1、5.1.4用样本估计总体1.用样本估计总体(1)前提样本的容量恰当,抽样方法合理.(2)必要性在容许一定误差存在的前提下,可以用样本估计总体,这样能节省人力和物力.有时候总体的数字特征不可能获得,只能用样本估计总体.(3)误差估计一般是有误差的.但是,大数定律可以保证,当样本的容量越来越大时,估计的误差很小的可能性将越来越大.【思考】用样本估计总体出现误差的原因有哪些?提示:样本抽取的随机性;样本抽取的方法不合适,导致代表性差;样本容量偏少等.2.用样本的数字特征来估计总体的数字特征(1)一般来说,在估计总体的数字特征时,只需直接算出样本对应的数字特征即可.(2)样本是用分层抽样得到的,由每一
2、层的数字特征估计总体的数字特征.以分两层抽样的情况为例.3.用样本的分布来估计总体的分布如果总体在每一个分组的频率记为1,2,n,样本在每一组对应的频率记为p1,p2,pn,一般来说,不等于零.当样本的容量越来越大时,上式很小的可能性将越来越大.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)样本的数字特征有随机性.()(2)只要样本抽取合理,样本平均数与总体平均数相等.()(3)一般地,样本容量越大,用样本去估计总体就越准确.()提示:(1).在抽样过程中,抽取的样本是具有随机性的,因此样本的数字特征也有随机性.(2).一般地,样本平均数与总体的平均数的大小关系是不确定的.(3).大
3、数定律保证,样本容量越大,用样本去估计总体就越准确.2.已知样本10,8,10,8,6,13,11,10,12,7,9,8,12,9,11,12,9,10,11,10,那么频率为0.2的范围是()A.5.57.5 B.7.59.5C.9.511.5D.11.513.5【解析】选D.共20个数据,频率为0.2,在此范围内的数据有4个,只有在11.513.5范围内有4个数据:13,12,12,12.3.如图所示是容量为100的样本的频率分布直方图,则由图中的数据可知,样本落在15,20内的频数为()A.20 B.30 C.40 D.50【解析】选B.样本数据落在15,20内的频数为1001-5(0
4、.04+0.1)=30.4.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况,采用简单随机抽样的方法,从该校200名教师中抽取20名,调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数,结果用茎叶图表示如图:据此可估计该校上学期200名教师中,使用多媒体进行教学次数在15,25)内的人数为_.【解析】在抽取的20名教师中,在15,25)内的人数为6,据此可估计该校上学期200名教师中,使用多媒体进行教学的次数在15,25)内的人数为60.答案:60类型一 用样本的数字特征估计总体的数字特征【典例】1.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则可估计该商店每天的顾客人数的中位数、众数
5、、极差分别是()A.46,45,56 B.46,45,53C.47,45,56 D.45,47,532.下表是某超市5月份一周的利润情况记录:日期12日 13日 14日 15日 16日 17日 18日当日利润(万元)0.20 0.17 0.23 0.21 0.23 0.18 0.25根据上表你估计该超市今年五月份的总利润是()A.6.51万元B.6.4万元C.1.47万元D.5.88万元3.为比较甲、乙两地某月14时的气温情况,随机选取该月中的5天,将这5天中14时的气温数据(单位:)制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论:甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温;甲地该月14时的平均
6、气温高于乙地该月14时的平均气温;甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差;甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.其中根据茎叶图能得到的正确的统计结论的编号为()A.B.C.D.【思维引】1.弄清茎叶图中数据的个数和从小到大的排列顺序,确定中位数、众数、极差.2.先计算一天的平均利润的估计值,再估算五月份的总利润;3.根据相关公式求平均数和标准差,进行判断;也可根据茎叶图中数据的分布规律直接判断数据的波动大小.【解析】1.选A.由题意知各数为12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,4
7、8,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68,中位数是46,众数是45,最大数为68,最小数为12,极差为68-12=56.2.选A.从表中一周的利润可得一天的平均利润为=0.21.又五月份共有31天,所以五月份的总利润约是0.2131=6.51(万元).3.选B.方法一:因为所以又所以s甲s乙.故可判断结论正确.方法二:甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间,且数据波动较大,而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间,且数据波动较小,可以判断结论正确.【内化悟】用样本的数字特征来描述总体的数字特征时,通常从哪两个方面分析?提示:(1)分析数据的集中趋势或取值
8、的平均水平,如平均数、众数、中位数、百分位数;(2)分析数据的离散程度或围绕平均数波动的大小,如极差、方差和标准差.标准差、方差越大,数据离散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小,数据的离散程度越小,越稳定.【类题通】1.用样本的数字特征估计总体的数字特征的可行性(1)如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息会有偏差,这些偏差是由样本的随机性引起的.(2)虽然样本的数字特征并不是总体真正的数字特征,而是总体的一个估计,但这种估计是合理的,特别是当样本容量很大时,样本的数字特征稳定于总体的数字特征.2.样本数字特征所反映的样本的特征一般地,平均数反映的是样本个体的平
9、均水平,众数和中位数则反映样本中个体的“重心”,而标准差则反映了样本的波动程度、离散程度,即均衡性、稳定性、差异性等.因此,我们可以根据问题的需要选择用样本的不同数字特征来分析问题.【习练破】(2019中山高一检测)若八个学生参加合唱比赛的得分分别为87,88,90,91,92,93,93,94,则这组数据的方差是_.【解析】(87+88+90+91+92+93+93+94)=91,s2=(87-91)2+(88-91)2+(90-91)2+(91-91)2+(92-91)2+(93-91)2+(93-91)2+(94-91)2=5.5.答案:5.5【加练固】林管部门在每年3月12日植树节前,
10、为保证树苗的质量,都会对树苗进行检测,现从甲乙两种树苗中抽测了10株树苗的高度,其茎叶图如图,下列描述正确的是()A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,且甲种树苗比乙种树苗长得整齐.B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,但乙种树苗比甲种树苗长得整齐.C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,且乙种树苗比甲种树苗长得整齐.D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,但甲种树苗比乙种树苗长得整齐.【解析】选D.由茎叶图中的数据,我们可得甲、乙两种树苗抽取的样本高度分别为:甲:19,20,21,23,25,29,31,32,33,37乙:10,10,14,26,27,30,44
11、,46,46,47由已知易得:=(19+20+21+23+25+29+31+32+33+37)10=27,=(10+10+14+26+27+30+44+46+46+47)10=30,故乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,甲种树苗比乙种树苗长得整齐.类型二 用样本的分布估计总体的分布【典例】1.如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图,则由图可估计样本的众数与中位数分别为()A.13,12B.12.5,12C.12.5,11D.12,112.(2019全国卷)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的
12、频数分布表.世纪金榜导学号y-0.20,0)0,0.20)0.20,0.40)0.40,0.60)0.60,0.80)企业数22453147(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例.(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)附:8.602.【思维引】1.众数是最高的矩形的底边的中点,中位数左边和右边的直方图的面积相等,都是0.5.2.(1)用样本中内的比例估计产值增长率不低于40%的企业比例,内的比例估计产值负增长的企业比例;(2)根据公式求平均数.【解析】1.选B.观察频率分布直方图可
13、知众数为=12.5,设中位数为x,则0.065+0.1=0.5,解得x=122.(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为=0.21.产值负增长的企业频率为=0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.(2)(-0.102+0.1024+0.3053+0.5014+0.707)=0.30,s2=(-0.40)22+(-0.20)224+0253+0.20214+0.4027=0.029 6,所以s=0.02 0.17,所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为3
14、0%,17%.【素养探】在与用样本的分布估计总体的分布的问题中,经常利用核心素养中的数据分析,通过研究样本的频数、频率分布,估计总体的频数、频率分布,培养学生用样本估计总体的统计思想.在本例1的条件下,求平均重量.【解析】平均重量为7.550.06+12.550.1+17.5 =12.【类题通】1.总体的分布分两种情况(1)当总体中的个体取值很少时,用茎叶图估计总体的分布;(2)当总体中的个体取值较多时,将样本数据恰当分组,用各组的频率分布描述总体的分布,方法是用频率分布表或频率分布直方图.2.利用频率分布直方图求数字特征(1)在频率分布直方图中,众数是最高的矩形的底边的中点.(2)在频率分布
15、直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等.(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.【习练破】已知某人工养殖观赏鱼池塘中养殖着大量的红鲫鱼与中国金鱼.为了估计池塘中这两种鱼的数量,养殖人员从水库中捕出了红鲫鱼与中国金鱼各1 000条,给每条鱼作上不影响其存活的记号,然后放回池塘,经过一定时间,再每次从池塘中随机捕出1 000条鱼,分类记录下其中有记号的鱼的数目,随即将它们放回池塘中.这样的记录作了10次,将记录获取的数据作成如下所示的茎叶图.根据茎叶图计算有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数,并估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量.【解析】由茎叶图可求出
16、10次记录下的有记号的红鲫鱼与中国金鱼数目的平均数均为20,故认为池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数目相同,设池塘中两种鱼的总数是x,则有即x=50 000,所以,可估计池塘中的红鲫鱼与中国金鱼的数量均为25 000条.【加练固】1.党的十八大以来,脱贫攻坚取得显著成绩.2013年至2016年4年间,累计脱贫5 564万人,2017年各地根据实际进行创新,精准、高效地完成了脱贫任务.某地区对当地3 000户家庭的2017年所得年收入情况调查统计,年收入的频率分布直方图如图所示,数据(单位:千元)的分组依次为20,40),40,60),60,80),80,100,则年收入不超过6万的家庭大约为()A.
17、900户B.600户C.300户D.150户【解析】选A.由频率分布直方图得:年收入不超过6万的家庭所占频率为:(0.005+0.010)20=0.3,所以年收入不超过6万的家庭大约为0.33 000=900(户).2.为了了解高一年级学生的体能情况,某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小长方形的面积之比为24171593,第二小组的频数为12.(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?(2)若次数在110以上(含110次)为达标,则该校全体高一年级学生的达标率是多少?【解析】(1)频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的,因此第二小组的频率为=0.08.又因为第二小组的频率=,所以样本容量=150.(2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为100%=88%.
