1、5.2 等 差 数 列5.2.1 等 差 数 列第1课时 等差数列的定义 新课程标准素养风向标1.通过实例,理解等差数列的概念2.掌握等差数列的通项公式3.体会等差数列与一次函数的关系1.理解等差数列的定义(数学抽象)2.会推导等差数列的通项公式,由an,a1,n,d中的三个量会求另一个量(数学运算)主题1 等差数列的概念观察下面几个数列,每个数列从第2项起每一项与前一项的差满足什么条件?(1)2,4,6,8,10,12,;(2)1,1,1,1,1,1,;(3)1,3,5,7,9,11,.提示:每个数列从第2项起每一项与前一项的差都等于同一个常数.基础预习初探结论:1.等差数列的概念(1)文字
2、语言:如果数列an从_起,每一项与它的前一项之差都等于_,则称an为等差数列,其中d称为等差数列的_.(2)符号语言:an+1-an=d(d为常数,nN+).2.等差数列的单调性与公差的关系当公差d0时,等差数列是_数列;当公差d=0时,等差数列是_数列;当公差d1),记bn=”.(1)试证明数列bn为等差数列;(2)求数列an的通项公式.【解析】(1)又,所以数列bn是首项为,公差为的等差数列.(2)由(1)知因为bn=,所以an=所以数列an的通项公式为an=+2.2.(变条件)将例题中的条件“a1=2,an+1=”换为“a1=1,a2=2,2an+1=2an+3(n2,nN*)”试判断数
3、列an是否是等差数列.【解析】当n2时,由2an+1=2an+3,得an+1-an=,但a2-a1=1 ,故数列an不是等差数列.【类题通法】等差数列的判定方法有以下两种(1)定义法:an+1-an=d(常数)(nN*)an为等差数列;(2)通项公式法:an=an+b(a,b是常数,nN*)an为等差数列.但如果要证明一个数列是等差数列,则必须用定义法或等差中项法.【定向训练】已知数列an的通项公式an=pn2+qn(p,qR,且p,q为常数).(1)当p和q满足什么条件时,数列an是等差数列.(2)求证:对任意实数p和q,数列an+1-an是等差数列.【解析】(1)因为an+1-an=p(n
4、+1)2+q(n+1)-(pn2+qn)=2pn+p+q.要使an是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的常数,所以只有2p=0,即p=0时,数列an是等差数列.(2)因为an+1-an=2pn+p+q,所以an+2-an+1=2p(n+1)+p+q.从而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数,所以an+1-an是等差数列.【补偿训练】若数列an的通项公式为an=10+lg 2n(nN*),求证:数列an为等差数列.【证明】因为an=10+lg 2n=10+nlg 2,所以an+1=10+(n+1)lg 2.所以an+1-an=10+(n+1)lg 2-(10+nlg
5、 2)=lg 2(nN*).所以数列an为等差数列.探究点二 等差数列通项公式的求法【典例2】在等差数列an中,已知a6=12,a18=36,求通项公式an.【思维导引】列出关于首项和公差的方程组求解.【解析】由题意可得解得d=2,a1=2.所以an=2+(n-1)2=2n.【类题通法】根据已知量和未知量之间的关系,列出方程(组)求解的思想方法,称为方程思想.等差数列an中的每一项均可用a1和d表示,这里的a1和d就像构成物质的基本粒子,我们可以称为基本量.【定向训练】(1)求等差数列8,5,2,的第20项;(2)判断-401是不是等差数列-5,-9,-13,的项,如果是,是第几项?【解析】(
6、1)由a1=8,a2=5,得d=a2-a1=5-8=-3,由n=20,得a20=8+(20-1)(-3)=-49.(2)由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为an=-5+(n-1)(-4)=-4n-1.由题意,令-401=-4n-1,得n=100,即-401是这个数列的第100项.探究点三 等差数列的实际应用【典例3】某市出租车的计价标准为1.2元/千米,起步价为10元,即最初的4千米(不含4千米)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费?【思维导引】根据等差数列的通项公式求解即可【解析】根据题意,当该市
7、出租车的行程大于或等于4千米时,每增加1千米,乘客需要支付1.2元.所以,可以建立一个等差数列an来计算车费.令a1=11.2,表示4千米处的车费,公差d=1.2,那么当出租车行至14千米处时,n=11,此时a11=11.2+(11-1)1.2=23.2.即需要支付车费23.2元.【类题通法】在实际问题中,若一组数依次呈等数额增长或下降,则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时,一定要确认首项、项数等关键因素.【定向训练】在通常情况下,从地面到10 km高空,高度每增加1 km,气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度处的气温是8.5,5 km高度处的气温是-17.5,求2
8、 km,4 km,8 km高度处的气温.【解析】用an表示自下而上各高度处气温组成的等差数列,则a1=8.5,a5=-17.5,由a5=a1+4d=8.5+4d=-17.5,解得d=-6.5,所以an=15-6.5n,所以a2=2,a4=-11,a8=-37,即2 km,4 km,8 km高度处的气温分别为2,-11,-37.【课堂小结】课堂素养达标1.下列数列不是等差数列的是()A.1,1,1,1,1B.4,7,10,13,16C.,1,D.-3,-2,-1,1,2【解析】选D.由等差数列定义验证.2.已知等差数列an的通项公式an=3-2n,则它的公差d为()A.2B.3C.-2D.-3【
9、解析】选C.由等差数列的定义,得d=a2-a1=-1-1=-2.3.已知等差数列an中,首项a1=4,公差d=-2,则通项公式an=_.【解析】因为a1=4,d=-2,所以an=4+(n-1)(-2)=6-2n.答案:6-2n4.已知等差数列-5,-2,1,则该数列的第20项为_.【解析】公差d=-2-(-5)=3,a20=-5+(20-1)d=-5+193=52.答案:525.已知数列an,a1=a2=1,an=an-1+2(n3),判断数列an是否为等差数列?说明理由.【解析】不是.因为an=an-1+2(n3),所以an-an-1=2(常数).又n3,所以从第3项起,每一项减去前一项的差都等于同一个常数2,而a2-a1=0a3-a2,所以数列an不是等差数列.本课结束
