1、2021年湖南省娄底市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）12021的倒数是（）A2021B2021CD2下列式子正确的是（）Aa3a2aB（a2）3a6Ca3a2a6D（a2）3a532021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学爱好者参加阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风尚5万用科学记数法表示为（）A0.5105B5104C50104D51054一组数据
2、17、10、5、8、5、15的中位数和众数是（）A5，5B8，5C9，5D10，55如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上，BEDF，则四边形AECF是（）A平行四边形B矩形C菱形D正方形6如图，ABCD，点E、F在AC边上，已知CED70，BFC130，则B+D的度数为（）A40B50C60D707从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（）ABCD182、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A2m10B102mC10D49如图，直线yx+b和ykx+4与x轴分别相交于
3、点A（4，0），点B（2，0），则解集为（）A4x2Bx4Cx2Dx4或x210如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当A与直线l：yx只有一个公共点时，点A的坐标为（）A（12，0）B（13，0）C（12，0）D（13，0）11根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数y（a为常数且a0，x0）的性质表述中，正确的是（）y随x的增大而增大y随x的增大而减小0y10y1ABCD12用数形结合等思想方法确定二次函数yx2+2的图象与反比例函数y的图象的交点的横坐标x0所在的范围是（）A0x0Bx0Cx0Dx01二、填空题（本大题共6
4、小题，每小题3分，满分18分）13函数y的自变量x的取值范围是 14如图所示的扇形中，已知OA20，AC30，40，则 15如图，ABC中，ABAC2，P是BC上任意一点，PEAB于点E，PFAC于点F，若SABC1，则PE+PF 16已知t23t+10，则t+ 17高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方向，BEAB，CBE，过B作AD的垂线，垂足为A（A点的视觉错觉点），若sin0.05，AB300mm，则AA mm18弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这
5、个角就是1弧度角，记作1rad已知1rad，60，则与的大小关系是 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19（6分）计算：（）0+（）12cos4520（6分）先化简，再求值：（1），其中x是1、2、3中的一个合适的数四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21（8分）“读书，点亮未来”，广泛的课外阅读是同学们搜集和汲取知识的一条重要途径学校图书馆计划购进一批学生喜欢的图书，为了了解学生们对“A文史类、B科普类、C生活类、D其它”的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每个学生只选其中一类），将所得数据进行分类统计绘制了不完整的统计图表，请根据图中的信息，解答下列问
6、题：统计表：频数频率A历史类50mB科普类900.45C生活类n0.20D其它200.10合计（1）本次调查的学生共 人；（2）m ，n ；（3）补全条形统计图22（8分）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角DPA为30且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角DPB为45，求天舟二号从A处到B处的平均速度（结果精确到1m/s，取1.732，1.414）五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23（9分）为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋
7、斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值24（9分）如图，点A在以BC为直径的O上，ABC的角平分线与AC相交于点E，与O相交于点D，延长CA至M，连结BM，使得MBME，过点A作BM的平行线与CD的延长线交于点N（1）求证：BM与O相切；（2）试给出AC、AD、CN之间的数量关系，并予以证明六、综合题
8、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25（10分）如图，E、F是等腰RtABC的斜边BC上的两动点，EAF45，CDBC且CDBE（1）求证：ABEACD；（2）求证：EF2BE2+CF2；（3）如图，作AHBC，垂足为H，设EAH，FAH，不妨设AB，请利用（2）的结论证明：当+45时，tan（+）成立26（10分）如图，在直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴相交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（1）求b、c的值；（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：yx于点Q当0m3时，求当P点到直线l：yx的距离最大时m的值；是否存在m，使得
9、以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值2021年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）12021的倒数是（）A2021B2021CD【解答】解：2021的倒数是故选：C2下列式子正确的是（）Aa3a2aB（a2）3a6Ca3a2a6D（a2）3a5【解答】解：Aa3与a2不是同类项，故本选项不符合题意；B（a2）3a6，故本选项符合题意；Ca3a2a5，故本选项不符合题意；D（a
10、2）3a6，故本选项不符合题意；故选：B32021年5月19日，第三届阿里数学竞赛预选赛顺利结束，本届大赛在全球范围内吸引了约5万名数学爱好者参加阿里数学竞赛旨在全球范围内引领开启关注数学、理解数学、欣赏数学、助力数学的科学风尚5万用科学记数法表示为（）A0.5105B5104C50104D5105【解答】解：5万500005104，故选：B4一组数据17、10、5、8、5、15的中位数和众数是（）A5，5B8，5C9，5D10，5【解答】解：从小到大排列为：5、5、8、10、15、17，中位数：（8+10）21829；众数为：5；故选：C5如图，点E、F在矩形ABCD的对角线BD所在的直线上
11、，BEDF，则四边形AECF是（）A平行四边形B矩形C菱形D正方形【解答】解：A四边形ABCD是矩形，AOCO，BODO，BEDF，EOFO，四边形AECF是平行四边形，故本选项符合题意；B四边形ABCD是矩形，ACBD，ACEF，四边形AECF不是矩形，故本选项不符合题意；C四边形ABCD是矩形，不能证明ACBD，不能证明ACEF，故本选项不符合题意；D四边形ABCD是矩形，ACBD，ACEF，四边形AECF不是正方形，故本选项不符合题意；故选：A6如图，ABCD，点E、F在AC边上，已知CED70，BFC130，则B+D的度数为（）A40B50C60D70【解答】解：BFC130，BFA5
12、0，又ABCD，A+C180，B+A+BFA+D+C+CED360，B+D60，故选：C7从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为（）ABCD1【解答】解：四张完全相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、圆，现从中任意抽取一张，卡片上所画的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为，故选：B82、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A2m10B102mC10D4【解答】解：2、5、m是某三角形三边的长，52m5+2，故3m7，+
13、m3+7m4故选：D9如图，直线yx+b和ykx+4与x轴分别相交于点A（4，0），点B（2，0），则解集为（）A4x2Bx4Cx2Dx4或x2【解答】解：当x4时，yx+b0，当x2时，ykx+40，解集为4x2，故选：A10如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当A与直线l：yx只有一个公共点时，点A的坐标为（）A（12，0）B（13，0）C（12，0）D（13，0）【解答】解：当A与直线l：yx只有一个公共点时，直线l与A相切，设切点为B，过点B作BEOA于点E，如图，点B在直线yx上，设B（m，m），OEm，BEm在RtOEB中，tanAOB直线l与A相切，ABBO在
14、RtOAB中，tanAOBAB5，OB12OAA（13，0）同理，在x轴的正半轴上存在点（13，0）故选：D11根据反比例函数的性质、联系化学学科中的溶质质量分数的求法以及生活体验等，判定下列有关函数y（a为常数且a0，x0）的性质表述中，正确的是（）y随x的增大而增大y随x的增大而减小0y10y1ABCD【解答】解：y（a为常数且a0，x0），即+1，根据反比例函数的性质，a0，当x增大时，随x的增大而减小，+1也随x的增大而减小，即也随x的增大而减小，则y就随x的增大而增大，性质正确又a0，x0，a+x0，0，即y0，又xa+x，1，即y1，0y1，性质正确综上所述，性质正确，故选：A12
15、用数形结合等思想方法确定二次函数yx2+2的图象与反比例函数y的图象的交点的横坐标x0所在的范围是（）A0x0Bx0Cx0Dx01【解答】解：函数yx2+2与y的图象如图所示，交点的横坐标x0的取值范围是x01，故选：D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13函数y的自变量x的取值范围是 x1【解答】解：根据题意得，x10，解得x1故答案为x114如图所示的扇形中，已知OA20，AC30，40，则100【解答】解：设AOBn由题意40，n360，100，故答案为：10015如图，ABC中，ABAC2，P是BC上任意一点，PEAB于点E，PFAC于点F，若SABC1，则PE+PF
16、1【解答】解：如图所示，连接AP，则SABCSACP+SABP，PEAB于点E，PFAC于点F，SACPACPF，SABPABPE，又SABC1，ABAC2，1ACPF+ABPE，即12PF+2PE，PE+PF1，故答案为：116已知t23t+10，则t+3【解答】解：t23t+10，t0，等式两边同时除以t，得t3+0，解得：t+3，故答案为：317高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方向，BEAB，CBE，过B作AD的垂线，垂足为A（A点的视觉错觉点），若sin0.05，AB30
17、0mm，则AA15mm【解答】解：BAAD，ADBC，ABBC，ABCABE90，ABACBE，sinABAsin0.05，AA3000.0515（mm），故答案为：1518弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作1rad已知1rad，60，则与的大小关系是【解答】解：由题意，1弧度为（）57.3，60，故答案为：三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19（6分）计算：（）0+（）12cos45【解答】解：原式1+221+1+2220（6分）先化简，再求值：（1），其中x是1、2、3中的一个合适的数【解答】解：原式，由题意得：x1，x3，
18、当x2时，原式四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21（8分）“读书，点亮未来”，广泛的课外阅读是同学们搜集和汲取知识的一条重要途径学校图书馆计划购进一批学生喜欢的图书，为了了解学生们对“A文史类、B科普类、C生活类、D其它”的喜欢程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查（每个学生只选其中一类），将所得数据进行分类统计绘制了不完整的统计图表，请根据图中的信息，解答下列问题：统计表：频数频率A历史类50mB科普类900.45C生活类n0.20D其它200.10合计（1）本次调查的学生共 200人；（2）m0.25，n40；（3）补全条形统计图【解答】解：（1）200.10200（人），
19、故答案为：200；（2）m502000.25，n2000.2040，故答案为：0.25，40；（3）补全条形统计图如下，22（8分）我国航天事业捷报频传，天舟二号于2021年5月29日成功发射，震撼人心当天舟二号从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角DPA为30且A与P两点的距离为6千米，它沿铅垂线上升7.5秒后到达B处，此时在P处测得B点的仰角DPB为45，求天舟二号从A处到B处的平均速度（结果精确到1m/s，取1.732，1.414）【解答】解：由题意可得：APD30，BPD45，AP6千米，BDP90，在RtAPD中，APD30，AP6千米，ADP90，cosAPDcos30，ADAP
20、3千米，PDPAcos3063（千米），在RtBPD中，BPD45，PD3千米，BDP90，tanBPDtan45，BDPDtan453（千米），故ABBDAD335.19632.196（千米）2196米，则天舟二号从A处到B处的平均速度约为：21967.5293（米/小时），答：天舟二号从A处到B处的平均速度约为293米/小时五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23（9分）为了庆祝中国共产党建党一百周年，某校举行“礼赞百年，奋斗有我”演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共
21、需45元（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元；（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值【解答】解：（1）设购买一个甲种纪念品需要x元，购买一个乙种纪念品需要y元，依题意得：，解得：答：购买一个甲种纪念品需要10元，购买一个乙种纪念品需要5元（2）设购买m个甲种纪念品，则购买（100m）个乙种纪念品，依题意得：，解得：53m60，又m为整数，m可以为54，55，56，57，58，59，60，共有7种购买方案设购买总费用为w元，则w10m+5（100m）5m+500，50，w随m的增大而增大，当m54时
22、，w取得最小值，最小值554+500770答：共有7种购买方案，所花资金的最小值为770元24（9分）如图，点A在以BC为直径的O上，ABC的角平分线与AC相交于点E，与O相交于点D，延长CA至M，连结BM，使得MBME，过点A作BM的平行线与CD的延长线交于点N（1）求证：BM与O相切；（2）试给出AC、AD、CN之间的数量关系，并予以证明【解答】证明：（1）BC是直径，BAC90，ABE+AEB90，BD平分ABC，ABDDBC，MBME，MBEMEB，MBE+EBC90，MBC90，MBBC，BM与O相切；（2）AC2CNAD，理由如下：ACDABD，DBCDAC，DCADAC，ADDC
23、，BC是直径，BDC90，BCD+DBC90，ANBC，N+DCB90，NDBC，NDBCDCADAC，DACACN，AC2CNAD六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25（10分）如图，E、F是等腰RtABC的斜边BC上的两动点，EAF45，CDBC且CDBE（1）求证：ABEACD；（2）求证：EF2BE2+CF2；（3）如图，作AHBC，垂足为H，设EAH，FAH，不妨设AB，请利用（2）的结论证明：当+45时，tan（+）成立【解答】证明：（1）ABC是等腰直角三角形，ABAC，BACB45，CDBC，BCD90，ACDBCDACB45B，在ABE和ACD中，ABEAC
24、D（SAS）；（2）由（1）知，ABEACD，AEAD，BAECAD，BAC90，EADCAE+CADCAE+BAEBAC90，EAF45，DAFDAEEAF45EAF，AFAF，AEFADF（SAS），DFEF，在RtDCF中，根据勾股定理得，DF2CF2+CD2，CDBE，EF2CF2+BE2；（3）在RtABC中，ACAB，BCAB2，AHBC，AHBHCHBC1，BE1EH，CF1FH，由（2）知，EF2CF2+BE2，EFEH+FH，（EH+FH）2（1FH）2+（1EH）2，1EHFHEH+FH，在RtAHE中，tanEH，在RtAHF中，tanFH，右边1，+45，左边tan（+
25、）tan451，左边右边，即当+45时，tan（+）成立26（10分）如图，在直角坐标系中，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴相交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C（1）求b、c的值；（2）点P（m，n）为抛物线上的动点，过P作x轴的垂线交直线l：yx于点Q当0m3时，求当P点到直线l：yx的距离最大时m的值；是否存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出m的值【解答】解：（1）由二次函数yx2+bx+c的图象与x轴相交于点A（1，0）和点B（3，0），得：，解得：，yx22x3，b2，c3（2）点P（m，n）在抛物线上yx22x3
26、，P（m，m22m3），PQm（m22m3）m2+3m+3（m）2+，过P作x轴的垂线交直线l：yx于点Q，Q（m，m），设点P到直线yx的距离为h，直线yx是一三象限的角平分线，PQh，当P点到直线l：yx的距离最大时，PQ取得最大值，当m时，PQ有最大值，当P点到直线l：yx的距离最大时，m的值为抛物线与y轴交于点C，x0时，y3，C（0，3），OCPQ，且以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，PQOC，又OC3，PQ|m2+3m+3|，3|m2+3m+3|，解得：m10，m23，m3，m4，当m10时，PQ与OC重合，菱形不成立，舍去；当m23时，P（3，0），Q（3，3），此时，四边形OCPQ是平行四边形，OQ，OQOC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；当m3时，Q（，），此时，四边形OCQP是平行四边形，CQ，CQOC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；当m4时，Q（，），此时，四边形OCQP是平行四边形，CQ，CQOC，平行四边形OCPQ不是菱形，舍去；综上所述：不存在m，使得以点O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/4 22:02:32；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00；学号：500557
