1、12.1 合情推理与演绎推理考纲要求 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 1合情推理(1)归纳推理 定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的_对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出_的推理，称为归纳推理(简称归纳)特点：由_到整体、由_到一般的推理 全部一般结论部分个别(2)类比推理 定义：由两类对象具有某些_和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)
2、特点：类比推理是由_到_的推理(3)合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、_，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理 类似特征特殊特殊类比2演绎推理(1)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由_到_的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式 大前提已知的_；小前提所研究的_；结论根据一般原理，对_做出的判断一般特殊一般原理特殊情况特殊情况【思考辨析】判断下 面结论是 否正确(请在括号中打“”或“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面
3、三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(5)一个数列的前三项是1，2，3，那么这个数列的通项公式是ann(nN*)()(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)1观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10等于()A28 B76 C123D199【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值
4、，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10b10123.【答案】C 2命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是()A使用了归纳推理 B使用了类比推理 C使用了“三段论”，但推理形式错误 D使用了“三段论”，但小前提错误【解析】由“三段论”的推理方式可知，该推理的错误原因是推理形式错误【答案】C 3(2016济南模拟)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行
5、；垂直于同一条直线的两个平面互相平行 则正确的结论是()A B CD【解析】显然正确；对于，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交【答案】D 4(2016全国卷)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_【解析】为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A，B，C.从丙出发，由于丙的卡片上的数字
6、之和不是5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A.【答案】1和3 5(2017甘肃定西上学期期末)观察如图等式，照此规律，第n个等式为_ 11 2349 3456725 4567891049 【解析】等式的右边为1，9，25，49，即12，32，52，72，为奇数的平方等式的左边以正整数为首项，每行个数为对应的奇数，第n个式子的右边为(2n1)2，左边为n(n1)(3n2)，第n个等式为n(n1)(3n2)(2n1)2.【答案】n(n1)(
7、3n2)(2n1)2题型一 归纳推理 命题点1 与数字有关的等式的推理【例1】(2016日照模拟)对于实数x，x表示不超过x的最大整数，观察下列等式：1 2 33，4 5 6 7 810，9 10 11 12 13 14 1521，按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为_【答案】2n2n【解析】因为 1 2 313，4 5 6 7 825，9 10 11 12 13 14 1537，以此类推，第 n 个等式的等号右边的结果为 n(2n1)，即 2n2n.命题点 2 与不等式有关的推理【例 2】(2017山西四校联考)已知 x(0，)，观察下列各式：x1x2，x4x2x2x24x23，x27
8、x3x3x3x327x34，类比得 xaxnn1(nN*)，则 a_【解析】第一个式子是n1的情况，此时a111；第二个式子是n2的情况，此时a224；第三个式子是n3的情况，此时a3327，归纳可知ann.【答案】nn 命题点 3 与数列有关的推理【例 3】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 1，3，6，10，第 n 个三角形数为n（n1）212n212n，记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k3)，以下列出了部分k 边形数中第 n 个数的表达式：三角形数 N(n，3)12n212n，正方形数N(n，4)n2，五边形数N(n，5)32n212n，六边形数N(n，
9、6)2n2n可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10，24)_【答案】1 000【解析】由 N(n，4)n2，N(n，6)2n2n，可以推测：当k 为偶数时，N(n，k)k22 n24k2 n，N(10，24)2422100424210 1 1001001 000.命题点 4 与图形变化有关的推理【例 4】(2016青岛模拟)某种平面分形图如下图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度均为 1，两两夹角为 120；二级分形图是在一级分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，且这两条线段与原线段两夹角为 120，依此规律得到 n 级分形图(1)n级分形图中共有_条线
10、段；(2)n级分形图中所有线段长度之和为_【解析】(1)分形图的每条线段的末端出发再生成两条线段，由题图知，一级分形图中有3(323)条线段，二级分形图中有9(3223)条线段，三级分形图中有21(3233)条线段，按此规律n级分形图中的线段条数an(32n3)(nN*)(2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原来13的线段，n 级分形图中第 n 级的所有线段的长度和为 bn323n1(nN*)，n 级分形图中所有线段长度之和为 Sn32303231323n13123n1239923n.【答案】(1)32n3(2)9923n【方法规律】归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的
11、等式的推理观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解(2)与不等式有关的推理观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解(3)与数列有关的推理通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可(4)与图形变化有关的推理合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性 跟踪训练1(1)(2016抚顺模拟)观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是_(2)(2016上海模拟)如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点(算第1层)，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，依此类推，如果一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为()A6B7 C8D9【
12、解析】(1)由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，“x”处应填的数字是325272102183.【答案】(1)183(2)C(2)由题意知，第 1 层的点数为 1，第 2 层的点数为 6，第 3层的点数为26，第4层的点数为 36，第5层的点数为46，第 n(n2，nN*)层的点数为 6(n1)设一个点阵有 n(n2，nN*)层，则共有的点数为 16626(n1)166（n1）2(n1)3n23n1，由题意得 3n23n1169，即(n7)(n8)0，所以 n8，故共有 8 层 题型二 类比推理【例 5】(2016南昌模拟)如图，在梯形 ABCD 中，ABCD，ABa，CDb(ab)
13、若 EFAB，EF 到 CD 与 AB 的距离之比为 mn，则可推算出：EFmanbmn.用类比的方法，推想出下面问题的结果在上面的梯形 ABCD 中，分别延长梯形的两腰 AD和 BC 交于 O 点，设OAB，ODC 的面积分别为 S1，S2，则OEF的面积 S0 与 S1，S2 的关系是()AS0mS1nS2mnBS0nS1mS2mnC.S0m S1n S2mnD.S0n S1m S2mn【答案】C【解析】在平面几何中类比几何性质时，一般是由平面几何中点的性质类比推理线的性质；由平面几何中线段的性质类比推理面积的性质故由 EFmanbmn 类比到关于OEF 的面积 S0 与S1，S2 的关系
14、是 S0m S1n S2mn.【方法规律】(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想其中找到合适的类比对象是解题的关键(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等 跟踪训练2(2017山东日照一模)36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为362232，所以36的所有正约数之和为(1332)(223232)(222232232)(1222)(1332)91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为_【解析】类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方
15、法求得：因为2002352，所以200的所有正约数之和为(122223)(1552)465.【答案】465 题型三 演绎推理【例 6】数列an的前 n 项和记为 Sn，已知 a11，an1n2nSn(nN*)证明：(1)数列Snn 是等比数列；(2)Sn14an.【证明】(1)an1Sn1Sn，an1n2n Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即 nSn12(n1)Sn.Sn1n12Snn，又S11 10，(小前提)故Snn 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义，这里省略了)(2)由(1)可知 Sn1n14 Sn1n1(n2)，Sn14(n1)Sn1n14n1
16、2n1 Sn1 4an(n2)，(小前提)又 a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数 n，都有 Sn14an.(结论)(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)【方法规律】演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提 跟踪训练3(2017安徽安庆二中第一次质检)下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()ycos x(xR)是三角函数；三角函数是周期函数；ycos x(xR)是周期函数 AB CD【解析】根据“
17、三段论”：“大前提”“小前提”“结论”可知：ycos x(xR)是三角函数是“小前提”；三角函数是周期函数是“大前提”；ycosx(xR)是周期函数是“结论”故“三段论”模式排列顺序为.故选B.【答案】B 高频小考点 10高考中的合情推理问题【典例 1】(2017福建安溪模拟)已知 1216123，122216235，12223216347，1222324216459，则 1222n2_(其中 nN*)【解析】根据题意归纳出 1222n216n(n1)(2n1)，下面给出证明：(k1)3k33k23k1，则 2313312311，3323322321，(n1)3n33n23n1，累加得(n1)
18、3133(1222n2)3(12n)n，整理得 1222n216n(n1)(2n1)，故填16n(n1)(2n1)【答案】16n(n1)(2n1)【典例2】设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数yf(x)满足：(1)Tf(x)|xS；(2)对任意x1，x2S，当x1x2时，恒有f(x1)f(x2)那么称这两个集合“保序同构”以下集合对不是“保序同构”的是()AAN*，BN BAx|1x3，Bx|x8或0 x10 CAx|0 x1，BR DAZ，BQ【解析】对选项 A，取 f(x)x1，xN*，所以 AN*，BN 是“保序同构”的，应排除 A；对选项 B，取 f(x)8，x1，x
19、1，1x0，x21，0 x3，所以 Ax|1x3，Bx|x8 或 0 x10是“保序同构”的，应排除 B；对选项 C，取 f(x)tanx2(0 x1)，所以 Ax|0 x1，BR 是“保序同构”的，应排除 C.选 D.【答案】D【温馨提醒】(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题.2演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行 失误与防范 1合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明 2演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性 3合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜想或拓展依据.
