1、山西省长治市第二中学校2021届高三数学9月质量调研考试试题 理注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。2答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置。3全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4本试题满分150分，考试时间120分钟。5考试范围：高考全部内容。第卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1已知，若（为虚数单位）是实数，则（ ）ABCD2已知集合，则（ ）ABCD3某几何体的三视图如图，是边长为的等边三角形，为线段的中点，三视图中的点，分别对应几何体中的点，则在几何体侧面展开图中，之间
2、的距离为（ ）A BCD4若点为抛物线上的动点，为该抛物线的焦点，则的最小值为（ ）ABCD5“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）ABCD6已知点，向量，的夹角为，则实数 （ ）ABCD7已知各项为正数的等比数列满足则的值为（ ）ABCD8已知函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数在上的单调递减区间是（
3、）ABCD9在的展开式中，含项的系数为（ ）ABCD 10在中，内角、的对边分别为，满足，则面积的最大值为（ ）ABCD11在菱形中，将沿折起到的位置，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD 12定义函数，则函数在区间内的所有零点的和为（ ）ABCD第卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13已知，满足约束条件，使取得最小值的最优解有无数个，则的值为_14函数在点处的切线方程为，则_15已知，分别是双曲线的左、右焦点，是右支上过的一条弦，且，则的离心率为_16在一个棱长为的正方体形状的铁盒内放置一个正四面体（四个面都是正三角形的三
4、棱锥），且能使该正四面体在铁盒内任意转动，该正四面体的体积的最大值是_三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。必考题：共60分。17（本题满分12分）已知等差数列的前项和为，数列满足，（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和18（本题满分12分）如图，四棱锥中，平面底面，是中点（1）证明：直线平面；（2）点为线段的中点，求二面角的大小19（本题满分12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，学生线上学习。某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级
5、随机选取名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于小时的有人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足分的占，统计成绩后得到如下列联表：分数不少于分分数不足分合计线上学习时间不少于小时线上学习时间不足小时合计（1）请完成上面列联表；并判断是否有的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）（i）按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于分和分数不足分的两组学生中抽取名学生，设抽到不足分且每周线上学习时间不足小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；（ii）若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于分的学生中随机抽取人，求这些人中每周线上学习时间不少于小
6、时的人数的期望和方差。（下面的临界值表供参考）（参考公式，其中）20（本题满分12分）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线，交椭圆于异于点的，两点，直线，的斜率分别为，证明为定值21（本题满分12分）已知函数（1）讨论的单调区间与极值：（2）已知函数的图象与直线相交于，两点，证明：（二）选考题，共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与参数方程（本题满分10分）已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程（1）写出点的直角坐标及曲线的直
7、角坐标方程；（2）若为曲线上的动点，求的中点到直线：的距离的最小值。23选修45：不等式选讲（本题满分10分）设函数（1）求不等式的解集；（2）设，函数的最小值为，且，求证：理科数学答案一、选择题1A 2D 3C 4D 5A 6B 7D 8A 9C 10B 11D 12A二填空题13 14_ 5 16 三解答题17解：(1)数列的首项为，公差为，由题意得:1分解得：2分3分又4分6分（2） 由（1）可得：7分8分10分11分的表达式为12分18 证明：（1）如图，取中点，连接，因为为中位线，所以且，1分又因为且，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以，3分又因为平面，平面，所以平面5分（2）设
8、，则，取中点，所以又因为，所以四边形为矩形，所以，平面平面，所以平面，又因为三角形为正三角形，所以，7分故如图建立空间直角坐标系，可得，所以，设平面的一个法向量为，则，可取，易知平面的一个法向量，所以，又知二面角为锐角，则二面角的大小为12分19解：（1）分数不少于分分数不足分合计每周线上学习数学时间不少于小时每周线上学习数学时间不足小时合计由列联表可知：4分所以，有的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）(i)由分层抽样知，需要从分数不足分的学生中抽取，又分数不足分且每周线上学习时间不足小时的人数为人设抽取的人中每周线上学习时间不足小时的人数为，所以的可能取值为 的分布
9、列为：9分（ii）从全校数学成绩不少于分的学生中随机抽取人此人每周上线时间不少于小时的概率为，设从全校数学成绩不少于分的学生中随机抽取人，这些人中每周线上学习时间不少于小时的人数为，则，所以12分20解：（1）设，由条件知，得又，所以，故的方程为4分（2） 当直线的斜率不存在时，直线与椭圆只有一个交点，不满足题意。当直线的斜率存在时，设其方程为，将直线方程代入椭圆，整理得6分则，8分由题知不为零，从而综上，恒有12分21解：（1），1分当时，此时在上单调递增，无极值； 当时，由，得所以时，单调递减；时，3分此时函数有极小值为，无极大值4分（2）方法一：由题设可得，所以5分且由（1）可知，由，可知，所以设（），由，得，所以， 即，所以6分设（），8分则，设，则，所以所以在单调递减，10分所以在单调递减，11分所以12分方法二：由题设可得，所以，5分且由（1）可知，由，可知，所以由，得，6分作差得设（），由，得，所以，即，所以，8分设（），9分则所以在单调递增，11分所以12分22解：（1）点的直角坐标为；1分由得 2分将，代入，可得曲线的直角坐标方程为4分（2）直线 的直角坐标方程为，6分设点的直角坐标为，则，7分那么到直线的距离：，所以到直线的距离的最小值为10分23解： （1）2分，或，或，4分不等式的解集为；5分（2）证明：由（1）知，7分，当且仅当，即，时取等号，10分
