()A.B.C.D.【解
4、析】选B.甲组中5名工人分别记为a,b,c,d,e,乙组中5名工人分别记为A,B,C,D,E,分别从甲、乙两组中随机选取1名工人,共有25种方法,制造零件总数超过20的有:eB,eC,eD,eE,dE,cE,共6种,故这两名工人制造的零件总数不超过20的概率P=1-=.7.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2.若它们的侧面积相等且=,则的值是()A.B.C.D.【解析】选B.设甲、乙两个圆柱的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,则有2r1h1=2r2h2,即r1h1=r2h2,又=,所以=,所以=,则=.8.已知a,b,c分别是ABC的内角A,B,C所对的边
5、,点M为ABC的重心.若a+b+c=0,则C=()A.B.C.D.【解析】选D.因为M为ABC的重心,则+=0,所以=-,因为a+b+c=0,所以a(-)+b+c=0.即(b-a)+=0,因为与不共线,所以b-a=0,c-a=0,得abc=111,令a=1,b=1,c=,则cos C=-,所以C=.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.某校150名教职工中,有老年人20名,中年人50名,青年人80名,从中抽取30名作为样本.采用简单随机抽样法:抽签取出30个样本;采用分层随机抽样法:从老年人、中年人、青年人中抽取30个样本.下列说法中正确的
6、是()A.无论采用哪种方法,这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等B.采用方法抽样,这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等;并非如此C.采用方法抽样,这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等;并非如此D.采用方法抽样,从老年人、中年人、青年人中抽取的人数分别为4,10,16【解析】选AD.两种抽样方法中,每个人被抽到的概率都等于=,A对,BC错误.采用方法抽样,从老年人、中年人、青年人中抽取的人数分别为30=4,30=10,30=16,D对.10.已知直线l平面,直线m平面,则下面命题正确的为()A.lmB.lmC.lmD.lmm与不相交【解析】选ACD.由,l得l,又m,所以lm,
7、A正确;由,l得l或l,故不能得到lm,B错误;由l,lm得m,又m,所以,C正确;由lm,l得m或m,故m,不相交,D正确.11.下列命题正确的是()A.ab存在唯一的实数R,使得b=aB.e为单位向量,且ae,则a=|a|eC.|aaa|=|a|3D.若ab=bc且b0,则a=c【解析】选BC.A中,因为a=b=0时,不唯一,故A错;D中ab=bc|a|b|cos 1=|b|c|cos 2(1,2分别为a与b及b与c的夹角),又|b|0,所以由|a|cos 1=|c|cos 2推不出a=c,故D不正确.BC正确.12.如图所示,边长为2a的正ABC的中线AF与中位线DE相交于G,已知AED
8、是AED绕DE旋转过程中的一个图形,现给出下列结论,其中正确的是()A.动点A在平面ABC上的射影在线段AF上B.三棱锥A-FED的体积有最大值C.恒有平面AGF平面BCEDD.异面直线AE与BD不可能互相垂直【解析】选ABC.因为DEAG,DEGF,AGGF=G,所以DE平面AGF,又DE平面BCED,所以平面AGF平面BCED,故C正确.过A作AHAF,垂足为H,则AH平面AGF,所以AHDE,又DEAF=G,所以AH平面ABC,故A正确.三棱锥A-FED的底面FED的面积是定值,高是点A到平面FED的距离.易证当AG平面FED时距离(即高)最大,三棱锥A-FED的体积最大,故B正确.易知
9、BDEF,所以AEF是异面直线AE与BD所成的角(或其补角).正ABC的边长为2a,AE=a,EF=a,而AF的长度的取值范围是(0,a),当AF=a时,AE2+EF2=AF2,AEF=90,此时直线AE与BD互相垂直,故D错误.三、填空题(每小题5分,共20分)13.设aR,若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=.【解析】(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,所以a+1=0,a=-1.答案:-114.某种心脏病手术,成功率为0.6,现准备进行3例此种手术,利用计算机产生09之间取整数值的随机数,用0,1,2,3代表手术不成功,用4,5,6,7,8,9代表手术
10、成功,产生20组随机数:966,907,191,924,270,832,912,468,578,582,134,370,113,573,998,397,027,488,703,725,则恰好成功1例的概率为.【解析】设恰好成功1例的事件为A,A所包含的基本事件为191,270,832,912,134,370,027,703共8个.则恰好成功1例的概率为P(A)=0.4.答案:0.415.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为.【解析】由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为a.设O,O1分别为下、上底面的中心,且球心O2为O1O的中点,
11、又AD=a,AO=a,OO2=,设球的半径为R,则R2=A=a2+a2=a2,所以S球=4R2=4a2=a2.答案:a216.某班开展一次智力竞赛活动,共a,b,c三个问题,其中题a满分是20分,题b,c满分都是25分,每道题或者得满分,或者得0分,活动结果显示,全班同学每人至少答对一道题,有1名同学答对全部三道题,有15名同学答对其中两道题,答对题a与题b的人数之和为29,答对题a与题c的人数之和为25,答对题b与题c的人数之和为20,则该班同学中只答对一道题的人数是;该班的平均成绩是.【解析】设x,y,z分别是答对a,b,c题的人数,则有解得答对一道题的人数为(17+12+8)-31-21
12、5=4,全班总人数为4+15+1=20,全班总得分为1720+(12+8)25=840,平均成绩为=42.答案:442四、解答题(共70分)17.(10分)如图,在OBC中,A是边BC的中点,|=2|,DC和OA交于点E,设=a,=b.(1)用a和b表示向量,.(2)若=,求实数的值.【解析】(1)=+=+2=+2(-)=2-=2a-b;=+=+2(-)=2-=2a-b.(2)设=2a-b,则=+=2a-b+2a-b=(2+2)a-b,又=a,所以解得=.18.(12分)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到表格:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数140503002
13、00800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率.(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率.【解析】(1)由表知,电影公司收集的电影部数为140+50+300+200+800+510=2 000,获得好评的第四类电影部数为2000.25=50,所以所求概率为=0.025.(2)记“从第四类电影中随机选取的1部获得好评”为事件A,记“从第五类电影中随机选取的1部获得好评”为事件B,则事件“从第四类电影和第五类电
14、影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”可表示为A+B,由表知,P(A)=0.25,P(B)=0.2,所有电影是否获得好评相互独立,所以P()=1-P(A)=0.75,P()=1-P(B)=0.8,P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.250.8+0.750.2=0.35,即所求概率为0.35.19.(12分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cos A=,B=A+.(1)求b的值;(2)求ABC的面积.【解析】(1)在ABC中,由题意知,sin A=,又因为B=A+,所以sin B=sin=cos A=,由正弦定理,得b=3.(2)由
15、余弦定理,得cos A=c2-4c+9=0c=或3,又因为B=A+为钝角,所以bc,即c=,所以SABC=acsin B=.20.(12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.(1)证明:平面AEC平面BED.(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.【解析】(1)因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.(2)设AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得AG=GC=x,GB=GD=.因为AEEC,所以在RtAEC中,可得
16、EG=x.由BE平面ABCD,知EBG为直角三角形,可得BE=x.由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=ACGDBE=x3=.故x=2.从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3,EAD的面积与ECD的面积均为.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+2.21.(12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,BAC=90,AB=AC=2,AA1=.M,N分别为BC和CC1的中点,P为侧棱BB1上的动点.(1)求证:平面APM平面BB1C1C.(2)若P为线段BB1的中点,求证:A1N平面APM.(3)试判断直线BC1与平面APM是否能够垂直.若能垂直,求PB的值;若不能
17、垂直,请说明理由.【解析】(1)由已知,M为BC中点,且AB=AC,所以AMBC.又因为BB1AA1,且AA1底面ABC,所以BB1底面ABC.因为AM底面ABC,所以BB1AM,又BB1BC=B,所以AM平面BB1C1C.又因为AM平面APM,所以平面APM平面BB1C1C.(2)取C1B1中点D,连接A1D,DN,DM,B1C.由于D,M分别为C1B1,CB的中点,所以DMA1A,且DM=A1A,则四边形A1AMD为平行四边形,所以A1DAM.又A1D平面APM,AM平面APM,所以A1D平面APM,由于D,N分别为C1B1,C1C的中点,所以DNB1C.又P,M分别为B1B,CB的中点,
18、所以MPB1C,则DNMP.又DN平面APM,MP平面APM,所以DN平面APM.由于A1DDN=D,所以平面A1DN平面APM,由于A1N平面A1DN,所以A1N平面APM,(3)不能垂直.理由如下:假设BC1与平面APM垂直,由PM平面APM,则BC1PM,设PB=x,x0,.当BC1PM时,BPM=B1C1B,所以RtBPMRtB1C1B,所以=.由已知MB=,C1B1=2,BB1=,所以=,得x=.由于x=0,因此直线BC1与平面APM不能垂直.22.(12分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式
19、的使用情况,从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如表:支付金额不大于2 000元大于2 000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数;(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2 000元.结合(2)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化?
20、说明理由.【解析】(1)由题知,样本中仅使用A的学生有27+3=30人,仅使用B的学生有24+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为1 000=400.(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于2 000元”,则P(C)=0.04.(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2 000元”.假设样本仅使用B的学生中,本月支付金额大于2 000元的人数没有变化,则由(2)知,P(E)=0.04.答案示例1:可以认为有变化.理由如下:P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生,一旦发生,就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化,所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化.
