1、1不等关系1.1不等关系1.2不等关系与不等式学习目标1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题知识点一不等关系思考限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？答案v40.梳理试用不等式表示下列关系：(1)a大于bab(2)a小于b abab0；abab0；ababbbb，bcac(传递性)；(3)abacbc(可加性)；(4)ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd；(6)ab0，cd0acbd；(7)ab0anbn(nN)；(
2、8)ab0(nN)121.()2abacbc.()3.acbd.()类型一用不等式(组)表示不等关系例1某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？考点用不等式(组)表示不等关系题点用不等式(组)表示不等关系解提价后销售的总收入为x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x20.反思与感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，
3、设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系思维要严密、规范跟踪训练1某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管数量的3倍怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？考点用不等式(组)表示不等关系题点用不等式(组)表示不等关系解设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根根据题意，应有如下的不等关系：(1)截得两种钢管的总长度不能超过4 000 mm；(2)截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；(3)截得两种钢管的数量都不能为负要同时满足上述的三
4、个不等关系，可以用不等式组表示为类型二比较大小命题角度1作差法比较大小例2已知a，b均为正实数试利用作差法比较a3b3与a2bab2的大小考点实数大小的比较题点作差法比较大小解a3b3(a2bab2)(a3a2b)(b3ab2)a2(ab)b2(ba)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)当ab时，ab0，a3b3a2bab2；当ab时，(ab)20，ab0，a3b3a2bab2.综上所述，a3b3a2bab2.反思与感悟比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号作差法比较实数大小的一般步骤是作差恒等变形判断差的符号下结论作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或
5、一些易判断符号的因式积的形式跟踪训练2已知x1，试比较x31与2x22x的大小考点实数大小的比较题点作差法比较大小解(x31)(2x22x)x32x22x1(x3x2)(x22x1)x2(x1)(x1)2(x1)(x2x1)(x1)，又20，x10，(x1)0，x312x22x.命题角度2作商法比较大小例3若0x1，a0且a1，试比较|loga(1x)|与|loga(1x)|的大小关系考点实数大小的比较题点作商法比较大小解，0x1，log(1x)(1x)log(1x)，1x2(1x)(1x)1，且1x0，1x，log(1x)1，即1，|loga(1x)|b0，c.考点不等式的性质题点不等式的性
6、质证明因为ab0，所以ab0，0.于是ab，即.由c.反思与感悟有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质跟踪训练4如果ab0，cd0，证明：acbd.考点不等式的性质题点不等式的性质证明acbd.1某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是()A. B. C. D.考点用不等式(组)表示不等关系题点用不等式(组)表示不等关系答案D解析“不低于”即“”，“高于”即“”，“超过”即“”，x95，y380，z45.2已知ab0，bbba BababCab
7、ba Dabab考点不等式的性质题点不等式的性质答案C解析由ab0，知ab，ab0.又b0，abba.3已知a，b，cR，则下列命题正确的是()Aabac2bc2 B.abC. D.考点不等式的性质题点不等式的性质答案C解析当c0时，A不成立；当c0时，B不成立；当abb，C成立同理可证D不成立4比较(a3)(a5)与(a2)(a4)的大小考点实数大小的比较题点作差法比较大小解(a3)(a5)(a2)(a4)(a22a15)(a22a8)70，(a3)(a5)0ab；ab0ab；ab0ab.2作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“
8、和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键3不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备一、选择题1设xa0，则下列不等式一定成立的是()Ax2axaxa2Cx2a2a2ax考点不等式的性质题点不等式的性质答案B解析x2axx(xa)0，x2ax.又axa2a(xa)0，axa2，x2axa2.2已知a0，b B.aC.a D.a考点不等式的性质题点不等式的性质答案D解析取a2，b2，则1，a.3若a，b，cR，ab，则下列不等
9、式成立的是()A.b2C. Da|c|b|c|考点不等式的性质题点不等式的性质答案C解析对于A，若a0b，则0，A不成立；对于B，若a1，b2，则a2b，恒成立，C成立；对于D，当c0时，a|c|b|c|，D不成立4若abc且abc0，则下列不等式中正确的是()Aabac BacbcCa|b|c|b| Da2b2c2考点不等式的性质题点不等式的性质答案A解析由abc及abc0，知a0，cac.5已知a，b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是()Aa2b2 Ba2bab2C. D.考点不等式的性质题点不等式的性质答案C解析对于A，在ab中，当a0，b0时，a2b2不成立；对于B，当a0时，a2
10、b0，ab20，a2bab2不成立；对于C，a0，0且a1，Mloga(a31)，Nloga(a21)，则M，N的大小关系为()AMN DMN考点实数大小的比较题点利用函数的单调性比较大小答案C解析当a1时，a31a21，ylogax为(0，)上的增函数，loga(a31)loga(a21)；当0a1时，a31loga(a21)当a0且a1时，总有MN.二、填空题7若1a5，1b2，则ab的取值范围是_考点不等式的性质题点利用不等式性质求表达式取值范围答案1,6解析1b2，2b1，又1a5，1ab6.8b克糖水中有a克糖(ba0)，若再添上m克糖(m0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不
11、等式：当ba0且m0时，_.考点用不等式(组)表示不等关系题点用不等式(组)表示不等关系答案解析变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了9若xR，则与的大小关系为_考点实数大小的比较题点作差法比较大小答案解析0，.10(x5)(x7)与(x6)2的大小关系为_考点实数大小的比较题点作差法比较大小答案(x5)(x7)(x6)2解析因为(x5)(x7)(x6)2x212x35(x212x36)10，所以(x5)(x7)(x6)2.三、解答题11一个盒子中红、白、黑三种球分别为x个、y个、z个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的，白球与黑球的个数之和至少为55，试用不等式(组)将题中的不等关
12、系表示出来考点用不等式(组)表示不等关系题点用不等式(组)表示不等关系解由题意可得(x，y，zN)12设x，y，zR，比较5x2y2z2与2xy4x2z2的大小考点实数大小的比较题点作差法比较大小解5x2y2z2(2xy4x2z2)4x24x1x22xyy2z22z1(2x1)2(xy)2(z1)20，5x2y2z22xy4x2z2，当且仅当xy且z1时取等号13已知ab0，cd0，e0，求证：.考点不等式的性质题点不等式的性质证明cd0，cd0，又ab0，a(c)b(d)0，即acbd0，0，又e0，y0，M，N，则M，N的大小关系是()AMN BMN考点实数大小的比较题点利用不等式的性质比较大小答案B解析x0，y0，xy11x0,1xy1y0，故MN，即MN.15有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且xyz，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且ab0，故选项A中的不是最低费用；(aybzcx)(azbycx)a(yz)b(zy)(ab)(yz)0，故选项C中的不是最低费用；(aybxcz)(azbycx)a(yz)b(xy)c(zx)a(yz)b(xy)c(zyyx)(ac)(yz)(bc)(xy)0，故选项D中的不是最低费用综上所述，选项B中的为最低费用
