1、第四讲随机事件的概率ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理双基自测知识梳理知识点一随机事件和确定事件(1)在条件S下，_必然要发生_的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件(2)在条件S下，_不可能发生_的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件(3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件(4)在条件S下，_可能发生也可能不发生_的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件知识点二概率与频率(1)概率与频率的概念：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的_频数
2、_，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的_频率_.(2)概率与频率的关系：对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用_频率fn(A)_来估计概率P(A)知识点三互斥事件与对立事件事件的关系与运算定义符号表示包含关系若事件A_发生_，则事件B_一定发生_，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)_BA(或AB)_相等关系若BA，且_AB_，则称事件A与事件B相等_AB_并事件(和事件)若某事件发生_当且仅当事件A发生或事件B发生_，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)_AB(或AB)_交事件(积事件)若某事件发生_
3、当且仅当事件A发生且事件B发生_，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)_AB(或AB)_互斥事件若AB为_不可能_事件，则称事件A与事件B互斥_AB_对立事件若AB为_不可能_事件，AB为_必然事件_，则称事件A与事件B互为对立事件_AB，且AB_重要结论概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：_0P(A)1_.(2)必然事件的概率：P(A)_1_.(3)不可能事件的概率：P(A)_0_.(4)概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则P(AB)_P(A)P(B)_.(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件P(AB)_1_，P(A)_1P(B)_.双基自测题
4、组一走出误区1(多选题)下列结论中正确的是(AD)A在大量重复试验中，概率是频率的稳定值B两个事件的和事件是指两个事件都得发生C掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的D对立事件肯定是互斥事件、互斥事件不一定是对立事件题组二走进教材2(P121T4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是(D)A至多有一次中靶B两次都中靶C只有一次中靶D两次都不中靶解析“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”故选D3(P133T4)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为_.解析掷两个骰子一次，向上的点数共6636(种)可能的结果，其中点数相同的结
5、果共有6种，所以点数不相同的概率P1.题组三考题再现4(2018课标全国卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(B)A0.3B0.4C0.6D0.7解析设事件A为“不用现金支付”，事件B为“既用现金支付也用非现金支付”，事件C为“只用现金支付”，则P(A)1P(B)P(C)10.150.450.4故选B5(2020黑龙江大庆质检)某公司欲派甲、乙、丙3人到A，B两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A城市恰好只有甲去的概率为(B)ABCD解析总的派法有：(甲、乙A)，(丙B)；(甲、乙B)，(丙A)
6、；(甲丙A)，(乙B)；(甲，丙B)，(乙A)；(乙，丙A)(甲B)；(乙，丙B)，(甲A)，共6种(或CA6(种)，A城市恰好只有甲去有一种，故所求概率P.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破互动探究考点一随机事件的关系自主练透例1 (1)(2020辽宁六校协作体期中)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(C)A“至少有1个白球”和“都是红球”B“至少有2个白球”和“至多有1个红球”C“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D“至多有1个白球”和“都是红球”(2)(2019中山模拟)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数，其中：
7、恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个是偶数上述事件中，是对立事件的是(C)ABCD(3)设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)P(B)1”，则甲是乙的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析(1)对于选项A，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，不符合题意；对于选项B，“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的，而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球，或者2个都是白球，二者不是互斥事件，不符合题意；对于选项C，“恰有1个白球”表示
8、取出2个球1个红球1个白球，与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件，符合题意；对于选项D，“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球，或者2个都是红球，与“都是红球”不是互斥事件，不符合题意故选C(2)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，2个奇数，2个偶数其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或2个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件又中的事件可以同时发生，不是对立事件，故选C(3)若事件A与事件B是对立事件，则AB为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)P(B)1；投掷一枚硬币3次，满足P(A)P(B)1，但A，B不一定是对立事件，如：事件A：“至少
9、出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P(A)，P(B)，满足P(A)P(B)1，但A，B不是对立事件，故甲是乙的充分不必要条件名师点拨 (1)准确把握互斥事件与对立事件的概念：互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生(2)判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件变式训练1(2020宁夏检测)抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为(B)A至多有2件次品B至多有1
10、件次品C至多有2件正品D至少有2件正品解析“至少有n个”的反面是“至多有n1个”，又事件A“至少有2件次品”，事件A的对立事件为“至多有1件次品”考点二随机事件的概率多维探究角度1频率与概率例2 (2018北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(
11、3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解析(1)由题意知，样本中电影的总部数是140503002008005102 000，第四类电影中获得好评的电影部数是2000.2550.故所求概率为0.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是1400.4500.23000.152000.258000.25100.15610455016051372.故所求概率估计为10.814.
12、(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率角度2统计与概率例3 (2020云南名校适应性月考)下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是(A)ABCD解析记其中被污损的数字为x，由题知甲的5次综合测评的平均成绩是(80290389210)90，乙的5次综合测评的平均成绩是(803902337x9)，令90，解得x8，即x的取值可以是07，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是.故选A名师点拨 概率和频率的关系概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数
13、越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率变式训练2(2019吉林模拟)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买，“”表示未购买.商品顾客人数甲乙丙丁1002172003008598(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解析(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为0.2.(2)从统计表可以看
14、出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为0.3.(3)与(1)同理可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大考点三互斥事件、对立事件的概率师生共研例4 (1)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等
15、奖、二等奖的事件分别为A、B、C求：P(A)，P(B)，P(C)；1张奖券的中奖概率；1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率(2)(2020河南新乡模拟)从5个同类产品(其中3个正品，2个次品)中，任意抽取2个，下列事件发生概率为的是(C)A2个都是正品B恰有1个是正品C至少有1个正品D至多有1个正品解析(1)P(A)，P(B)，P(C).因为事件A，B，C两两互斥，所以P(ABC)P(A)P(B)P(C).故1张奖券的中奖概率为.P()1P(AB)1().故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.(2)将从5个产品中任取2个的取法有C10种，其中2个都是正品的取法有C3种，故2个都是正品的概率
16、P1；其对立事件是“至多有1个正品”，概率为P21P11.恰有1个正品的取法有CC6种，故恰有1个正品的概率P3.至少有1个正品的概率P4P1P3.名师点拨 求复杂的互斥事件的概率的两种方法(1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P()，即运用逆向思维(正难则反)特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便变式训练3根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.则该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为_
17、0.8_；该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为_0.2_.解析记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买(1)由题意得P(A)0.5，P(B)0.3，又CAB，所以P(C)P(AB)P(A)P(B)0.50.30.8.(2)因为D与C是对立事件，所以P(D)1P(C)10.80.2.MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛素养提升用正难则反的思想求互斥事件的概率例5 (2019洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的
18、人数及相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？解析记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)解法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则HDEF，所以P(H)P(DEF)P(D)P(
19、E)P(F)0.30.10.040.44.解法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)1P(G)0.44.名师点拨 “正难则反”的思想是一种常见的数学思想，如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现在解决问题时，如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决，那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果，大大降低题目的难度在求对立事件的概率时，经常应用“正难则反”的思想，即若事件A与事件B互为对立事件，在求P(A)或P(B)时，利用公式P(A)1P(B)先求容易的一个，再求另一个变式训练3某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超
20、市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17至及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)解析(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y 20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1.9(分钟)(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)，P(A2).P(A)1P(A1)P(A2)1.故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.
