1、7.2 复数的四则运算7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 基础预习初探1.回顾向量的加法运算,联想复数的加法运算:设向量=(a,b),=(c,d),对应复数z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,dR,则+=_,z1+z2=_.2.向量的加法运算法则是什么?是否适合复数的加法运算法则?提示:平行四边形法则,由于复数与平面向量是一一对应的,所以向量加法的平行四边形法则适合复数的加法运算法则.(a+c,b+d)(a+c)+(b+d)i3.复数的减法法则:设向量=(a,b),=(c,d),对应复数z1=a+bi,z2=c+di,其中,a,b,c,dR,则-=_,z1-z2=_.4.复
2、数的减法运算与加法运算有什么联系?提示:复数的减法运算与加法运算互为逆运算,可以由复数的加法运算法则得到减法运算法则,即z1-z2=zz1=z+z2.(a-c,b-d)(a-c)+(b-d)i设复数a+bi减去复数c+di的差为x+yi,其中a,b,c,d,x,yR,即x+yi=(a+bi)-(c+di),等价于(c+di)+(x+yi)=a+bi,通过相等复数解方程得x=a-c,y=b-d,于是直接可得复数的减法运算法则(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.5.如何推导计算复平面内点Z1(x1,y1)与点Z2(x2,y2)之间的距离公式?提示:根据复数的几何意义,复平面内点Z
3、1(x1,y1)与点Z2(x2,y2)分别对应复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,所以|Z1Z2|=|=|-|=|z2-z1|=|(x2-x1)+(y2-y1)i|=.【概念生成】1.复数的加减运算已知复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)(1)复数的加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=_.(2)复数的减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=_.与多项式加(减)法类似,复数的加(减)运算就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减),结果仍然是一个复数.(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i2.复数加法的运算律复数的加法运算满足交换律、结合律
4、.(1)加法交换律:z1+z2=_.(2)加法结合律:(z1+z2)+z3=_.z2+z1z1+(z2+z3)3.复数加法与减法运算的几何意义核心互动探究探究点一 复数的加减运算【典例1】1.复平面内,若复数z满足z+i-1=2-i,则对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.计算:(1+2i)-(2-3i)+(4-3i)-(i-3).【思维导引】1.利用复数的加减运算和共轭复数判断.2.利用复数的加减运算法则以及运算律进行计算.【解析】1.选A.由z+i-1=2-i,得z=(2-i)-(i-1)=3-2i,则=3+2i,对应的点在第一象限.2.(1+2i)-(2-3i
5、)+(4-3i)-(i-3)=(1+2i)-(2-3i)+(4-3i)-(i-3)=(-1+5i)+(7-4i)=6+i.【类题通法】复数加减运算的注意事项1.复数的加减运算法则:分别对复数的实部和虚部相加减.2.分清两个复数的实部和虚部是进行加减运算的关键,多个复数的加减混合运算,可以利用加法交换律和结合律进行简便运算.提醒:复数的减法运算不满足交换律和结合律.【定向训练】1.已知复数z1=1+i,z2=2-3i,则=_.【解析】由复数z1=1+i,z2=2-3i,得z1+z2=3-2i,其共轭复数为=3+2i.答案:3+2i2.计算:(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+
6、-(2 018-2 019i)+(2 019-2 020i).【解析】方法一:(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+-(2 018-2 019i)+(2 019-2 020i)=(1-2+3-4+-2 018+2 019)+(-2+3-4+5-+2 019-2 020)i=(-1 009+2 019)+(1 009-2 020)i=1 010-1 011i.方法二:因为(1-2i)-(2-3i)=-1+i,(3-4i)-(4-5i)=-1+i,(2 017-2 018i)-(2 018-2 019i)=-1+i,所以将以上1 009个等式累加得(1-2i)-(2-3i)+(3
7、-4i)-(4-5i)+-(2 018-2 019i)=-1 009+1 009i.所以原式=-1 009+1 009i+(2 019-2 020i)=1 010-1 011i.探究点二 复数加减运算的几何意义【典例2】如图所示,平行四边形OABC的顶点O,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i.求:(1)表示的复数;(2)对角线表示的复数;(3)对角线表示的复数.【思维导引】利用复数与平面向量的一一对应关系,转化为复数进行加减运算.【解析】(1)因为=-,所以表示的复数为-3-2i.(2)因为=-,所以表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因为=+,所以表示的复数为(3+
8、2i)+(-2+4i)=1+6i.【类题通法】复数与向量加减运算的对应关系的两个关注点(1)应用数形结合思想将向量表示为复数.(2)注意位置向量与普通向量的异同.【定向训练】已知复平面上,复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i对应的点是一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.【解析】设复数z1,z2,z3所对应的点分别为A,B,C,正方形的第四个顶点D对应的复数为x+yi(x,yR).方法一:=(x+yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i;=(-1-2i)-(-2+i)=1-3i.因为,即(x-1)+(y-2)i=1-3i,所以解得故点D对应的复数为2-
9、i.方法二:因为点A与点C关于原点对称,所以原点O为正方形的中心,于是(-2+i)+(x+yi)=0,所以x=2,y=-1,故点D对应的复数为2-i.探究点三 两点间的距离与轨迹问题【典例3】1.若复数z满足|z-i|=1,则复数z对应的点的轨迹为()A.点B.射线C.直线D.圆2.若复数z满足|z-i|=1,求|z-2-i|的取值范围.【思维导引】1.由复平面内两点之间的距离及其几何意义判断.2.利用复数减法以及复数的模的几何意义转化为两点间的距离问题求取值范围.【解析】1.选D.由|z-i|=1,得复数z对应的动点Z与复数z1=i对应的定点Z1(0,1)之间的距离为1,由圆的定义得,复数z
10、对应的点的轨迹为圆,其中圆心为Z1(0,1),半径为1.2.由|z-i|=1,得复数z对应的动点Z的轨迹是圆心为Z1(0,1),半径为1的圆,如图.|z-2-i|的几何意义是复数z对应的动点Z到复数z2=2+i对应的定点Z2(2,1)之间的距离,由于|Z1Z2|=2,r=1,所以2-r|z-2-i|2+r,即|z-2-i|的取值范围是1,3.【类题通法】1.复数的减法与复数的模及其几何意义从两个方面理解复数及其模的几何意义:(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系,即z=a+bi(a,bR)Z(a,b).(2)复数z=a+bi(a,bR)的模|z|=,实际上就是指复平面上的点Z到原点O的距离
11、.|z1-z2|的几何意义是复平面上的点Z1,Z2两点间的距离.2.复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹(1)|z-z0|=r(r是正的常数)轨迹是一个圆.(2)|z-z1|=|z-z2|轨迹是一条直线.其中z0,z1,z2是确定的复数,z是任意复数.【定向训练】1.如果复数z满足|z+3i|+|z-3i|=6,那么|z+1+i|的最小值是()A.1 B.C.2 D.2.若复数z满足|z+i|1,求|z|的最大值和最小值.【解题指南】1.先由|z+3i|+|z-3i|=6确定复数z所对应的轨迹,再依据|z+1+i|的几何意义求最小值.2.明确满足条件|z+i|1的复数z的几何意义为:圆心为(-
12、,-1),半径为1的圆内区域,包括边界,|z|则表示圆面上一点到原点的距离.【解析】1.选A.因为|z+3i|+|z-3i|=6表示为点Z到点A(0,-3)与到点B(0,3)的距离之和为6.所以点Z的轨迹为线段AB.而|z+i+1|表示为点Z到点(-1,-1)的距离.数形结合,得最小距离为1.2.如图所示:|=2.所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.【课堂小结】课堂素养达标1.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)的结果为()A.5-3iB.3+5iC.7-8iD.7-2i【解析】选C.(6-3i)-(3i+1)+(2-2i)=(6-1+2)+(-3-3-2)i=7-8i
13、.2.已知z1=3-i,z2=2+3i,则z1-z2对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.由z1=3-i,z2=2+3i,得z1-z2=(3-i)-(2+3i)=(3-2)+(-1-3)i=1-4i,对应的点在第四象限.3.复平面内,复数z1=3-i,z2=-1+2i对应两点间的距离为()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.复平面内复数z1=3-i,z2=-1+2i对应两点间的距离为|z2-z1|=5.4.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=_.【解析】设z=a+bi(a,bR),|z|=,代入方程得a+bi+=2+8i,所以解得所以z=-15+8i.答案:-15+8i
