1、专题能力训练 14 直线、圆一、选择题1.若直线 x+2ay-5=0 与 ax+4y+2=0 平行,则 a 的值为()A.2B.2C.D.2.(2014 四川雅安三诊改编)若直线 l 过点 P(-2,2),以 l 上的点为圆心,1 为半径的圆与圆 C:x2+y2+12x+35=0 没有公共点,则直线 l 的斜率 k 的取值范围是()A.(-)B.(-,0)()C.()D.()3.若直线 x-y+2=0 与圆 C:(x-3)2+(y-3)2=4 相交于 A,B 两点,则 的值为()A.-1B.0C.1D.64.已知点 M 是直线 3x+4y-2=0 上的动点,点 N 为圆(x+1)2+(y+1)
2、2=1 上的动点,则|MN|的最小值是()A.B.1C.D.5.(2014 河南南阳三联)动圆 C 经过点 F(1,0),并且与直线 x=-1 相切,若动圆 C 与直线 y=x+2+1 总有公共点,则圆 C 的面积()A.有最大值 8B.有最小值 2C.有最小值 3D.有最小值 4二、填空题6.(2014 江苏高考,9)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+2y-3=0 被圆(x-2)2+(y+1)2=4 截得的弦长为 .7.(2014 湖北高考,文 17)已知圆 O:x2+y2=1 和点 A(-2,0),若定点 B(b,0)(b-2)和常数 满足:对圆 O 上任意一点 M,都有|MB|=|
3、MA|,则(1)b=;(2)=.8.(2014 重庆高考,文 14)已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+2x-4y-4=0 相交于 A,B 两点,且 ACBC,则实数 a 的值为 .9.过圆 x2+y2=1 上一点作圆的切线与 x 轴、y 轴的正半轴交于 A,B 两点,则|AB|的最小值为 .三、解答题10.已知直线 l 过点(2,-6),它在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍,求直线 l 的方程.11.已知以点 C()(tR,t0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O,A,与 y 轴交于点 O,B,其中 O 为原点.(1)求证:OAB 的面积为定值;(2)设直线
4、y=-2x+4 与圆 C 交于点 M,N,若 OM=ON,求圆 C 的方程.12.已知ABC 的三个顶点 A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圆为H.(1)若直线 l 过点 C,且被H 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程;(2)对于线段 BH 上的任意一点 P,若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M,N,使得点 M 是线段 PN 的中点,求C 的半径 r 的取值范围.答案与解析 专题能力训练 14 直线、圆1.D 解析:当 a=0 时,不符合题意;当 a0 时,由-=-,得 a=,故选 D.2.B 解析:由题意可知直线 l 的方程为 y=k(x+2)+2,圆 C 的圆心为
5、(-6,0),要使两圆无交点,则 d=-2,解得 k .3.B 解析:由题意可知,圆心 C(3,3)到直线 AB:x-y+2=0 的距离为 d=-.又因为 sinBAC=,所以BAC=45.又因为 CA=CB,所以BCA=90.故 =0.4.C 解析:因为圆心(-1,-1)到点 M 的距离的最小值为点(-1,-1)到直线 3x+4y-2=0 的距离d=-,所以点 N 到点 M 的距离的最小值为 d-1=.5.D 解析:设圆心为(a,b),半径为 r,r=|CF|=|a+1|,即(a-1)2+b2=(a+1)2,即 a=b2,圆心为(),r=b2+1,圆心到直线 y=x+2+1 的距离为d=|-
6、|+1,b-2(2+3)或 b2.当 b=2 时,rmin=4+1=2,Smin=r2=4.6.解析:圆(x-2)2+(y+1)2=4 的圆心为 C(2,-1),半径 r=2,圆心 C 到直线 x+2y-3=0 的距离为d=-,故所求弦长 l=2 -=2-.7.(1)-(2)解析:因为对圆 O 上任意一点 M,都有|MB|=|MA|,所以可取圆上点(-1,0),(1,0),满足 -解得 b=-或 b=-2(舍去),b=-,=,故答案为(1)-,(2).8.0 或 6 解析:由题意,得圆心 C 的坐标为(-1,2),半径 r=3.因为 ACBC,所以圆心 C 到直线 x-y+a=0 的距离 d=
7、-r=,即|-3+a|=3,所以 a=0 或 a=6.9.2 解析:假设直线 lAB:=1.由于圆心(0,0)到 l 的距离为 1,可得 a2b2=a2+b2.又 a2b2(),所以 a2+b24.当且仅当 a=b=时等号成立.故|AB|=2.10.解:当直线 l 过原点时,它在两坐标轴上的截距都是 0,适合题意,此时直线 l 的方程为 y=-x,即 y=-3x,可化为 3x+y=0;当直线 l 不过原点时,设它在 x 轴上的截距为 a(a0),则它在 y 轴上的截距为 2a,则直线的截距式为 =1,把点(2,-6)的坐标代入得 =1,解得 a=-1,故此时直线 l 的方程为-x-=1,可化为
8、 2x+y+2=0.综上,直线 l 的方程为 3x+y=0 或 2x+y+2=0.11.(1)证明:圆 C 过原点 O,OC2=t2+.设圆 C 的方程是(x-t)2+(-)=t2+,令 x=0,得 y1=0,y2=;令 y=0,得 x1=0,x2=2t,SOAB=OAOB=|2t|=4,即OAB 的面积为定值.(2)解:OM=ON,CM=CN,OC 垂直平分线段 MN.kMN=-2,kOC=.直线 OC 的方程是 y=x.t,解得 t=2 或 t=-2.当 t=2 时,圆心 C 的坐标为(2,1),OC=,此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离 d=,圆 C 与直线 y=-2x+4 相交于
9、两点.当 t=-2 时,圆心 C 的坐标为(-2,-1),此时 C 到直线 y=-2x+4 的距离为 .又 OC=,显然不合题意.综上所述,满足条件的圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.12.解:(1)线段 AB 的垂直平分线方程为 x=0,线段 BC 的垂直平分线方程为 x+y-3=0,所以外接圆圆心 H(0,3),半径 ,H 的方程为 x2+(y-3)2=10.设圆心 H 到直线 l 的距离为 d,因为直线 l 被H 截得的弦长为 2,所以 d=-=3.当直线 l 垂直于 x 轴时,显然符合题意,即 x=3 为所求;当直线 l 不垂直于 x 轴时,设直线方程为 y-2=k(x-
10、3),则 =3,解得 k=,综上,直线 l 的方程为 x=3 或 4x-3y-6=0.(2)直线 BH 的方程为 3x+y-3=0,设 P(m,n)(0m1),N(x,y),因为点 M 是线段 PN 的中点,所以 M().又 M,N 都在半径为 r 的C 上,所以 -(-)(-)即 -因为该关于 x,y 的方程组有解,即以(3,2)为圆心,r 为半径的圆与以(6-m,4-n)为圆心,2r 为半径的圆有公共点,所以(2r-r)2(3-6+m)2+(2-4+n)2(r+2r)2,又 3m+n-3=0,所以 r210m2-12m+109r2对m0,1成立.而 f(m)=10m2-12m+10 在0,1上的值域为 ,故 r2 ,且 109r2.又线段 BH 与圆 C 无公共点,所以(m-3)2+(3-3m-2)2r2对m0,1成立,即 r2 .故C 的半径 r 的取值范围为 ).
