1、5.3.5 随机事件的独立性1.事件的相互独立性定义设A,B为两个事件,若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.【思考】互斥事件与相互独立事件的区别是什么?提示:相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A,B同时发生,记作:AB互斥事件A,B中有一个发生,记作:AB(或A+B)计算公式P(AB)=P(A)P(B)P(AB)=P(A)+P(B)2.相互独立事件性质及计算公式当事件A,B相互独立时,A与,与B,与也相互独立.若事件A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B);若事件A1,A2,An
2、相互独立,则P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An).【思考】怎样用语言描述相互独立事件同时发生的概率?提示:相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)若事件A,B相互独立,则()(2)若事件A与相互独立,则B与相互独立.()【解析】(1).若事件A,B相互独立,则也相互独立,故(1)正确.(2).由相互独立事件的概念可判.2.坛中有黑、白两种颜色的球,从中进行有放回地摸球,用A1表示第一次摸得白球,A2表示第二次摸得白球,则A1与A2是()A.相互独立事件B.不相互独立事件C.互斥事件D.对立事件【解析】选A.由
3、概率的相关概念得A1与A2是互不影响的两个事件,故是相互独立的事件.3.若事件E与F相互独立,且P(E)=P(F)=,则P(EF)的值等于()A.0B.C.D.【解析】选B.P(EF)=P(E)P(F)=4.甲、乙两人投篮命中率分别为则甲、乙两人各投一次,恰好命中一次的概率为_.【解析】事件“甲投篮一次命中”记为A,“乙投篮一次命中”记为B,“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C,则C=且互斥,P(C)=P()=P(A)P()+P()P(B)=答案:类型一 相互独立事件的判断【典例】1.下列事件中,A,B是相互独立事件的是()A.一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面”,B=“第二次为反面”
4、B.袋中有2白,2黑的小球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”C.掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”D.A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”2.甲、乙两名射手同时向一目标射击,设事件A:“甲击中目标”,事件B:“乙击中目标”,则事件A与事件B()A.相互独立但不互斥B.互斥但不相互独立C.相互独立且互斥D.既不相互独立也不互斥【思维引】1.利用独立性概念的直观解释进行判断.2.判断事件“甲击中目标”与事件“乙击中目标”发生与否是否相互影响.【解析】1.选A.把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影响,故A选项是相
5、互独立事件;B中是不放回地摸球,显然A事件与B事件不相互独立;对于C,应为互斥事件,不相互独立;D是条件概率,事件B受事件A的影响.故选A.2.选A.对同一目标射击,甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的,所以事件A与B相互独立;对同一目标射击,甲、乙两射手可能同时击中目标,也就是说事件A与B可能同时发生,所以事件A与B不是互斥事件.故选A.【内化悟】怎样判断两个事件是否相互独立?提示:判断两个事件是否相互独立,可以利用运算P(AB)=P(A)P(B)或从实际理解两个事件发生与否是否相互影响.【类题通】1.利用相互独立事件的定义(即P(AB)=P(A)P(B)可以准确地判定两个事件是否相互独立,
6、这是用定量计算方法,较准确,因此我们必须熟练掌握.2.判别两个事件是否为相互独立事件也可以从定性的角度进行分析,即看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响.没有影响就是相互独立事件,有影响就不是相互独立事件.【习练破】下列每对事件中,哪些是互斥事件,哪些是相互独立事件?(1)1 000张有奖销售的奖券中某张奖券是一等奖与该张奖券是二等奖.(2)甲,乙两人同时购买同一期的双色球彩票各一张,甲中奖与乙中奖.(3)甲组3名男生、2名女生,乙组2名男生、3名女生,现从甲,乙两组中各选1名同学参加演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”.(4)容器内盛有5个白球和3个黄球,“从8
7、个球中任意取出1个,取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的还是白球”.【解析】(1)一张奖券不可能既是一等奖又是二等奖,即这两个事件不可能同时发生,故它们是互斥事件.(2)由双色球的中奖规则可知,甲是否中奖对乙是否中奖没有影响,反之亦然,故它们是相互独立事件.(3)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响,反之亦然,所以它们是相互独立事件.(4)“从8个球中任意取出1个,取出的是白球”的概率为,若前一事件发生了,则“从剩下的7个球中任意取出1个,取出的仍是白球”的概率为;若前一事件没有发生,则后一事件发生的概率为.可见,前一事
8、件是否发生,对后一事件发生的概率有影响,所以二者不是相互独立事件,也不是互斥事件.类型二 相互独立事件发生的概率【典例】甲、乙2个人独立地破译一个密码,他们能译出密码的概率分别为,求:世纪金榜导学号(1)2个人都译出密码的概率.(2)2个人都译不出密码的概率.(3)至多1个人译出密码的概率.【思维引】明确已知事件的概率及其关系把待求事件的概率表示成已知事件的概率选择公式计算求值【解析】记“甲独立地译出密码”为事件A,“乙独立地译出密码”为事件B,A与B为相互独立事件,且P(A)=,P(B)=.(1)“2个人都译出密码”的概率为:P(AB)=P(A)P(B)=(2)“2个人都译不出密码”的概率为
9、:=1-P(A)1-P(B)=(1-)(1-)=.(3)“至多1个人译出密码”的对立事件为“2个人都译出密码”,所以至多1个人译出密码的概率为:1-P(AB)=1-P(A)P(B)=1-【类题通】1.求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件之间是相互独立的.(2)确定这些事件可以同时发生.(3)求出每个事件的概率,再求积.2.使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时,要掌握公式的适用条件,即各个事件是相互独立的,而且它们能同时发生.【习练破】面对H7N9流感病毒,各国医疗科研机构都在研究疫苗,现有A,B,C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是求:(1)他们都研
10、制出疫苗的概率.(2)他们都失败的概率.(3)他们能够研制出疫苗的概率.【解析】令事件A,B,C分别表示A,B,C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗,依题意可知,事件A,B,C相互独立,且(1)他们都研制出疫苗,即事件ABC发生,故P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=(2)他们都失败即事件发生.故=(1-P(A)(1-P(B)(1-P(C)(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”,结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P=1-类型三 相互独立事件概率的实际应用【典例】红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A,B,C进行围棋比赛,甲对A、乙对B、丙对C各一盘.已知甲胜A、乙
11、胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.求:世纪金榜导学号(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率.(2)求红队至少两名队员获胜的概率.【思维引】弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的,及这些事件间的关系,然后选择相应概率公式求值.【解析】设甲胜A的事件为D,乙胜B的事件为E,丙胜C的事件为F,则分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件.因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5,由对立事件的概率公式知P()=0.4,P()=0.5,P()=0.5.(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有以上3个事
12、件彼此互斥且独立.所以红队有且只有一名队员获胜的概率为P1=0.60.50.5+0.40.50.5+0.40.50.5=0.35.(2)方法一:红队至少两人获胜的事件有:由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立,因此红队至少两人获胜的概率为=0.60.50.5+0.60.50.5+0.40.50.5+0.60.50.5=0.55.方法二:“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件,而红队都不获胜为事件,且P()=0.40.50.5=0.1.所以红队至少两人获胜的概率为P2=1-P1-P()=1-0.35-0.1=0.55.【内化悟】求复杂事件的概率通常有哪些思路?提示:(1)
13、划分为几个互斥事件相加.(2)转化为求其对立事件的概率.【类题通】求复杂事件的概率一般可分三步进行(1)列出题中涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们.(2)理清各事件之间的关系,恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件.(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算.【习练破】三个元件T1,T2,T3正常工作的概率分别为将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路,如图所示,求电路不发生故障的概率.【解析】记“三个元件T1,T2,T3正常工作”分别为事件A1,A2,A3,则P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=.不发生故障的事件为(A2A3)A1,所以不发生故障的概率为P=P(A2A3)A1=P(A2A3)P(A1)
