1、第四节椭圆与相关曲线位置关系问题 选题明细表知识点、方法题号椭圆与双曲线1,4,7,12椭圆与抛物线2,3椭圆与圆8,9,10,11,14圆锥曲线综合5,6,13,15一、选择题1.已知双曲线-=1和椭圆+=1(a0,mb0)的离心率互为倒数,那么以a,b,m为边的三角形是(B)(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)锐角或钝角三角形解析:双曲线和椭圆的离心率分别为e1,e2,则e1e2=1.因为e1=,e2=,所以=1,化简,得a2+b2=m2,所以以a,b,m为边的三角形是直角三角形.2.在同一坐标系中,方程ax2+by2=1与ax+by2=0(ab0)的曲线大致是(D)解析
2、:将方程ax2+by2=1与ax+by2=0转化为+=1,y2=-x.因为ab0,所以0,所以椭圆的焦点在y轴上.因为ab0,所以-1)与双曲线C2:-y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则(A)(A)mn且e1e21(B)mn且e1e21(C)mn且e1e21(D)m1解析:由椭圆C1:+y2=1(m1)与双曲线C2:-y2=1(n0)的焦点重合,可得m-1=n+1,即m=n+2,则mn,由=1,则e1e21,故选A.5.(2020浙江温州模拟)已知椭圆+=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且与x轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,直线AF2与椭圆的另一
3、个交点为C,若SABC=3,则椭圆的离心率为(A)(A)(B)(C)(D)解析:如图所示,因为SABC=3,所以|AF2|=2|F2C|.A(-c,),直线AF2的方程为:y-0=(x-c),整理得,y=-(x-c),代入椭圆方程+=1(ab0),可得(4c2+b2)x2-2cb2x+b2c2-4a2c2=0.所以xC(-c)=,解得xC=.因为=2,所以c-(-c)=2(-c).化为a2=5c2,解得e=.故选A.6.已知椭圆C1:+=1(ab0)与双曲线C2:x2-=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C1恰好将线段AB三等分,则(C)(A)a2=(
4、B)a2=13(C)b2=(D)b2=2解析:依题意a2-b2=5,根据对称性,不妨取一条渐近线y=2x,由解得x=,故被椭圆截得的弦长为,又C1把AB三等分,所以=,两边平方并整理得a2=11b2,代入a2-b2=5得b2=.故选C.7.在等腰梯形ABCD中,ABCD,且|AB|=2,|AD|=1,|CD|=2x,其中x(0,1),以A,B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1,以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,若对任意x(0,1)不等式t(-1+)=,则t,故选B.8.直线过椭圆+=1(ab0)的左焦点F和上顶点A,与圆心在原点的圆交于P,Q两点,若=3,POQ=120,则椭圆的离
5、心率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:设F(-c,0),过O作PQ垂线,垂足为M,因为OP=OQ,POQ=120,所以OPM=30,在RtOPM中,=tanOPM=tan 30=,在RtOMF中,k=tanMFO=,又k=,所以2c=b,e=,故选D.二、填空题9.(2019宁波十校5月模拟11)加斯帕尔蒙日是19世纪著名的几何学家,创立了画法几何学,推动了空间解析几何学的独立发展.他给出了蒙日圆的定义,即:“在椭圆中,任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,它的圆心是椭圆中心,半径等于长半轴与短半轴平方和的算术平方根”.已知椭圆方程为:+=1,写出该椭圆任意两条互相垂直的切线的交点形
6、成的圆的方程为,过点(3,6)且与该圆相切的直线的一般方程为.解析:由条件易知蒙日圆方程为x2+y2=9;设切线为y-6=k(x-3),由d=3,解得k=,当斜率不存在时x=3检验也成立.答案:x2+y2=9x-3=0或3x-4y+15=010.已知P为椭圆+=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,则|PM|+|PN|的最小值为.解析:将P点固定于一处,设两圆心分别为C1,C2(r1=1,r2=2,且C1,C2为椭圆的焦点).|PC1|PM|+|MC1|,|PC2|PN|+|NC2|,|PM|+|PN|=|PM|+|MC1|+|PN|+|NC2|-(
7、|MC1|+|NC2|)|PC1|+|PC2|- (|MC1|+|NC2|)=2a-(r1+r2)=10-3=7.答案:711.若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点(1,)作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则直线AB的方程为 ,椭圆的离心率为.解析:由题意可设斜率存在的切线的方程为y-=k(x-1)(k为切线的斜率),即2kx-2y-2k+1=0,由=1,解得k=-,所以圆x2+y2=1的一条切线方程为3x+4y-5=0,求得切点A(,),当直线l与x轴垂直时,k不存在,直线方程为x=1,易知另一切点为B(1,0),则直线AB的方程为y=-2x+2.
8、令y=0得右焦点为(1,0),即c=1,令x=0得上顶点为(0,2),即b=2,所以a2=b2+c2=5,故所求椭圆的离心率为.答案:y=-2x+212.椭圆C1:+=1(a1b10)与双曲线C2:-=1(a20,b20)有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,e1,e2分别是两曲线的离心率,若PF1PF2,则4+的最小值为,此时e1=.解析:由题意设焦距为2c,椭圆长轴长为2a1,双曲线实轴为2a2,令P在双曲线的右支上,由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2a2,由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1,又因为PF1PF2,所以|PF1|2+|PF2|2=4c2,2+2,得|P
9、F1|2+|PF2|2=2+2,将代入,得+=2c2,所以4+=+=+=+2=.当且仅当=2,代入+=2c2得=2c2得e1=.答案:13.点A(0,1)是椭圆+y2=1(a1)的一个顶点,若以A为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形有3个,则a的取值范围是.解析:不妨设AC的斜率为k(k0),则直线AC的方程为y=kx+1,代入+y2=1(a1)得(a2k2+1)x2+2a2kx=0,得xC=-,所以|AC|=,同理|AB|=.由|AB|=|AC|得(k-1)k2+(1-a2)k+1=0(*),考虑关于k的方程k2+(1-a2)k+1=0,当0时显然两根均不为1,此时方程(*)有3个不等正根
10、,由=-40得a,所以a时,这样的等腰直角三角形有3个.答案:(,+)三、解答题14. (2019浙江重点中学高三上期末热身联考)已知椭圆+=1 (ab0)的离心率为,以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为2.(1)求椭圆的方程;(2)如图,斜率为k的直线l过椭圆的右焦点F,且与椭圆交于A,B两点,以线段AB为直径的圆截直线x=1所得的弦的长度为,求直线l的方程.解:(1)由椭圆+=1(ab0)的离心率为,得c=a,b=a,由S=2cb=a2=2,得a=,b=,所以椭圆方程为+=1.(2)设直线lAB:y=k(x-2),A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0)
11、.联立方程得(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0,x1+x2=,x1x2=.所以x0=,|AB|=|x1-x2|=.点M到直线x=1的距离为d=|x0-1|=-1=.由以线段AB为直径的圆截直线x=1所得的弦的长度为得()2-d2=()2,所以2-()2=()2,解得k=1,所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2.15.如图所示,椭圆C1:+=1(ab0)的离心率为,其右焦点与抛物线C2:y2=4x的焦点F重合,过F作两条互相垂直的直线分别交C1,C2于A,B和C,D.(1)求C1的方程;(2)求四边形ACBD面积的最小值.解:(1)因为e=,所以a=2c,又因为c=1,所以a=2,b2=3,所以C1的方程为+=1.(2)若ABy轴,则CDx轴,此时|AB|=4,|CD|=4,所以S=|AB|CD|=8.若AB不垂直于y轴,显然CD也不垂直于x轴,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),设lAB:x=ty+1(t0),则lCD:x=-y+1,联立得(3t2+4)y2+6ty-9=0,所以y1+y2=-,y1y2=-,所以|AB|=|y1-y2|=,联立得ty2+4y-4t=0,所以y3+y4=-,y3y4=-4,所以|CD|=|y3-y4|=,所以S=|AB|CD|=,令m=t2+11,则S=8,综上Smin=8.
