1、2.7 导数的应用 1.2021年2月25日，习近平在全国脱贫攻坚总结表彰大会上发表重要讲话，庄严宣告，经过全党全国各族人民共同努力，在迎来中国共产党成立一百周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利.在“全面脱贫”行动中，某银行向某贫困地区的贫困户提供10万元以内的免息贷款，贫困户小李准备向银行贷款x万元全部用于农产品土特产的加工与销售，据测算每年利润y(单位：万元)与z满足关系式，要使年利润最大，小李应向银行贷款( )A.3万元B.4万元C.5万元D.6万元2.如图，在P地正西方向8 km的A处和正东方向1 km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流
2、中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设（），为了节省建设成本，要使得的值最小，此时( )A.4 kmB.6 kmC.8 kmD.10 km3.某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为，则该生产厂家获取的最大年利润为( )A.300万元B.252万元C.200万元D.128万元4.如图，将周长为4的矩形ABCD绕AB旋转一周所得柱体积最大时，AB的长为( )A.B.C.D.15.用长为30 cm的钢条围成一个长方体形状的框架（即12条棱长的总和为30 cm），要求长方体的长与宽之比为，则该长方体的最大体积是( )A.24B.15C.1
3、2D.66.某厂生产x万件某产品的总成本为C（x）万元，且.已知产品单价（单位：元）的平方与x成反比，且生产100万件这样的产品时，单价为50元，则为使总利润y（单位：万元）最大，产量应定为( )A.23万件B.25万件C.50万件D.75万件7.某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一件产品，成本增加100元，已知总收入R与年产量x的关系是则总利润（总利润=总收入-总成本）最大时，年产量应为( )A.100件B.150件C.200件D.300件8.用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多0.5m，要使它的容积最大，则容器底面的长为( )A.2 mB.
4、1.5mC.1.2mD.1m9.已知球体的半径为3，当球内接正四棱锥的体积最大时，正四棱锥的高和底面边长的比值是( )A.1B.C.D.210.现需建造一个容积为V的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍.要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径r与高h的比值为( )A. B. C. D. 11.某公司租地建仓库,每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用和分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站_千米处.12.如图，一边长为10cm的正方形铁皮，铁皮
5、的四角截去四个边长均为x cm的小正方形，然后做成一个无盖方盒.则方盒的容积V的最大值为_.13.由曲线，直线所围成的封闭的图形面积为_.14.某商场销售某件商品的经验表明,该商品每日的销量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式，其中，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求实数a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值.答案以及解析1.答案：C解析：，令，则；令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，故当时年利润最大.2.答案：A解析：因为，所以，在中，在中，则.设，则，令
6、，则，当时，当时，所以当时，取得最小值，此时，故选A.3.答案：C解析：由题意，函数，所以，当时，；当时，所以当时，y有最大值，此时最大年利润为200万元.4.答案：B解析：设，则，所以，则，由，得，解得；由，得，解得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以当，即，时，取得最大值.5.答案：B解析：设该长方体的宽是x m，则由题意知，其长是，高是，其中，则该长方体的体积，由，得，且当时，；当时，即体积函数在处取得极大值，也是函数在定义域上的最大值，所以该长方体体积的最大值是15.6.答案：B解析：设产品单价为a元，则，即，总利润，令，得，则当时，；当时，.当产量定为25万件时，总利润最大
7、.7.答案：D解析：由题意知，总成本为，所以总利润令，得.当时，当时，.易知当年产量为300件时，总利润最大.8.答案：B解析：设该容器底面的宽为x，故可得长为.因为长方体的棱长之和为14.8，所以长方体的高为，因为，所以，故容积，则，令，整理得，解得.令，解得.故在（0,1）上单调递增，在（1,1.6）上单调递减.所以当时，容积取得极大值，也是最大值.故当容积最大时，即长方体的宽为1m，此时长方体的长为1.5m.故选B.9.答案：A解析：如图，是正四棱锥的对角面,其外接圆是四棱锥外接球的大圆，O是圆心（球心）,设正四棱锥的底面边长为a，则,，设，则由得，四边形ABCD的面积，正四棱锥的体积，
8、当时，在（0,1）上单调递增，当时，在（1,3）上单调递减，当时，取得极大值也是最大值.此时高.故选A.10.答案：D解析：设圆柱形铁桶的底面半径为r,其高为.记单位面积铁的价格为a，故其总造价，.故当时, ，当时, ；故在上是减函数，在上是增函数。当,即其高为时，容器的造价最低，此时.故答案为：D.11.答案：5解析：依题意可设每月土地占用费,每月库存货物的运费,其中是仓库到车站的距离.于是,由,得;由,得.因此两项费用之和为.令,得(舍去),且当时,;当时,故当仓库建在离车站5千米处时,两项费用之和最小.12.答案：解析：长方体底面正方形的边长为cm，其中，所以，所以，.当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减，所以，.故答案为.13.答案：解析： 依题意,由解得，封闭的图形面积为.故答案为：.14.答案：(1)(2)当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获的利润最大.解析：(1)时，由函数式，得，.(2)由(1)知该商品每日的销售量，商场每日销售该商品所获得的利润为，令，得，当时，函数在上递增；当时，函数在上递减；当时，函数取得最大值.所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获的利润最大.8
