1、房山区2019-2020学年度第一学期期末检测试卷高一数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存.第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知点，则线段的中点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用中点坐标公式求解即可.【详解】由中点坐标公式，线段的中点坐标为，即.故选：A【点睛】本题主要考查中点坐标公式的应用，属于简单题.2.在平行四边形中，交于点O，则（ ）A. B. C. D. 【答案】
2、B【解析】【分析】根据向量加法的平行四边形法则和数乘求解即可.【详解】如图，在中，交于点，由平行四边形法则，所以.故选：B【点睛】本题主要考查向量加法的平行四边形法则和数乘的几何意义，属于简单题3.与向量平行的单位向量是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由计算即可得出答案.【详解】与向量平行的一个单位向量，所以.故选：C【点睛】本题主要考查向量的模和向量的坐标运算，属于基础题.4.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近表示满意度越高.现随机抽取位北京市民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8
3、，9，10.则这组数据的分位数是（ ）A. 7B. C. 8D. 【答案】C【解析】【分析】先计算分位数的位置，再求出这个数即可.【详解】由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，因为，所以这10个人的分位数是从小到大排列后第8个人的幸福指数，即8.故选：C【点睛】本题主要考查分位数的概念和计算，属于基础题.5.甲、乙两人某次飞镖游戏中的成绩如下表所示.甲、乙两人成绩的平均数分别记作，标准差分别记作，.则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】分别求出甲、乙的平均数和方差即可判断.【详解】由题意，所以；，所以故选：B【点睛】本题主要考查平均数和方差的计算，考查学生计
4、算能力，属于基础题.6.下列函数中是奇函数且在上单调递增是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.【详解】对A，函数是奇函数，在上单调递减，故错误；对B，函数是非奇非偶函数，故错误；对C，函数是偶函数，故错误；对D，函数是奇函数，在上单调递增，故正确.故选：D【点睛】本题主要考查幂函数的奇偶性和单调性，考查学生对基础知识的理解掌握，属于基础题.7.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别判断出、的范围，然后比较大小即可.【详解】，所以.故选：C【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的图像和性质，注意比较大
5、小时与0和1比较，属于基础题.8.已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，用基底表示，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】建立直角坐标系，用坐标表示出、和，并设，联立方程组求出和即可.【详解】如图建立直角坐标系，设正方形网格的边长为1，则，设向量，则，所以.故选：A【点睛】本题主要考查向量线性运算的坐标形式，属于基础题.9.当强度为x的声音对应的等级为分贝时，有（其中为常数）.装修电钻的声音约为分贝，普通室内谈话的声音约为分贝.则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由解析式分别求出装修电钻的声音强度和普
6、通室内谈话的声音强度，再求比值即可.【详解】设装修电钻的声音强度为，普通室内谈话的声音强度为，由题意，所以装修电钻的声音强度和普通室内谈话的声音强度比值为.故选：C【点睛】本题主要考查对数的运算，考查学生的计算能力，属于基础题.10.已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据的图像，判断的初步范围，再结合指数函数的图像，即可进行选择.【详解】因为函数对应方程的两根为，数形结合可知.故函数是单调增函数，且在轴的截距范围是，故选：D.【点睛】本题考查指数型函数的单调性，以及图像的辨识，属基础题.第二部分（非选择题共100分）二、填
7、空题共6小题，每小题5分，共30分.11.计算：_；_.【答案】 (1). 8 (2). 1【解析】【分析】利用指数的运算法则计算，利用对数的运算法则计算即可.【详解】由题意，.故答案为：8；1【点睛】本题主要考查指数和对数的运算法则，属于简单题.12.按先后顺序抛两枚均匀的硬币，则出现一正一反的概率为_.【答案】【解析】【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求解即可.【详解】由题意，每次抛硬币得到正面或反面的概率均为，则出现一正一反的概率.故答案为：【点睛】本题主要考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，考查学生理解分析能力，属于基础题.13.为估计池塘中鱼的
8、数量，负责人将条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞条鱼，其中带有标记的共5条.利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼_条.【答案】【解析】【分析】设池塘中原来有鱼条，由带标记的鱼和总的鱼比例相同列等式求解即可.【详解】由题意，设池塘中原来有鱼条，则由比值相同得，解得，故答案为：350【点睛】本题主要考查古典概型的应用，属于简单题.14.已知点，则向量的坐标是_；若A，B，C三点共线，则实数_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用点和点的坐标直接求出向量的坐标；再由共线定理求出求出即可.【详解】因为，所以；向量，因为A，B，C三点共线，所以，所以，解得故答案为：；【点睛
9、】本题主要考查向量的坐标表示和共线定理的坐标表示，属于基础题.15.已知函数当时，的值域为_；若在R上单调递减，则a的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】当时，分别求出和时的值域，再求并集即可；在R上单调递减，则需要时单调递减和，即可解出答案.【详解】由题意，当时，所以当时，的值域为，当时，单调递减，又，所以时的值域为，所以的值域为；若在R上单调递减，则需时单调递减，以及时，故，故.故答案：；【点睛】本题主要考查求函数值域、指数函数和分段函数的图像性质，属于中档题16.为了解中学生课外阅读情况，现从某中学随机抽取名学生，收集了他们一年内的课外阅读量（单位：本）等数据，以
10、下是根据数据绘制的统计图表的一部分.下面有四个推断：这名学生阅读量的平均数可能是本；这名学生阅读量的分位数在区间内；这名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间内；这名学生中的初中生阅读量的分位数可能在区间内.所有合理推断的序号是_.【答案】【解析】【分析】由学生类别阅读量图表可知；计算75%分位数的位置，在区间内查人数即可；设在区间内的初中生人数为，则，分别计算为最大值和最小值时的中位数位置即可；设在区间内的初中生人数为，则，分别计算为最大值和最小值时的25%分位数位置即可.【详解】在中，由学生类别阅读量中男生和女生人均阅读量知，这200名学生的平均阅读量在区间内，故错误；在中，阅读量在的人数
11、有人，在的人数有62人，所以这200名学生阅读量的75%分位数在区间内，故正确；在中，设在区间内的初中生人数为，则，当时，初中生总人数为116人，此时区间有25人，区间有36人，所以中位数在内，当时，初中生总人数为131人，区间有人，区间有36人，所以中位数在内，当区间人数去最小和最大，中位数都在内，所以这名学生中的初中生阅读量的中位数一定在区间内，故正确；在中，设在区间内的初中生人数为，则，当时，初中生总人数为116人，此时区间有25人，区间有36人，所以25%分位数在内，当时，初中生总人数为131人，区间有人，所以25%分位数在内，所以这名学生中的初中生阅读量的25%分位数可能在区间内，故
12、正确；故答案为：【点睛】本题主要考查频数分布表、平均数和分位数的计算，考查学生对参数的讨论以及计算能力，属于中档题.三、解答题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.已知函数，其中且.（1）求函数的定义域；（2）求函数的零点；（3）比较与的大小.【答案】（1）；（2）零点为2；（3）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1）由真数大于0求解即可；（2）由，可得函数的零点；（3）对分类讨论，结合对数函数的单调性求解即可.【详解】（1）由，得，所以函数的定义域为；（2）令，即，则，所以，所以函数的零点为2；（3），当时，函数是增函数，所以，即当时，函数是减函数，所以，即
13、【点睛】本题主要考查对数的性质和函数的零点，属于基础题.18.已知向量，.向量，.（1）求；（2）求向量，的坐标；（3）判断向量与是否平行，并说明理由.【答案】（1）；（2），；（3）向量与平行；详见解析【解析】【分析】（1）利用向量的模的计算公式求解即可；（2）利用向量坐标的数乘和坐标的加减法运算求解即可；（3）由向量共线的坐标运算判断.【详解】（1）由，得；（2），；（3），所以向量与平行.【点睛】本题主要考查向量模求法和平面向量线性运算的坐标形式，属于基础题.19.中学生研学旅行是通过集体旅行、集中食宿方式开展的研究性学习和旅行体验相结合的校外教育活动，是学校教育和校外教育衔接的创新形式
14、，是综合实践育人的有效途径.每年暑期都会有大量中学生参加研学旅行活动.为了解某地区中学生暑期研学旅行支出情况，在该地区各个中学随机抽取了部分中学生进行问卷调查，从中统计得到中学生暑期研学旅行支出（单位：百元）频率分布直方图如图所示.（1）利用分层抽样在，三组中抽取5人，应从这三组中各抽取几人？（2）从（1）抽取的5人中随机选出2人，对其消费情况进行进一步分析，求这2人不在同一组的概率；（3）假设同组中的每个数据都用该区间的左端点值代替，估计该地区中学生暑期研学旅行支出的平均值.【答案】（1）从这三组中抽取的人数分别为3，1，1（2）（3）百元【解析】【分析】（1）利用分层抽样和频率分布直方图先
15、求出再各区间的比例，再求出人数；（2）先求出基本事件的总数，再求出这2人不在同一组的基本事件数，再求概率即可；（3）由频率分布直方图的性质和平均数的计算公式即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图可知，三组的频数的比为，所以从中抽取：人，从中抽取：人，从中抽取：人，所以从这三组中抽取的人数分别为3，1，1；（2）记中的3人为，中的1人为b，中的1人为c，从这5人中随机选出2人，则样本空间含个样本点，设事件A：选出的2人不在同一组，则含7个样本点，所以；（3），估计该地区中学生暑期研学旅行支出的平均值为百元.【点睛】本题主要考查频率分布直方图性质、分层抽样、平均数的求法和古典概型，考查学生的计算
16、能力，属于基础题.20.甲、乙二人独立破译同一密码，甲破译密码的概率为，乙破译密码的概率为.记事件A：甲破译密码，事件B：乙破译密码.（1）求甲、乙二人都破译密码的概率；（2）求恰有一人破译密码的概率；（3）小明同学解答“求密码被破译的概率”的过程如下：解：“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”所以随机事件“密码被破译”可以表示为所以请指出小明同学错误的原因？并给出正确解答过程.【答案】（1）；（2）；（3）详见解析【解析】【分析】（1）由相互独立事件概率乘法公式求解即可；（2）恰有一人破译密码表示为，再利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式求解；（3）小明求解错误
17、的原因是事件和事件不互斥，然后将甲、乙二人中至少有一人破译密码表示为，再利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式求解.【详解】（1）由题意可知，且事件A，B相互独立，事件“甲、乙二人都破译密码”可表示，所以；（2）事件“恰有一人破译密码”可表示为，且，互斥所以（3）小明同学错误在于事件A，B不互斥，而用了互斥事件的概率加法公式正确解答过程如下“密码被破译”也就是“甲、乙二人中至少有一人破译密码”可以表示为，且，两两互斥所以【点睛】本题主要考查概率的求法、互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式，考查学生运算求解能力，属于基础题.21.已知函数（且）的图象过点，.若函数在定义域内
18、存在实数t，使得成立，则称函数具有性质M.（1）求实数a的值；（2）判断函数是否具有性质M？并说明理由；（3）证明：函数具有性质M.【答案】（1）；（2）函数不具有性质M，详见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）将点代入的解析式求解即可；（2）由，可得对数方程，运用对数的性质判断方程的解，即可判断是否具有性质；（3）由，求得方程的根或范围，结合新定义即可得证.【详解】（1）由题意，函数的图象过点，所以，解得；（2）函数不具有性质M，证明如下：函数的定义域为，方程，而方程无解，所以不存在实数使得成立，所以函数不具有性质M；（3）由（1）知，定义域为R，方程，设，函数的图象连续，且，所以函数在区间存在零点，所以存在实数t使得成立，所以函数具有性质M.【点睛】本题考查函数的新定义的理解和运用、函数方程的关系和零点定理，考查学生推理能力和计算能力，属于中档题.
