1、课时素养评价 三十四空间图形的体积 (20分钟35分)1.一个正方体表面积与一个球表面积相等,那么它们的体积比是()A.B.C.D.【解析】选A.设a为正方体的棱长,R为球的半径,由6a2=4R2得,=,所以=.2.如图,ABC-ABC是体积为1的棱柱,则四棱锥C-AABB的体积是()A.B.C.D.【解析】选C.因为VC-ABC=V柱=,所以VC-AABB=1-=.3.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为_.【解析】设正方体棱长为a,则a3=8,所以a=2.所以正方体的体对角线长为2,所以正方体外接球的半径为,所以球的表面积为4()2=12.答案:124.半径为2的半圆卷成
2、一个圆锥,则它的体积为_.【解析】由题意可知该圆锥的侧面展开图为半圆,如图所示,设圆锥底面半径为r,高为h,则所以所以它的体积为12=.答案:5.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是_cm.【解析】设球的半径为x cm,由题意得x28=x26x-x33,解得x=4.答案:46.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积.【解析】取正方形ABCD的中心O1,连接SO1并延长交球面于点E.连接CO1,CE,如图.则球心O在SE上,即SE为球的直
3、径,且SCEC.因为AB=3,所以O1C=3.在RtSO1C中,SC=2,所以SO1=.在RtSCE中,RtSCERtSO1C,所以SE=4.所以球半径R=2.所以球的表面积为S=4R2=4(2)2=48. (30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.设正六棱锥的底面边长为1,侧棱长为,那么它的体积为()A.6B.C.2D.2【解析】选B.由正六棱锥底面边长为1和侧棱长为,可知高h=2,又因为底面积S=,所以体积V=Sh=2=.2.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图
4、,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛【解析】选B.设底面圆半径为R尺.因为米堆底部弧长为8尺,所以2R=8,所以R=.所以体积V=R25=5.因为3,所以V(立方尺).所以堆放的米约为22(斛).3.已知一个表面积为24的正方体,假设有一个与该正方体每条棱都相切的球,则此球的体积为()A.B.4C.D.【解析】选D.设正方体的棱长为a,则6a2=24,解得a=2.又球与正方体的每条棱都相切,则正方体的面对角线长为2,等
5、于球的直径长,所以球的半径长是,所以此球的体积为()3=.4.正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为()A.3B.C.D.1【解析】选B.如图所示,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为,故底面积为()2=2;四棱锥的高为1,故四棱锥的体积为21=.则几何体的体积为2=.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形,如图所示,则正确的是()【解析】选ABC.正三棱锥内接于球,故其各个顶点均
6、在球面上,若过球心的截面恰好截得三棱锥的面为三角形,则根据其顶点是否在截面上,有如下讨论:当用过球心且平行于三棱锥某底面的平面去截球时,三个点都不在截面上,则截面近似A;当截面是过球心和三棱锥两个顶点的平面时,它交对棱于中点,中点不在球上,也就不在截面上,则截面近似B;当截面是过三棱锥一顶点和球心的平面时,截得的面除了B的情况外,大都是C的情况,即另两点不在球(截面)上;当三棱锥的三个顶点都在截面上时,截面不过球心,与题意矛盾.综上可知,只有D是错误的.6.正三棱锥S-ABC的外接球半径为2,底面边长AB=3,则此棱锥的体积可能是()A.B.C.D.3【解析】选AB.设正三棱锥的高为h,球心在
7、正三棱锥的高所在的直线上,设H为正三棱锥底面的中心.因为底面边长AB=3,所以AH=AD=,当顶点S与球心在底面ABC的同侧时,如图,有AH2+OH2=OA2,即+(h-2)2=22,解得h=3或h=1(舍去),所以三棱锥的体积为33=.当顶点S与球心在底面ABC的异侧时,如图,有AH2+OH2=OA2,即+(2-h)2=22,解得h=1或h=3(舍去),所以三棱锥的体积为31=,综上三棱锥的体积为或.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,一个正三棱柱容器,底面边长为a,高为2a,内装水若干,将容器放倒,把一个侧面作为底面,如图,这时水面恰好为中截面,则图中容器内水面的高度是_.【解析】
8、设题图中容器内水面的高度为h,水的体积为V,则V=SABCh.又题图中水组成了一个直四棱柱,其底面积为SABC,高度为2a,则V=SABC2a,所以h=a.答案:a8.湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个直径为6 cm,深为1 cm的空穴,则该球半径是_cm,表面积是_cm2.【解析】设球心为O,OC是与冰面垂直的一条半径,冰面截球得到的小圆圆心为D,AB为小圆D的一条直径,设球的半径为R cm,则OD=R-1,则(R-1)2+32=R2,解得R=5,所以该球表面积为S=4R2=452=100(cm2).答案:5100四、解答题(每小题10分,共20分)9.若一个底面边长为
9、,侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上,求该球的体积和表面积.【解析】在底面正六边形ABCDEF中,连接BE,AD交于O,连接BE1,则BE=2OE=2DE=,在RtBEE1中,BE1=2,所以球的直径2R=2,则R=,所以球的体积为V球=R3=4,球的表面积S球=4R2=12.10.如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一个几何体,求阴影部分形成的几何体的表面积(其中BAC=30)及其体积.【解析】如图所示,过点C作CO1AB于点O1,在半圆中可得BCA=90,BAC=30,AB=2R,所以AC=R,BC=R,CO1=R,所以S球=4R2,=RR=R2
10、,=RR=R2,S几何体表=S球+=R2,所以旋转所得到的几何体的表面积为R2.又V球=R3,=AO1C=R2AO1,=BO1C=R2BO1,又AO1+BO1=2R,V几何体=V球-(+)=R3.如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用9.6 m铁丝,再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径r取何值时,S取得最大值?并求出该最大值(结果精确到0.01 m2).【解析】由题意可知矩形的长即圆柱的母线长为=1.2-2r,所以塑料片面积S=r2+2r(1.2-2r)=-3r2+2.4r=-3(r2-0.8r)=-3(r-0.4)2+ 0.48.所以当r=0.4时,S有最大值0.48,约为1.51 m2.
