1、5.4 数列的应用关键能力素养形成类型一 等差数列在实际问题中的应用【典例】1.(2020驻马店高二检测)朱世杰是中国历史上最伟大的数学家之一,他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题:“今有官司差夫一千六百二十四人筑堤,只云初日差六十四人,次日转多八人.其大意为“官府陆续派遣1 624人前往修筑堤坝,第一天派出64人,从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人”,则在该问题中的1 624人全部派遣到位需要的天数为()A.12B.14C.16D.182.(2020全国卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构
2、成第一环,向外每环依次增加9块,下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块,已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A.3 699块B.3 474块C.3 402块D.3 339块3.(2020烟台高二检测)九章算术是我国古代的一本数学名著.全书为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章,收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题.在第六章“均输”中有这样一道题目:“今有五人分五钱,且五人所得钱按序等次差,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”在此题中,任意两人所得的最大差值为多少?【解析】1.选B.根据题意设每天
3、派出的人数组成数列an,分析可得数列an是首项a1=64,公差d=8的等差数列,设1 624人全部派遣到位需要的天数为n,则64n+8=1 624,由n为正整数,解得n=14.2.选C.设每一层有n环,由题可知从内到外每环的扇面形石板数之间构成等差数列an,且公差d=9,首项a1=9,由等差数列的性质可知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,且(S3n-S2n)-(S2n-Sn)=n2d,由题意得qn2=729,所以n=9,则三层共有扇面形石板为S3n=S27=279+9=3 402(块).3.设每人分到的钱数构成等差数列an,公差d0,由题意可得a1+a2+a3=a4+a5,S5=5
4、,故3a1+3d=2a1+7d,5a1+10d=5,解可得a1=,d=,故任意两人所得的最大差值4d=.【类题通】关于等差数列在实际问题中的应用首先注意递增(递减)方式,一般按照一定数值递增(递减)的为等差数列;其次注意分析数列的首项、公差、项数,是求和还是求项.类型二 等比数列在实际问题中的应用【典例】已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO.它指的是,在自然状况下(没有外力介入,同时所有人都没有免疫力),一个感染到某种传染病的人,会把疾病传染给多少人的平均数.它的简单计算公式是RO=1+确诊病例增长率系列间隔,其中系列间隔是指在一个传播链中,两例连续病例的间隔时间(单位:天).根据
5、统计,确诊病例的平均增长率为40%,两例连续病例的间隔时间的平均数5天,根据以上RO数据计算:(1)设第n轮的感染人数为an,求出an的表达式,并说明数列an的特征;(2)若甲得这种传染病,则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为多少?【思维引】(1)首先根据公式计算出RO,再根据疾病传染的方式求an,并判断数列的特征.(2)根据数列知识求和.【解析】(1)由题意知,RO=1+40%5=3,第n轮的感染人数为an=33n-1=3n,可以看出,an是等比数列.(2)5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为:3+32+33+34+35=363(人).【类题通】关于等比数列在实际问题中的应用(1)首先注意
6、增长(衰减)方式,一般按照一定比例倍增(倍减)的为等比数列;其次注意分析数列的首项、公比、项数,是求和还是求项.(2)等额本息还款法中的数量关系设贷款时资金A0为现值,利率为r,分m期还清,每一期所还钱数为x,则x=【习练破】刚上班不久的小明于10月5日在某电商平台上通过零首付购买了一部售价6 000元的手机,约定从下月5日开始,每月5日按等额本息(每期以相同的额度偿还本金和利息)还款a元,1年还清;其中月利率为0.5%,则小明每月还款数a=_元(精确到个位).(参考数据:1.005111.056;1.005121.062;1.005131.067)【解析】由题意,小明第1次还款a 元后,还欠
7、本金及利息为6 000(1+0.5%)-a元;第2次还款a元后,还欠本金及利息为6 000(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a元;第3 次还款a 元后,还欠本金及利息为6 000(1+0.5%)3-a(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a元;则第12 次还款a 元后,还欠本金及利息为6 000(1+0.5%)12-a(1+0.5%)11-a(1+0.5%)10-a(1+0.5%)-a 元;此时已全部还清,则6 000(1+0.5%)12-a(1+0.5%)11-a(1+0.5%)10-a(1+0.5%)-a=0,即6 000(1+0.5%)12=514 元.答案:514类型三 与数列
8、有关的综合性问题【典例】(2020杨浦区高二检测)某地出现了虫害,农业科学家引入了“虫害指数”数列In,In表示第n周的虫害的严重程度,虫害指数越大,严重程度越高,为了治理虫害,需要环境整治、杀灭害虫,然而由于人力资源有限,每周只能采取以下两个策略之一;策略A:环境整治,“虫害指数”数列满足In+1=1.02In-0.20;策略B:杀灭害虫,“虫害指数“数列满足In+1=1.08In-0.46;(1)设第一周的虫害指数I11,8,用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小?(2)设第一周的虫害指数I1=3,如果每周都采用最优的策略,虫害的危机最快在第几周解除?【解析】(1)策略A:In+1=1
9、.02In-0.20,策略B:In+1=1.08In-0.46,当1.02I1-0.20=1.08I1-0.46时,可得I1=,当I1=时,两者相等,当I1 时,策略B的I2更小;当I1(,8时,策略A的I2更小.(2)当I1=3时,选择策略B,当In=0时,则1.08n-1,可得=1.08n-1,所以n=+111,所以虫害的危机最快在第11周解除.【类题通】关于数列在实际问题中的综合应用首先注意分清涉及的数列是等差数列还是等比数列,其次是注意解题时要结合数列中通项公式、求和公式、递推关系、单调性等知识.【习练破】某地为践行绿水青山就是金山银山的理念,大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为
10、a亩,计划每年种植一些树苗,且森林面积的年增长率相同,当面积是原来的2倍时,所用时间是10年.(1)求森林面积的年增长率;(2)到今年为止,森林面积为原来的倍,则该地已经植树造林多少年?(3)为使森林面积至少达到6a亩,至少需要植树造林多少年?(参考数据:lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1)【解析】(1)设森林面积的年增长率为x,则a(1+x)10=2a,解得x=-1,所以森林面积的年增长率为:-1;(2)设已经植树造林n年,则由题意可知:a(1+x)n=a,所以a a,所以,所以n=5,所以已经植树造林5年.(3)设为使森林面积至少达到6a亩,需要植树造林m年,则a(1+x)
11、m6a,所以6,所以 log26=所以m10 26,故为使森林面积至少达到6a亩,至少需要植树造林26年.1.我国北方某地区长期受到沙尘暴的困扰.2019年,为响应党中央提出的“防治土地荒漠化 助力脱贫攻坚战”的号召,当地政府积极行动,计划实现本地区的荒漠化土地面积每年平均比上年减少10%.已知2019年该地区原有荒漠化土地面积为7万平方公里,则2025年该地区的荒漠化土地面积(单位:万平方公里)为()A.70.94B.70.95C.70.96D.70.97课堂检测素养达标【解析】选C.设从2019年后的第n年的沙漠化土地面积为y,则y=7(1-10%)n,故2025年的沙漠化土地面积为70.
12、96.2.(教材练习改编)九章算术有如下问题:“今有金棰,长五尺,斩本一尺,重四斤;斩末一尺,重二斤,问次一尺各重几何?意思是:“现在有一根金棰,长五尺,在粗的一端截下一尺,重4斤;在细的一端截下一尺,重2斤,问各尺依次重多少?”假设金棰由粗到细各尺质量依次成等比数列,则从粗端开始的第三尺的质量是()【解析】选A.由题意知,金棰由粗到细各尺质量依次成等比数列,在这个等比数列an中,首项a1=4,则a5=2,所以a3=即从粗端开始的第三尺的质量是2 斤.3.2019年度,国内某电信企业甲投入科研经费115亿美元,国外一家电信企业乙投入科研经费156亿美元.从2020年开始,若企业甲的科研经费每年
13、增加x%,计划用3年时间超过企业乙的年投入量(假设企业乙每年的科研经费投入量不变).请写出一个不等式来表达题目中所描述的数量关系:_.(所列的不等式无需化简)【解析】由题意可得:115(1+x%)3156.答案:115(1+x%)31564.假设一个人的日薪按这样的方式增长,第一天发3元,第二天发6元,第三天发12元,从第二天起每天发的工资是前一天的2倍,则连续十四天后此人日薪总和_(填“大于”等于”或“小于”)4.8万元.【解析】一个人的日薪按这样的方式增长:第一天发3元,第二天发6元,第三天发12元,从第二天起每天发的工资是前一天的2倍,则这个人的日薪构成一个以3为首项,2为公比的等比数列
14、,所以连续十四天后此人日薪总和为S14=49 149(元)4.8万元.答案:大于课时素养评价十一 数列的应用【基础练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.在我国明代数学家“珠算之父”程大位(1533-1606)所著的算法统宗中,有许多用诗歌形式表达的数学问题,如八子分棉歌:“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言,务要分明依次第,孝和休惹外人传.”则此问题(第八数)的答案为(单位:斤)()A.150B.167C.184D.201【解析】选C.设第一子分a1斤棉,则an是公差为17的等差数列,由题意得8a1+17=996,解得a1=65(斤),所以a8
15、=65+717=184(斤).2.某乡镇现在人均一年占有粮食360千克,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食年产量平均每年增长4%,那么x年后若人均一年占有y千克粮食,则y关于x的解析式为()A.y=360 B.y=3601.04xC.y=D.y=360【解析】选D.根据题意,得x年后粮食年产量为360(1+4%)x=3601.04x,人口总量为(1+1.2%)x=1.012x;所以x年后年人均粮食占有量为:y=360 =360 .3.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题:“十人分十斗玉米,从第二人开始,各人所得依次比前人少八分之一,问每人各得玉米多少斗?”在上述问题中,第一人
16、分得玉米()A.斗B.斗C.斗D.斗【解析】选B.由题可得:每人所得玉米数构成公比为的等比数列.且数列的前10项和为10,设首项为a,则有=10,所以a=.4.(多选题)九章算术衰分中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱560,乙持钱350,丙持钱180,甲、乙、丙三个人一起出关,关税共计100钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中正确的是()A.甲付的税钱最多B.乙、丙两人付的税钱不超过甲C.乙应出的税钱约为32D.丙付的税钱最多【解析】选ABC.由题意,按比例
17、,甲钱最多,付的税钱最多;丙钱最少,付的税钱最少;可知A正确,D不正确.乙、丙两人共持钱350+180=530560,故乙、丙两人付的税钱不超过甲,可知B正确.乙应出的税钱为100 32.可知C正确.二、填空题(每小题5分,共10分)5.用火柴棒按如图的方法搭三角形:则第100个图形所用火柴棒数为_.【解析】由图形可知,第一个图形用3根火柴棒,以后每一个比前一个多两根火柴棒,是等差数列,数列的首项为3,公差为2,an=3+(n-1)2=2n+1,即第n个使用火柴棒数为2n+1,则第100个图形所用火柴棒数为:2100+1=201.答案:2016.某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞
18、,已知第一年捕捞工作需各种费用4万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计使用n年,其总花费(含购买费用)为_万元;当n=_时该渔船年平均花费最低(含购买费用).【解析】因为第一年捕捞工作需各种费用4万元,从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元,则第n年捕捞所需费用为4+2(n-1)=2n+2,所以总花费为n+100=n2+3n+100;平均花费=n+32 +3=23,当且仅当n2=100,即n=10时,平均花费最小.答案:n2+3n+10010三、解答题(每小题10分,共20分)7.一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,每年砍伐且使森林面积每年比上一年减少
19、的百分比相同,当砍伐到原面积的一半时,所用时间是20年.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的,已知到今年为止,森林剩余面积为a.(1)求每年砍伐面积的百分比;(2)该森林今后最多还能砍伐多少年?【解析】(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0 x1),则a(1-x)20=a,即(1-x)20=,解得:x=1-.(2)设从今年开始,最多可以砍n年,由题意得a(1-x)n a,即(1-x)n ,可得,所以,解得n30,所以今后最多还能砍伐30年.8.(2020武汉高二检测)一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有疗效;而低于500 mg病人就有危险.现给某病人静脉注射了这种药2 500
20、 mg,如果药在血液中以每小时20%的比例衰减,为了充分发挥药物的利用价值,那么从现在起经过多少小时向病人的血液补充这种药,才能保持疗效.(附:lg 20.301 0,lg 30.477 1,精确到0.1 h)【解析】设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充这种药,由题意,可得5002 500(1-20%)x1 500,整理得0.20.8x0.6,所以log0.80.6xlog0.80.2,因为log0.80.6=2.3,log0.80.2=7.2,解得2.3x7.2,应在用药2.3小时后及7.2小时前再向病人的血液补充药.【能力练】(15分钟30分)1.(5分)“孪生素数猜想”是数学史
21、上著名的未解难题,早在1900年国际数学家大会上,由德国数学家希尔伯特提出.所谓“孪生素数”是指相差为2的“素数对”,例如3和5.从不超过20的素数中,找到这样的“孪生素数”,将每对素数作和.从得到的结果中选择恰当的数,构成一个等差数列,则该等差数列的所有项之和为()A.72B.68C.56D.44【解析】选A.根据定义列举出不超过20的孪生素数为3和5,5 和7,11和13,17和19,它们的和依次为8,12,24,36,构成等差数列的三个数分别是12,24,36,它们的和是72.2.(5分)(2020海东高二检测)1852年,英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲
22、.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2 020这2 020个数中,能被2除余1,且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列an,则a20=()A.181B.191C.201D.211【解析】选B.由题意可知an-1既是2的倍数,也是5的倍数,即an-1是10的倍数,则an-1=10(n-1)(nN+),故a20=10(20-1)+1=191.3.(5分)我国古代九章算术一书中记载关于“竹九”问题:“今有竹九节,下三节容量四升,上四
23、节容量三升,问五、六两节欲均容各多少?”意思是下三节容量和为4升,上四节容量和为3升,且每一节容量变化均匀,问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中,最下面一节容量是_升,九节总容量是_升.【解析】设由下到上九节容量分别记为a1,a2,a9,则a1,a2,a9成等差数列,设公差为d,且a1+a2+a3=4,a6+a7+a8+a9=3,所以3a1+3d=4,4a1+26d=3,解得a1=,d=-,所以S9=9 .答案:4.(5分)2018年5月至2019年春,在阿拉伯半岛和伊朗西南部,沙漠蝗虫迅速繁衍,呈现几何式的爆发,仅仅几个月,蝗虫数量增长了8 000倍,引发了蝗灾,到2020年春季蝗灾已
24、波及印度和巴基斯坦,假设蝗虫的日增长率为5%,最初有N0只.则经过_天能达到最初的16 000倍(参考数据:ln 1.050.048 8,ln 1.50.405 5,ln 1 6007.377 8,ln16 0009.680 3).【解析】设过x天能达到最初的16 000倍,由已知N0(1+0.05)x=16 000N0,即1.05x=16 000,所以x=198.4,又xN,所以过199天能达到最初的16 000倍.答案:199【加练固】某银行一年期定期储蓄年利率为2.25%,如果存款到期不取出继续留存于银行,银行自动将本金及80%的利息(利息须交纳20%利息税,由银行代交)自动转存一年期定
25、期储蓄.某人以一年期定期储蓄存入银行20万元,则5年后,这笔钱交纳利息税后的本利和为_元(精确到1元).【解析】由题意,1年后,这笔钱交纳利息税后的本利和为:200 000(1+2.25%80%)=200 0001.018;2年后,这笔钱交纳利息税后的本利和为:200 000(1+2.25%80%)(1+2.25%80%)=200 0001.0182;所以5年后,这笔钱交纳利息税后的本利和为:200 0001.0185=218 659.769218 660.答案:218 6605.(10分)某化工厂一种溶液的成品,生产过程的最后工序是过滤溶液中的杂质,过滤初期溶液含杂质为2%,每经过一次过滤均
26、可使溶液杂质含量减少,记过滤次数为x(xN+)时溶液杂质含量为y.(1)写出y与x的函数关系式;(2)按市场要求,出厂成品杂质含量不能超过0.1%,问至少经过几次过滤才能使产品达到市场要求?(参考数据:lg 2=0.301,lg 3=0.477)【解析】(1)由题意得y=2%,xN+.(2)设至少应过滤x次才能使产品达到市场要求,则 0.1%,即,所以x 7.4,又xN+,所以x8,即至少应过滤8次才能使产品达到市场要求.【培优练】某企业2018年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造,预测从2019年起每年比上一年纯利润减少20万元,2019年初
27、该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n年(2019年为第一年)的利润为500 万元(n为正整数).(1)设从2019年起的前n年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元,进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金),求An,Bn的表达式;(2)依上述预测,从2019年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润?【解析】(1)依题设,An=(500-20)+(500-40)+(500-20n)=490n-10n2,Bn=500 -600=500n-100.(2)Bn-An=-(490n-10n2)=10n2+10n-100=10n(n+1)-10,因为数列在(0,+)上为递增数列,当1n3时,n(n+1)-1012-100,所以当n4时,BnAn.所以至少经过4年,该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.本课结束
