1、第1课时函数的单调性与最值 基础题组练1(2019高考北京卷)下列函数中，在区间(0，)上单调递增的是()AyxB. y2xCylogx Dy解析：选A.对于幂函数yx，当0时，yx在(0，)上单调递增，当0，且a1)，当0a1时，yax在(，)上单调递增，而选项B中的函数y2x可转化为y，因此函数y2x在(0，)上单调递减，故选项B不符合题意；对于对数函数ylogax(a0，且a1)，当0a1时，ylogax在(0，)上单调递增，因此选项C中的函数ylogx在(0，)上单调递减，故选项C不符合题意，故选A.2函数f(x)x在上的最大值是()A. BC2 D2解析：选A.函数f(x)x的导数为
2、f(x)1，则f(x)0，可得f(x)在上单调递减，即f(2)为最大值，且为2.3已知函数f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是()A(1，1) B(0，1)C(1，0)(0，1) D(，1)(1，)解析：选C.由f(x)为R上的减函数且ff(1)，得即所以1x0或0x1.故选C.4若函数f(x)x2a|x|2，xR在区间3，)和2，1上均为增函数，则实数a的取值范围是()A. B6，4C3，2 D4，3解析：选B.由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，)上的单调性即可由题意知函数f(x)在3，)上为增函数，在1，2上为减函数，故2，3，即a6，45
3、定义新运算“”：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2，2的最大值等于()A1 B1C6 D12解析：选C.由已知得，当2x1时，f(x)x2；当1x2时，f(x)x32.因为f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数，所以f(x)的最大值为f(2)2326.6函数f(x)|x2|x的单调减区间是 解析：由于f(x)|x2|x结合图象可知函数的单调减区间是1，2答案：1，27若函数f(x)在区间2，a上的最大值与最小值的和为，则a 解析：由f(x)的图象知，f(x)在(0，)上是减函数，因为2，a(0，)，所以f(x)在2，a上也是减函数，所以f(x
4、)maxf(2)，f(x)minf(a)，所以，所以a4.答案：48已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，3)，B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式3f(x1)1的解集为 解析：由函数f(x)是R上的增函数，A(0，3)，B(3，1)是其图象上的两点，知不等式3f(x1)1，即为f(0)f(x1)f(3)，所以0x13，所以1x2.答案：(1，2)9已知函数f(x)2x的定义域为(0，1(a为实数)(1)当a1时，求函数yf(x)的值域；(2)求函数yf(x)在区间(0，1上的最大值及最小值，并求当函数f(x)取得最值时x的值解：(1)当a1时，f(x)2x，任取0x2x11，则f(x1
5、)f(x2)2(x1x2)(x1x2).因为0x20，x1x20.所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0，1上单调递增，当x1时取得最大值1.所以f(x)的值域为(，1(2)当a0时，yf(x)在(0，1上单调递增，无最小值，当x1时取得最大值2a；当a0时，f(x)2x，当 1，即a(，2时，yf(x)在(0，1上单调递减，无最大值，当x1时取得最小值2a；当 0，x0)(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值解：(1)证明：任取x1x20，则f(x1)f(x2)，因为x1x20，所以x1x20，x1x20，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1
6、)f(x2)，所以f(x)在(0，)上是增函数(2)由(1)可知，f(x)在上为增函数，所以f2，f(2)2，解得a.综合题组练1已知函数f(x)对任意的x1x2都有(x1x2)f(x2)f(x1)0成立，则实数a的取值范围是()A(，3 B(，3)C(3，) D1，3)解析：选D.由(x1x2)f(x2)f(x1)0，得(x1x2)f(x1)f(x2)0，所以函数f(x)在R上单调递减，所以解得1a3.故选D.2(创新型)对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是 解析：依题意，h(x)当02时，h(x)3x是
7、减函数，所以h(x)在x2时，取得最大值，h(2)1.答案：13已知f(x)(xa)(1)若a2，试证明f(x)在(，2)上单调递增；(2)若a0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围解：(1)证明：设x1x20，x1x20，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在(，2)上单调递增(2)设1x10，x2x10，所以要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0恒成立，所以a1.综上所述，a的取值范围为(0，14已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)证明：任取x1，x2，且x1x2，则1，由于当x1时，f(x)0，所以f0，即f(x1)f(x2)0，因此f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间上是单调递减函数(3)因为f(x)在(0，)上是单调递减函数，所以f(x)在2，9上的最小值为f(9)，由ff(x1)f(x2)得ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f(9)2.所以f(x)在2，9上的最小值为2.
