1、6.1平面向量的概念及线性运算第六章2022课标要求1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.4.通过实例分析,掌握平面向量的数乘运算及运算规则,理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.备考指导本节内容是平面向量的基础,复习时要注意辨析并理解相关概念,会进行向量的线性运算,能利用共线向量基本定理解决相关问题.涉及题目难度不大,对数学抽象学科素养体现较多.内容索引01020
2、3第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升第一环节 必备知识落实【知识筛查】1.向量的有关概念2.向量的加法(1)向量加法的线性运算(2)向量加法的运算律交换律:a+b=b+a.结合律:(a+b)+c=a+(b+c).知识拓展向量求和的多边形法则(1)已知n个向量,依次首尾相接,则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和,这称为向量求和的多边形法则,即(2)首尾顺次相接的若干向量求和,若构成一个封闭图形,则它们的和为0.3.向量的减法(1)相反向量定义:与向量a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量.性质:-(-a)=a,a+(-a)=(-a)+
3、a=0;如果a与b互为相反向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(2)向量的减法定义:a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.几何意义:a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.温馨提示1.记忆口诀:共起点,连终点,指向被减.在用三角形法则作向量减法时,只要记住“连接向量终点,箭头指向被减向量”即可.4.向量的数乘(1)定义:一般地,我们规定实数与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作a.长度:|a|=|a|.方向:当0时,a的方向与a的方向相同;当0)或反方向(1)或缩短(|1)为原来的|倍.(3)运算律:设,为实数,a,b为向量,则有(
4、a)=()a;(+)a=a+a;(a+b)=a+b.5.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b,以及任意实数,1,2,恒有(1a2b)=1a 2b.6.向量共线定理向量a(a0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数,使b=a.问题思考|a|-|b|与|ab|及|a|+|b|有什么关系?已知向量a,b,那么|a|-|b|与|ab|及|a|+|b|三者之间的关系为|a|-|b|ab|a|+|b|.(1)当a,b有一个为零向量时,不等式显然成立.(2)当a,b不共线时,如图所示.根据三角形的性质,有|a|-|b|a+b|a|+|b|
5、.同理可证|a|-|b|a-b|b|,则|a+b|=|a|-|b|(如图所示),|a-b|=|a|+|b|.图图图综上所述,得不等式|a|-|b|ab|a|+|b|.【知识巩固】DD4.设向量a,b不平行,向量a+b与a+2b平行,则实数=.第二环节 关键能力形成能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点1辨析平面向量的有关概念例1(1)对于非零向量a,b,“a+b=0”是“ab”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A若a+b=0,则a=-b,所以ab.若ab,则a+b=0不一定成立,故前者是后者的充分不必要条件.能力形成点1能力形成点2能力形成点
6、3(2)给出下列命题:若|a|=|b|,则a=b或a=-b;若A,B,C,D是不共线的四点,则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件;若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同;a=b的充要条件是|a|=|b|,且ab.其中真命题的序号是.解题心得对于向量的概念应注意以下几条:(1)向量的两个特征为大小和方向.向量既可以用有向线段和字母表示,也可以用坐标表示.(2)相等向量不仅模相等,而且方向要相同,故相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量.(3)向量与数量不同,数量可以比较大小,向量则不能,故向量只有相等与不相等,不可以比较大小.对点训练1(1)给出下列命题:两个具有公共终
7、点的向量,一定是共线向量;两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;若a=0(为实数),则必为零;已知,为实数,若a=b,则a与b共线.其中假命题的个数为()A.1B.2C.3D.4C假命题.方向相同或相反的非零向量是共线向量,另规定:零向量与任意向量共线.故中命题为假命题.真命题.因为向量有方向,所以它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小.假命题.当a=0时,不论为何值,a=0.假命题.当=0时,a=b,此时,a与b可以是任意向量.(2)设a0为单位向量,若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;若a与a0平行,则a=|a|a0;若a与a0平行,且|a|=1,则a=a0.上述
8、命题中,假命题的个数为.3向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相等,但方向不一定相同,故是假命题;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时,a=-|a|a0,故也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点2平面向量的线性运算B能力形成点1能力形成点2能力形成点3A能力形成点1能力形成点2能力形成点3解题心得1.进行向量运算时,要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质,把未知向量用已知向量表示出来.2.向量的线性运算类似于代数多项式的运算,
9、实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用.能力形成点1能力形成点2能力形成点3A能力形成点1能力形成点2能力形成点3B能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点3向量共线定理及其应用能力形成点1能力形成点2能力形成点3能力形成点1能力形成点2能力形成点3拓展延伸2若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”,则k为何值?解 因为ka+b与a+kb反向共线,所以存在实数,使ka+b=(a+kb)(0),又0,k=,所以k=-1.故当k=-1时,两向量反向共线.能力形成点1能力形成点2能力形成点3解题心得1.证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共
10、线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.2.向量a,b共线是指存在不全为零的实数1,2,使1a+2b=0成立;若1a+2b=0,当且仅当1=2=0时成立,则向量a,b不共线.能力形成点1能力形成点2能力形成点3D能力形成点1能力形成点2能力形成点3D第三环节 学科素养提升易错警示都是零向量“惹的祸”典例1下列说法正确的是.(填序号)向量a,b共线的充要条件是有且仅有一个实数,使b=a;在ABC中,不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|中两个等号不可能同时成立;只有方向相同或相反的向量是平行向量;若向量a,b不共线,则向量a+b与向量a-b必不共线.答案:解析:因
11、为向量a与b不共线,所以向量a,b,a+b与a-b均不为零向量.若a+b与a-b平行,则存在实数使a+b=(a-b),即(-1)a=(1+)b,此时无解,故假设不成立,即a+b与a-b不共线.故正确;显然错误.典例2下列叙述错误的是.若非零向量a与b方向相同或相反,则a+b与a,b之一的方向相同;|a|+|b|=|a+b|a与b方向相同;若a=b,则a=b.答案:解析:对于,当a+b=0时,其方向任意,它与a,b的方向都不相同;对于,当a,b中有一个为零向量时,结论不成立;对于,因为两个向量之和仍是一个向量,所以;对于,当=0时,不管a,b的大小与方向如何,都有a=b,此时不一定有a=b.反思提升在向量的有关概念中,定义长度为0的向量叫做零向量,其方向是任意的,并且规定:0与任一向量平行.由于零向量的特殊性,在两个向量共线或平行问题上,如果不考虑零向量,那么往往会得出错误的结论.在向量的运算中,很多学生也往往忽视0与0的区别,导致结论错误.
