1、第2讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用做高考真题明命题趋向做真题高考怎么考1(2017高考全国卷)函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()A(，2) B(，1)C(1，) D(4，)解析：选D.由x22x80，得x4.因此，函数f(x)ln(x22x8)的定义域是(，2)(4，)注意到函数yx22x8在(4，)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是(4，)，选D.2(2019高考全国卷)函数f(x)2sin xsin 2x在0，2的零点个数为()A2 B3C4 D5解析：选B.f(x)2sin x2sin xcos x2sin x(1cos
2、x)，令f(x)0，则sin x0或cos x1，所以xk(kZ)，又x0，2，所以x0或x或x2.故选B.3(2019高考全国卷)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，)单调递减，则()AfffBfffCfffDfff解析：选C.因为函数y2x在R上是增函数，所以022201.因为函数ylog3x在(0，)上是增函数，所以log3log31.因为函数f(x)是偶函数，所以f(x)f(x)因为函数f(x)在(0，)上单调递减，且022201ff(log34)f.故选C.明考情备考如何学1基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，有时难度较大2函数的应用问题多体现在函数零
3、点与方程根的综合问题上，近几年全国卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难研考点考向破重点难点考点1 基本初等函数的图象及性质(综合型) 知识整合1. 指数与对数式的8个运算公式(1)amanamn.(2)(am)namn.(3)(ab)mambm.(4)loga(MN)logaMlogaN.(5)loga logaMlogaN.(6)logaMnnlogaM.(7)alogaNN.(8)logaN.注：(1)(2)(3)中，a0，b0；(4)(5)(6)(7)(8)中，a0且a1，b0且b1，M0，N0.2. 指数函数与对数函数的图象和性质指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(
4、a0，a1)的图象和性质，分0a1两种情况，当a1时，两函数在定义域内都为增函数，当0ae2的x的取值范围是()A(2，)B(1，)C(2，) D(3，)(2)(2018高考全国卷)已知函数f(x)ln(x)1, f(a)4，则f(a)_.【解析】(1)由f(x)exaex为奇函数，得f(x)f(x)，即exaexaexex，得a1，所以f(x)exex，则f(x)在R上单调递增，又f(x1)e2f(2)，所以x12，解得x1，故选B.(2)由f(a)ln(a)14，得ln(a)3，所以f(a)ln(a)1ln1ln(a)1312.【答案】(1)B(2)2 反思提升研究指数、对数函数的图象及性
5、质应注意的问题(1)指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围(2)研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件如求f(x)ln(x23x2)的单调区间，只考虑tx23x2与函数yln t的单调性，易忽视t0的限制条件 对点训练1(2019高考天津卷)已知alog27，blog38，c0.30.2，则a，b，c的大小关系为()Acba BabcCbca Dcalog242，blog381，c0.30.21，所以cb0且a1)满足f()f()，则f(1)0的解集为()A(0，1)B(，1)C(1，) D(0，)解析：选C.
6、因为函数f(x)logax(a0且a1)在(0，)上为单调函数，而f()，所以f(x)logax在(0，)上单调递减，结合对数函数的图象与性质可由f(1)0，得011，故选C.考点2 函数的零点(综合型) 知识整合1. 函数的零点及其与方程根的关系对于函数f(x)，使f(x)0的实数x叫做函数f(x)的零点函数F(x)f(x)g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，即函数yf(x)的图象与函数yg(x)的图象交点的横坐标2. 零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)1，0b1，0b1，f(x)axxb，所以f(x)为增函数，f(1)1
7、b0，则由零点存在性定理可知f(x)在区间(1，0)上存在零点2已知在区间(0，2上的函数f(x)且g(x)f(x)mx在区间(0，2内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是()A.B.C.D.解析：选A.由函数g(x)f(x)mx在(0，2内有且仅有两个不同的零点，得yf(x)，ymx在(0，2内的图象有且仅有两个不同的交点当ymx与y3在x(0，1相切时，mx23x10，94m0，m，结合图象可得当m2或00)模型，常用基本不等式、导数等知识求解典型例题 (2019高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1lg，其中星等为mk的星的亮度
8、为Ek(k1，2)已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()A. 1010.1B. 10.1C. lg 10.1 D. 1010.1【解析】根据题意，设太阳的星等与亮度分别为m1与E1，天狼星的星等与亮度分别为m2与E2，则由已知条件可知m126.7，m21.45，根据两颗星的星等与亮度满足m2m1lg ，把m1与m2的值分别代入上式得，1.45(26.7)lg，得lg 10.1，所以1010.1，故选A.【答案】A 规律方法应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：.(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应
9、用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答 对点训练1某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件该产品需另投入的成本为G(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，G(x)x210x；当年产量不小于80千件时，G(x)51x1 450.已知每件产品的售价为0.05万元通过市场分析，该工厂生产的产品能全部售完，则该工厂在这一产品的生产中所获年利润的最大值是_万元解析：因为每件产品的售价为0.05万元，所以x千件产品的销售额为0.051 000x50x万元当0x80时，年利润L(x)50xx210x250x240x250(x60)2950，所以当x60时，L(x)取得最大值，且最
10、大值为L(60)950万元；当x80时，L(x)50x51x1 4502501 2001 20021 2002001 000，当且仅当x，即x100时，L(x)取得最大值1 000万元由于9500，f(2)10，所以f(1)f(2)1，所以f(log36)3log3682，所以f(f(log36)f(2)log4(22)1.故选B.4(2019广州市综合检测(一)如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数hf(t)的图象大致是()解析：选B.水位由高变低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢
11、，半缸后下降速度先慢后快，故选B.5(2019广东省七校联考)已知xln ，ylog52，ze，则()AxyzByzxCzxy Dzy1，0log521，0e1，所以x最大因为2，所以0log52log5.因为e4，所以e2，即ln 2ln ，所以eeln，所以zy.综上可知，xzy，故选B.6(2019贵阳市第一学期监测)若函数f(x)x2，设alog54，blog，c2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系是()Af(a)f(b)f(c) Bf(b)f(c)f(a)Cf(c)f(b)f(a) Df(c)f(a)f(b)解析：选D.f(x)x2在(0，)上单调递增，而0loglog53l
12、og5412，所以f(b)f(a)3成立，则实数m的取值范围是()A(1，) B(，1)C. D.解析：选D.由0得x(2，2)，又y2x在(2，2)上单调递增，ylog3 log3 log3在(2，2)上单调递增，所以函数f(x)为增函数，又f(1)3，所以不等式f3成立等价于不等式ff(1)成立，所以解得m1，故选D.9已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间0，)上单调递增，若f(1)，则x的取值范围是()A. B(0，e)C. D(e，)解析：选C.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(ln x)ff(ln x)f(ln x)f(ln x)f(ln x)2f(ln x)，
13、所以f(1)等价于|f(ln x)|f(1)，又f(x)在区间0，)上单调递增，所以1ln x1，解得x0时，k，令g(x)1，x0，则g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增，因为g()10，所以在(，1)上存在一个a，使得g(a)0，所以y|g(x)|的图象如图所示由题意知，直线yk与y|g(x)|的图象有两个交点，所以0k1，故选C.二、填空题11已知函数y4ax91(a0且a1)恒过定点A(m，n)，则logmn_解析：依题意知，当x90，即x9时，y413，故定点为(9，3)，所以m9，n3，故logmnlog93.答案：12(2019高考全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0时
14、，x0时，f(x)f(x)eax，所以f(ln 2)ealn 28，所以a3.答案：313某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长记2014年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.617.008.87若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)axb，f(x)2xa，f(x)logxa.则你认为最适合的函数模型的序号为_解析：若模型为f(x)2xa，则由f(1)21a4，得a2，即f(x)2x2，此时f(2)6，f(3)10，f(4)18，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)logxa
15、，则f(x)是减函数，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)axb，由已知得，解得.所以f(x)x，xN，所以最适合的函数模型的序号为.答案：14对于实数a，b，定义运算“”：ab设f(x)(2x1)(x1)，且关于x的方程f(x)m0恰有三个互不相等的实数根，则实数m的取值范围是_解析：由2x1x1可得x0，由2x1x1可得x0.所以根据题意得f(x)即f(x)画出函数的图象，从图象上观察当关于x的方程f(x)m(mR)恰有三个互不相等的实数根时，函数的图象和直线ym有三个不同的交点，再根据函数的极大值为f，可得m的取值范围是.答案：三、解答题15某企业为打入国际市场，决定从A，B两种
16、产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：(单位：万美元)项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A产品20m10200B产品40818120其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m6，8另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税假设生产出来的产品都能在当年销售出去(1)写出该厂分别投资生产A，B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；(2)如何投资最合理(可获得最大年利润)？请你做出规划解：(1)由年销售量为x件，按利润的计算公式，可得生产A
17、，B两种产品的年利润y1，y2分别为y110x(20mx)(10m)x20，其定义域为xN|0x200；y218x(8x40)0.05x20.05x210x40，其定义域为xN|0x120(2)因为6m8，所以10m0，函数y1(10m)x20在0，200上是增函数，所以当x200时，生产A产品有最大利润，且y1max(10m)200201 980200m(万美元)又y20.05(x100)2460(xN，0x120)，所以当x100时，生产B产品有最大利润，且y2max460(万美元)因为y1maxy2max1 980200m4601 520200m所以当6m7.6时，可投资生产A产品200
18、件；当m7.6时，生产A产品或生产B产品均可(投资生产A产品200件或生产B产品100件)；当7.61时，判断f(x)在0，2m上零点的个数，并说明理由解：(1)f(x)exm1，令f(x)0，得xm.故当x(，m)时，exm1，f(x)1，f(x)0，f(x)单调递增所以当xm时，f(m)为极小值，也是最小值令f(m)1m0，得m1，即若对任意xR有f(x)0成立，则m的取值范围是(，1(2)当m1时，f(x)在0，2m上有两个零点，理由如下：由(1)知f(x)在0，2m上至多有两个零点，当m1时，f(m)1m0，f(0)f(m)1时，g(m)em20，所以g(m)在(1，)上单调递增，所以g(m)g(1)e20，即f(2m)0.所以f(m)f(2m)0，所以f(x)在(m，2m)上有一个零点所以f(x)在0，2m上有两个零点
