1、广西钦州市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题：每小题5分，12题共60分，每个小题只有一项是符合题目要求的1.复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出结果【详解】由题意得： 复数所对应点的坐标是本题正确选项：【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题2.下表是离散型随机变量X的分布列，则常数的值是（ ）X3459PA. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由随机变量分布列中概率之和为1列出方程即可求出a.
2、【详解】，解得.故选：C【点睛】本题考查离散型随机变量分布列，属于基础题.3.设，若在处的导数，则的值为（ ）A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】直接求出原函数的导函数，由列式求解的值【详解】由，得由，解得：故选：B【点睛】本题考查了简单的复合函数求导，关键是不要忘记对内层函数求导，是基础题4.二项展开式中，常数项为（ ）A. 240B. 240C. 15D. 不存在【答案】A【解析】分析】通项公式：令，解得即可得出【详解】由二项展开式可得.常数项中,可得,代入常数项.故选：【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题5.利用反证法证明：若，则，假设
3、为()A. 都不为0B. 不都为0C. 都不为0，且D. 至少有一个为0【答案】B【解析】【分析】根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果.【详解】的否定为，即，不都为0，选B.【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题.6.研究变量得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高；用相关指数来刻画回归效果，越小说明拟合效果越好；在回归直线方程中，当变量每增加1个单位时，变量就增加2个单位若变量和之间的相关系数为，则变量和之间的负相关很强以上正确说法的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案
4、】B【解析】【分析】可以用来衡量模拟效果好坏的几个量分别是相关系数，残差平方和和相关系数，只有残差平方和越小越好，其它的都是越大越好.【详解】对于，残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越高；故正确；对于，用相关指数来刻画回归效果，越大说明拟合效果越好，故不正确；对于，在回归直线方程中，当变量每增加1个单位时，变量就增加2个单位是正确的；故正确；对于，说明变量和呈负相关，接近于1说明变量和相关性很强，故正确.故选：C.【点睛】本题主要考查线性相关指数的理解，解题的关键是理解影响拟合效果好坏的几个量，属于基础题.7.有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人
5、数为，则其数学期望为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用超几何分布分别求随机变量X的概率，分布列及其数学期望即可得出【详解】随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(Xk)(k1，2，3，4)所以，随机变量X的分布列为X1234P 随机变量X的数学期望E(X).【点睛】本题考查了超几何分布的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题8.一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以从中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过次就按对的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【
6、分析】利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式直接求解【详解】一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为：p=故选C【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题9.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ）A. 150B.
7、 200C. 300D. 400【答案】C【解析】【分析】求出，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数【详解】，所以，所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为故选C【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想属于基础题10.已经知道函数在上，则下列说法不正确的是( )A. 最大值为9B. 最小值为C. 函数在区间上单调递增D. 是它的极大值点【答案】C【解析】【分析】求出函数导数并判断导数符号，可推出当，时函数单调递增，当时函数单调递减，即可逐项判断正误.【详解】，令，解得或，所以当，时，函数单调递增，当时，
8、函数单调递减，C错误；所以是它的极大值点，D正确；因为，所以函数的最大值为9，A正确；因为，所以函数的最小值为，B正确.故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，涉及利用导数判断函数的单调性、极值点及求解最值，属于中档题.11.在极坐标系中，点在圆上，则点到直线的距离的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将极坐标方程转化为普通方程，将圆上点到直线距离问题转化为圆心到直线的距离再减半径，即可求出其最小值【详解】由得，圆心（0，0），,由，得，又圆心（0，0）到直线的距离为，直线和圆相离，所以点P到直线的距离的最小值为，故选：D.【点睛】本题考查了极坐标方程和普通
9、方程的转化，考查直线和圆的关系，考查了转化思想，属于中档题12.已知函数满足， 若恒成立，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求导根据已知联立方程解得解析式，代入化简得到，构造函数，求导，讨论和两种情况，得到，再次构造函数，计算最值得到答案.【详解】，则，则，解得，故，则，设，当时，在上单调递增，时，与矛盾；当时，则，函数单调递增；，则，函数单调递减，故当时，则，令，则，则，函数单调递增，则，函数单调递减，当时，故当时，的最大值为.故选：D.【点睛】本题考查了利用导数求函数的范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，构造函数计算最值是解题的关键.二、填空题:本
10、大题共4小题，每小题5分，共20分.13.= _ 【答案】【解析】【分析】利用积分运算得，计算可得答案.【详解】因为.故答案为：.【点睛】本题考查积分的运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.14.函数的单调减区间为_【答案】.【解析】【分析】利用导数研究函数单调性即可得到结论.【详解】解：，则，由，即，解得 ，即函数的单调减区间为，故答案为：.【点睛】本题主要考查函数单调区间的求解，根据函数的导数和单调性之间的关系是解决本题的关键.15.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为_【
11、答案】【解析】【分析】求出甲获得冠军的概率，比赛进行了局的概率，根据条件概率公式，得到答案.【详解】根据题意，甲获得冠军的概率为，其中，比赛进行了局的概率为，所以，在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为.故答案为.【点睛】本题考查条件概率，相互独立事件概率公式，属于中档题.16.已知偶函数，其导函数为，当时，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】令，确定在上单调递增，解不等式得到答案.【详解】令，当时，在上单调递增因为是偶函数，所以是奇函数因为，所以不等式等价于，所以或，解得或故答案为：【点睛】本题考查了利用函数的单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的综合运用.三、解答
12、题：本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.某媒体为调查喜爱娱乐节目是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：喜欢节目A不喜欢节目A总计男性观众女性观众总计（1）根据该等高条形图，完成右上列联表，并用独立性检验的方法分析，则在犯错误的概率不超过多少的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关？（2）从男性观众中按喜欢节目与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的概率 附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）见解析，能在
13、犯错误概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关（2）【解析】【分析】（1）根据图表中男女喜欢与不喜欢所占的比例以及总人数补全列联表,再计算的值,对照表中所给的数据分析即可.（2）利用分层抽样在男性抽取5名，喜欢娱乐节目的人数为4人，不喜欢节目的人数为1人，根据古典概率的计算方法可求概率.【详解】由等高条形图，男性喜欢节目A人数为300.824人，不喜欢节目A的人数为6人，女性喜欢节目A的人数为300.515人，不喜欢节目A的人数为15人.由题意得列联表如表：喜欢节目A不喜欢节目A总计男性观众24630女性观众151530总计392160则的观测值，所以能在犯错误的概率不超过0.
14、05的前提下认为喜欢娱乐节目与观众性别有关（2）利用分层抽样在男性抽取5名，喜欢娱乐节目的人数为，不喜欢节目的人数为恰有1名喜欢节目和1名不喜欢节目的概率【点睛】本题主要考查了独立性检验的实际运用,和古典概率的求法，属于基础题.18.将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教.（最后结果用数字表示）（1）4个人分到甲学校，2个人分到乙学校，1个人分到丙学校，有多少种不同的分配方案？（2）一所学校安排4个人，一所学校安排2个人，一所学校1个人，有多少种不同的分配方案？（3）其中有两所学校都各安排3个人，另一所学校安排1个人，有多少种不同的分配方案？【答案】（1）105种（2）630种（3）420
15、种【解析】【分析】(1)利用组合的知识求解（2）先不均匀分组，再分配到学校即可求解（3）先不均匀分组，再分配即可【详解】（1）（种）（2）（种）（3）（种）【点睛】本题考查分组分配问题，注意是否为均匀分组，是易错题19.已知数列满足，对任意，都有成立.（1）求出的值. （2）推测出数列通项公式并用数学归纳法证明.【答案】（1），.（2），见解析【解析】【分析】（1）根据，且，分别令，求解即可.（2）由（1），归纳猜想：， 再用数学归纳法进行证明，分当时和假设当成立，两步进行证明.【详解】（1）由，且，令，可得：，令，可得：，令，可得：.（2）由（1），归纳猜想：， 下面应用数学归纳法进行证明：
16、当时，满足题意，故成立；假设当成立，即故当时：= ，故时，等式成立，由可知，对任意自然数等式都成立，故【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.2020年初，由于疫情影响，开学延迟，为了不影响学生的学习，国务院、省市区教育行政部门倡导各校开展“停学不停课、停学不停教”，某校语文学科安排学生学习内容包含老师推送文本资料学习和视频资料学习两类，且这两类学习互不影响已知其积分规则如下:每阅读一篇文本资料积1分，每日上限积5分;观看视频1个积2分，每日上限积6分.经过抽样统计发现，文本资料学习积分的概率分布表如表1所示，视频资料学习积分的概率分布表如表2所示.（1
17、）现随机抽取1人了解学习情况，求其每日学习积分不低于9分的概率；（2）现随机抽取3人了解学习情况，设积分不低于9分的人数为，求的概率分布及数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【分析】（1）根据题意，得到获得的积分不低于9分的情形，利用概率的计算公式，即可求解；（2）得出随机变量的所有可能取值为，利用对立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，利用公式求得期望.【详解】（1）由题意，获得的积分不低于9分的情形共有（如下表所示）：文本3455视频6664因为两类学习情况互不影响，所以每日学习积分不低于9分的概率，即每日学习积分不低于9分的概率为. （2）随
18、机变量的所有可能取值为，由（1）每个人积分不低于9分概率为.，所以随机变量的概率分布列为：0123P可得.所以随机变量的数学期望为.【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率计算，以及离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，其中解答中认真审题，合理利用概率的乘法计算公式，以及求得随机变量取值时对应的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.21.在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）求与的直角坐标方程；（2）若与的交于点，与交于、两点，求的面积.【答案】（1）：；：（2）【解析】【分析】（1）由曲
19、线的极坐标方程能求出曲线的普通方程，由曲线的极坐标方程能求出曲线的普通方程.（2）由曲线的极坐标方程求出曲线的普通方程，联立与得，解得点坐标（1，4），从而点到的距离.设，.将代入，得，求出，由此能求出的面积.【详解】解：（1）曲线的极坐标方程为，根据题意，曲线的普通方程为.曲线的极坐标方程为，曲线的普通方程为，即；（2）曲线的极坐标方程为，曲线的普通方程为，联立与，得，解得，点的坐标，点到的距离.设，将代入，得，则，.【点睛】本小题考查曲线直角坐标方程的求法，考查三角形面积的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题.22.设
20、函数（1）若在处取得极值，确定的值，并求此时曲线在点处的切线方程；（2）若在上为减函数，求的取值范围【答案】（1），切线方程为；（2）.【解析】试题解析：本题考查求复合函数的导数，导数与函数的关系，由求导法则可得，由已知得，可得，于是有，由点斜式可得切线方程；（2）由题意在上恒成立，即在上恒成立，利用二次函数的性质可很快得结论，由得试题解析：（1）对求导得因为在处取得极值，所以，即.当时，,故,从而在点处的切线方程为,化简得（2）由（1）得，,令由，解得.当时，,故为减函数；当时，,故为增函数；当时，,故为减函数；由在上为减函数，知，解得故a的取值范围为.考点：复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力
