1、2015-2016学年广西百色市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设z=1+i（是虚数单位），则+=（）A1B1CiDi2设随机变量xN（1，2），若P（x2）=0.3，则P（x0）等于（）A0.3B0.4C0.6D0.73函数y=ax3x在（，+）上的减区间是1，1，则（）Aa=Ba=1Ca=2Da04用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A假设a、b、c都是偶数B假设a、b、c都不是偶数C假设a、b、c
2、至多有一个偶数D假设a、b、c至多有两个偶数5现有5种不同颜色的染料，要对如图中的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是（）A120B140C240D2606已知x，y的取值如表：X2345y2.23.85.56.5从散点图分析，y与x线性相关，且回归直线方程为=1.46x+，则的值为（）A0.71B0.61C0.72D0.627已知（1x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么（a0+a2+a4）（a1+a3+a5）的值等于（）A256B256C512D5128设10件产品中有4件不合格，从中任意取出2件，那么在所得的
3、产品中发现有一件不合格，则另一件也是不合格品的概率（）ABCD9A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有（）A24种B60种C90种D120种10有一个圆锥，其母线长为18cm，要使其体积最大，则该圆锥的高为（）A8cmB6cmC8cmD12cm11下面给出了关于复数的三种类比推理：其中类比错误的是（）复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则；由向量的性质|2=2可以类比复数的性质|z|2=z2；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义ABCD12已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）=4，且f（x）导函数f（x）
4、3，则不等式f（lnx）3lnx+1的解集为（）A（1，+）B（e，+）C（0，1）D（0，e）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知随机变量XB（4，p），若E（X）=2，则D（X）=14已知函数f（x）=x4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为15曲线y=x22x与直线x=1，x=l以及x轴所围图形的面积为.16观察下列等式1=12，1222=3，1222+32=6，1222+3242=10照此规律，第100个等式1222+3242+1002=三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知复数z=（3m2）+（m1）i，mR，i为虚数单
5、位（1）当m=2时，求复数z的模|z|；（2）若z表示纯虚数，求m的值；（3）在复平面内，若z对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围18“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患，某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性合计反感10不反感8合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是（）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料判断是否有95%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关？（）若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反
6、感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列附：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.63519在二项式（+）n的展开式中，前三项系数成等差数列（I）求展开式中的常数项；（）求展开式中系数最大的项20某小区物业加强对员工服务宗旨教育，服务意识和服务水平不断提高，某服务班组经常收到表扬电话和表扬信设该班组一周内收到表扬电话和表扬信的次数用X表示，据统计，随机变量X的概率分布如下：X0123P0.10.32aa（1）求a的值和X的数学期望；（2）假设某月第一周和第二周收到表扬电话和表扬信的次数互不影响，
7、求该班组在这两周内共收到表扬电话和表扬信2次的概率21已知函数f（x）=（x0），数列an满足a1=f（x），an+1=f（an）（1）求a2，a3，a4（2）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法予以证明22已知函数f（x）=alnx+bx2+x（a，bR）（1）若函数f（x）在x1=1，x2=2处取得极值，求a，b的值，并说明分别取得的极大值还是极小值；（2）若函数f（x）在（1，f（1）处的切线的斜率为1，且对任意x1，e，都使得f（x）x（a+2）（x2+x）恒成立，求实数a的取值范围2015-2016学年广西百色市高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共1
8、2小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设z=1+i（是虚数单位），则+=（）A1B1CiDi【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的除法运算法则化简复数为a+bi的形式即可【解答】解：z=1+i（是虚数单位），则+=1故选：A2设随机变量xN（1，2），若P（x2）=0.3，则P（x0）等于（）A0.3B0.4C0.6D0.7【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据随机变量服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=1，且P（x2）=0.3，可得P（x0）=0.3，即可求得答案【解答】解：随机变量服从正态分布N（1，2），正态曲线的
9、对称轴是：x=1，又P（x2）=0.3，P（x0）=0.3，P（x0）=10.3=0.7，故选：D3函数y=ax3x在（，+）上的减区间是1，1，则（）Aa=Ba=1Ca=2Da0【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】由f（x）=ax3+x的减区间为1，1，得f（x）=3ax21=0的两个根为1，1，解出a即可【解答】解：f（x）=3ax21由题意得3ax21=0的根为1，1则3a1=0，所以a=故选A4用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有有理数根，那么a、b、c中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（）A假设a、b、c都是偶数B假设a、b、c都不是偶数C假设a、b
10、、c至多有一个偶数D假设a、b、c至多有两个偶数【考点】反证法与放缩法【分析】本题考查反证法的概念，逻辑用语，否命题与命题的否定的概念，逻辑词语的否定根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，故只须对“b、c中至少有一个偶数”写出否定即可【解答】解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数故选：B5现有5种不同颜色的染料，要对如图中的四个不同区域进行着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是（）A120B140C240D260【考点】计数原理的应用；排列、组合及简单计数问题【分析】可分步研究
11、涂色的种数，从A处开始，再涂B处，C处时进行分类，分A，C相同，与不同两类，由计数原理计算出不同的着色结果数选出正确选项【解答】解：由题意，先涂A处，有5种涂法，再涂B处4种涂法，第三步涂C，若C与A同，则D有四种涂法，若C与A不同，则D有三种涂法，由此得不同的着色方案有54（14+33）=260种故选D6已知x，y的取值如表：X2345y2.23.85.56.5从散点图分析，y与x线性相关，且回归直线方程为=1.46x+，则的值为（）A0.71B0.61C0.72D0.62【考点】线性回归方程【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于的方程，解方程
12、即可【解答】解：=3.5， =4.5，这组数据的样本中心点是（3.5，4.5）把样本中心点代入回归直线方程=1.46x+，4.5=1.463.5+，=0.61故选：B7已知（1x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么（a0+a2+a4）（a1+a3+a5）的值等于（）A256B256C512D512【考点】二项式系数的性质【分析】用赋值法，只要分别令x=1和1，即可求解二项展开式中奇数项和与偶数项的和的问题【解答】解：令x=1得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0，再令x=1得a0a1+a2a3+a4a5=25=32，+得a0+a2+a4=16得a1+a3+a5=1
13、6故（a0+a2+a4）（a1+a3+a5）的值等于256故选：A8设10件产品中有4件不合格，从中任意取出2件，那么在所得的产品中发现有一件不合格，则另一件也是不合格品的概率（）ABCD【考点】相互独立事件的概率乘法公式【分析】根据题意得出在所取得的产品中发现有一件是不合格品，共有=46=24，2个都不合格的有，运用体积概率求解即可【解答】解：设十件产品中有四件不合格，a1，a2，a3，a4，合格的为b1，b2，b6，在所取得的产品中发现有一件是不合格品事件为A，另一件也是不合格品的为B，至少有一件不合格品的概率为P（A）=11=，两件都为不合格品的概率为P（AB）=，在所取得的产品中发现有
14、一件是不合格品，另一件也是不合格品的概率=，故选：D9A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（A，B可以不相邻），那么不同的排法共有（）A24种B60种C90种D120种【考点】排列、组合的实际应用【分析】根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，使用倍分法，计算可得答案【解答】解：根据题意，使用倍分法，五人并排站成一排，有A55种情况，而其中B站在A的左边与B站在A的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，则B站在A的右边的情况数目为A55=60，故选B10有一个圆锥，其母线长为18cm，要使其体积最大，则该圆锥的
15、高为（）A8cmB6cmC8cmD12cm【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，表示出圆锥的体积，利用但是判断函数的单调性求出函数的最大值点即可【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，则r2+h2=182，即r2=324h2，圆锥的体积为：V=r2h=（0h18）V=，令V=0，则h=6，0h6时，V0，6h18时，V0，故h=6时，V取最大值，故选：B11下面给出了关于复数的三种类比推理：其中类比错误的是（）复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则；由向量的性质|2=2可以类比复数的性质|z|2=z2；由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意
16、义ABCD【考点】类比推理【分析】利用复数的加减法运算法则判断出对；利用复数加法的几何意义判断出对；通过举反例判断出命题错【解答】解：对于复数的加减法运算法则判断出对；对于向量a的性质|2=2，但|z|2是实数，但z2不一定是实数，如z=i，就不成立，故错；对于复数加法的几何意义判断出对，故选：A12已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）=4，且f（x）导函数f（x）3，则不等式f（lnx）3lnx+1的解集为（）A（1，+）B（e，+）C（0，1）D（0，e）【考点】导数的运算；其他不等式的解法【分析】构造函数g（x）=f（x）2x1，求函数的导数，判断函数的单调性 即可得到结论【解答
17、】解：设t=lnx，则不等式f（lnx）3lnx+1等价为f（t）3t+1，设g（x）=f（x）3x1，则g（x）=f（x）3，f（x）的导函数f（x）3，g（x）=f（x）30，此时函数单调递减，f（1）=4，g（1）=f（1）31=0，则当x1时，g（x）g（1）=0，即g（x）0，则此时g（x）=f（x）3x10，即不等式f（x）3x+1的解为x1，即f（t）3t+1的解为t1，由lnx1，解得0xe，即不等式f（lnx）3lnx+1的解集为（0，e），故选：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13已知随机变量XB（4，p），若E（X）=2，则D（X）=1【考点】二项分布与
18、n次独立重复试验的模型【分析】根据随机变量符合二项分布，由二项分布的期望公式，列出方程，解方程，求出p，即可求出答案【解答】解：随机变量X服从二项分布XB（4，p），E（X）=2，4p=2，p=D（X）=4p（1p）=1，故答案为：114已知函数f（x）=x4lnx，则曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为3x+y4=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】在填空题或选择题中，导数题考查的知识点一般是切线问题【解答】解：函数f（x）=x4lnx，所以函数f（x）=1，切线的斜率为：3，切点为：（1，1）所以切线方程为：3x+y4=0故答案为：3x+y4=015曲线y=x22x
19、与直线x=1，x=l以及x轴所围图形的面积为2.【考点】定积分在求面积中的应用【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可【解答】解：根据题意画出图形，曲线y=x22x，与直线x=1，x=1，以及x轴所围成的曲边梯形的面积为=（）|+（x2）|=2；故答案为：216观察下列等式1=12，1222=3，1222+32=6，1222+3242=10照此规律，第100个等式1222+3242+1002=5050【考点】归纳推理【分析】观察可得：等式的左边是连续正整数的平方差相加的形式，根据这一规律得第100个等式左边为1222+3242+99
20、21002，利用分组求和法、等差数列的前n项和公式求出左边式子的和【解答】解：观察下列等式：12=11222=31222+32=61222+3242=10 当n=100时，左边=（1222）+（3242）+（99）21002=（3+7+11+199）=5050，故答案为：5050三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知复数z=（3m2）+（m1）i，mR，i为虚数单位（1）当m=2时，求复数z的模|z|；（2）若z表示纯虚数，求m的值；（3）在复平面内，若z对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围【考点】复数求模；复数的代数表示法及其几何意义【分析】（1）将m代入，利用模的
21、公式求z的模；（2）由于发生为纯虚数，得到实部为0，虚部不为0，求出m（3）利用第三象限的点的特征得到复数的实部和虚部都小于0，解不等式【解答】解：（1）当m=2时，z=（m1）i+3m2=4+i，所以（2）复数为纯虚数，则由3m2=0，且m10得m=（3）3m20，m10得18“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患，某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性女性合计反感10不反感8合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是（）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需
22、要写求解过程），并据此资料判断是否有95%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关？（）若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列附：K2=，其中n=a+b+c+dP（K2k0）0.150.100.050.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635【考点】独立性检验的应用【分析】（I）根据在全部30人中随机抽取1人抽到中国式过马路的概率，做出中国式过马路的人数，进而做出男生的人数，填好表格再根据所给的公式，代入数据求出临界值，把求得的结果同临界值表进行比较，看出有多大的把握说明反感“中国式过马路”与性别是否有关（
23、II）反感“中国式过马路”的人数为X的可能取值为0，1，2，通过列举得到事件数，分别计算出它们的概率，最后利用列出分布列，求出期望即可【解答】解：（）男性女性合计反感10616不反感6814合计161430设H0：反感“中国式过马路”与性别与否无关由已知数据得：2=1.1583.841，所以，没有95%的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关（）X的可能取值为0，1，2P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，所以X的分布列为：X012P19在二项式（+）n的展开式中，前三项系数成等差数列（I）求展开式中的常数项；（）求展开式中系数最大的项【考点】二项式定理的应用；二项式系数的性质【分析
24、】（I）有条件利用等差数列的定义求得n的值，可得二项式（+）n的展开式的通项公式，在通项公式中，令x的幂指数等于零，求得r的值，可得展开式的常数项（）设第r+1项的系数最大，则由，求得r的值，可得系数最大的项【解答】解：（I）二项式（+）n的展开式中，前三项系数分别为 1，再根据前三项系数成等差数列，可得 n=1+，求得n=8或n=1（舍去）故二项式（+）n的展开式的通项公式为 Tr+1=2rx4r令4r=0，求得 r=4，可得展开式的常数项为 T5=（）设第r+1项的系数最大，则由，求得，即2r3，故r=2 或r=3，故第三项或第四项的系数最大，再利用通项公式可得系数最大的项为 T3=7x2
25、，T4=7x20某小区物业加强对员工服务宗旨教育，服务意识和服务水平不断提高，某服务班组经常收到表扬电话和表扬信设该班组一周内收到表扬电话和表扬信的次数用X表示，据统计，随机变量X的概率分布如下：X0123P0.10.32aa（1）求a的值和X的数学期望；（2）假设某月第一周和第二周收到表扬电话和表扬信的次数互不影响，求该班组在这两周内共收到表扬电话和表扬信2次的概率【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）由随机变量X的概率分布列性质能求出a=0.2，由此能求出X的数学期望（2）利用相互独立事件概率乘法公式能求出该班组在这两周内共收到表扬电话和表扬信2次的概率
26、【解答】解：（1）由随机变量X的概率分布列性质得：0.1+0.3+2a+a=1，解得a=0.2X的数学期望EX=00.1+10.3+20.4+30.2=1.7（2）该班组在这两周内共收到表扬电话和表扬信2次的概率：p=0.10.4+0.40.1+0.30.3=0.1721已知函数f（x）=（x0），数列an满足a1=f（x），an+1=f（an）（1）求a2，a3，a4（2）猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法予以证明【考点】数列递推式；数列的函数特性；数学归纳法【分析】（1）根据a1=f（x），an+1=f（an），分别令n=1，2，3即可求得a2，a3，a4（2）根据（1）可猜数列an的
27、通项公式，分两步用数学归纳法证明：先证n=1时的情形；假设当n=k时，结论成立，然后证明n=k+1时成立即可得到结论；【解答】解：（1）由a1=f（x），an+1=f（an）得：，；（2）猜想数列an的通项公式证明：（1）当n=1时，结论显然成立；（2）假设当n=k时，结论成立，即则当n=k+1时，显然，当n=k+1时，结论成立由（1）、（2）可得，数列an的通项公式22已知函数f（x）=alnx+bx2+x（a，bR）（1）若函数f（x）在x1=1，x2=2处取得极值，求a，b的值，并说明分别取得的极大值还是极小值；（2）若函数f（x）在（1，f（1）处的切线的斜率为1，且对任意x1，e，都
28、使得f（x）x（a+2）（x2+x）恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）求得f（x）的导数，由题意可得f（1）=a+b+1=0，f（2）=a+2b+1=0，求得a，b的值，可得f（x）及导数，求得单调区间，可得极值；（）求得f（x）的导数，由导数的几何意义，解方程可得a=b，故f（x）=alnxx2+x，由题意可得a（xlnx）x22x成立，由条件可得a（x1，e），令g（x）=（x1，e），求得导数，判断单调性，可得最小值，即可得到a的范围【解答】解：（）函数f（x）=alnx+bx2+x的导数为f（x）=+bx+1，由在x1=
29、1，x2=2处取得极值，可得f（1）=a+b+1=0，f（2）=a+2b+1=0，解得a=，b=，此时f（x）=lnxx2+x，f（x）=x+1=，列出表格：x（0，1）1（1，2）2（2，+）f（x）0+0f（x）减极小增极大减所以，在x=1取得极小值，在x=2取得极大值ln2；（）若函数f（x）在（1，f（1）处的切线的斜率为1，则f（1）=a+b+1=1，则a=b，故f（x）=alnxx2+x，若f（x）x=alnxx2（a+2）（x2+x）成立，则a（xlnx）x22x成立，由x1，e，可得lnx1x，且等号不能同时取，所以lnxx，即xlnx0因而a（x1，e）令g（x）=（x1，e）又g（x）=，当x1，e时，x10，lnx1，x+22lnx0，从而g（x）0（仅当x=1时取等号），所以g（x）在1，e上为增函数故g（x）的最大值为g（1）=1，则a的取值范围是1，+）2016年8月21日
