1、4.1.3独立性与条件概率的关系学 习 任 务核 心 素 养1了解独立性与条件概率的关系(难点)2会求相互独立事件同时发生的概率(重点)3综合应用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件同时发生的概率公式解题(重点、难点)1通过辨析独立性与条件概率的关系，培养数学抽象素养2借助相互独立事件同时发生的概率公式解题，提升数学运算素养俗话说：三个臭皮匠顶个诸葛亮，在某次智者挑战大赛中，由甲、乙、丙三人组成“臭皮匠”团队，挑战“诸葛亮”其中甲、乙、丙能答对某题目的概率分别为50%,40%,30%，而“诸葛亮”能答对该题目的概率是80%比赛规则：各个选手独立答题，不得商量，团队中只要1人答出该题即为挑战成功
2、问题：该挑战能否成功？提示三个臭皮匠都没答对题目的概率为P(150%)(140%)(130%)0.21，所以“臭皮匠”团队中至少有1个答对该题的概率为10.210.790时，可用P(B|A)P(B)判断1一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A一个家庭中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩对下述两种情形，讨论A与B的独立性：(1)家庭中有两个小孩；(2)家庭中有三个小孩解法一：(利用定义)(1)有两个小孩的家庭，考虑男孩、女孩的可能情形为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，共有4个元素，由等可能性知概率均为这时A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，
3、女)，(女，男)，AB(男，女)，(女，男)，于是P(A)，P(B)，P(AB)由此可知P(AB)P(A)P(B)，所以事件A，B不相互独立(2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，由等可能性知这8个元素的概率均为，这时A中含有6个元素，B中含有4个元素，AB中含有3个元素于是P(A)，P(B)，P(AB)，显然有P(AB)P(A)P(B)成立从而事件A与B是相互独立的法二：(利用条件概率与独立性的关系)(1)由题意可知P(B|A)，又P(B)，故P(B
4、|A)P(B)所以A与B不相互独立(2)由题意可知P(B|A)，又P(B)，故P(B|A)P(B)，所以A与B相互独立 类型2相互独立事件发生的概率如何计算相互独立事件同时发生的概率？提示(1)求两个独立事件的概率可以直接利用公式来求解；(2)对于复杂的相互独立事件概率的求法，尤其是含有“恰好”“至少”“至多”型问题要恰当分类，若分类较多时，可利用其对立事件求概率【例2】面对某种流感病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，求：(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率思路点拨解令事件A
5、，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)，P(B)，P(C)(1)他们都研制出疫苗，即事件A，B，C同时发生，故P(ABC)P(A)P(B)P(C)(2)他们都失败即事件，同时发生，故P()P()P()P()(1P(A)(1P(B)(1P(C)(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P1P()1(变结论)在题设条件不变的情况下，求：(1)只有一个机构研制出疫苗的概率(2)至多有一个机构研制出疫苗的概率解(1)只有一个机构研制出疫苗，该事件为(CBA)，故所求事
6、件的概率为PP(CBA)P()P()P(C)P()P(B)P()P(A)P()P()(1P(A)(1P(B)P(C)(1P(A)P(B)(1P(C)P(A)(1P(B)(1P(C)(2)至多有一机构研制出该疫苗，即事件(ABC)发生，故所求事件的概率为P(ABC)P()P(A)P(B)P(C)P()P()P()P(A)P()P()P()P(B)P()P()P()P(C)1求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积2使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，
7、而且它们能同时发生2某医药企业有甲、乙两个研发小组，他们研发某种新药成功的概率分别为0.6,0.5，且甲、乙两组研发结果相互独立，则至少有一组研发新药成功的概率为()A0.2 B0.3 C0.8 D0.9C设至少有一组研发新药成功的事件为事件m，事件n为事件m的对立事件，则事件n为甲、乙两组都没研发成功，因为甲、乙研发新药成功的概率分别为0.6,0.5则P(n)(10.6)(10.5)0.2，再根据对立事件的概率之间的公式可得P(m)1P(n)10.20.8，故至少有一组研发新药成功的概率为0.8 类型3利用事件之间的关系求概率如何区别“相互独立事件”与“互斥事件”？提示相互独立事件互斥事件定
8、义一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响两个事件不可能同时发生，即AB概率公式A与B相互独立等价于P(AB)P(A)P(B)若A与B互斥，则P(AB)P(A)P(B)，反之不成立【例3】(对接教材P57例3)在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率思路点拨由题目可获取以下主要信息：3个开关并联；每个开关闭合的概率是0.7，且闭合与否相互独立解答本题可先作出一个线路图，再分情况讨论解如图所示，记这段时间内开关KA，KB，KC能够闭合为事件A，B，C由题意知，这
9、段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P()P()P()P()1P(A)1P(B)1P(C)(10.7)(10.7)(10.7)0.027于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能够正常工作的概率是1P()10.0270.973即这段时间内线路正常工作的概率是0.9731(变条件)将本例中的“并联”改为“串联”，求相应概率解依题意可知所求事件的概率PP(ABC)P(A)P(B)P(C)0.70.70.70.730.3432(变条件)本例中每个开关与闭合的概率不变，求如图所示的线路正常工作的概率解要使线路能正常工作，
10、则KA与KB至少有一个工作，且KC正常工作，即事件(AB)C发生，故所求事件的概率PP(AB)P(C)1P()P(C)P(C)P()P(C)P(C)P()P()P(C)0.7(10.7)(10.7)0.70.637解答此类题目时，先分析给的元件间是串联、并联还是串并联混合关系，在此基础上结合事件的相互独立性及互斥事件、对立事件的有关知识，依据“串联通易求，并联断易求”的原则，给予解答.3首届中国国际进口博览会期间，甲、乙、丙三家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为，且三家企业的购买结果相互之间没有影响，则三家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是()A B C
11、 DC设“甲企业购买该机床设备” 为事件A，“乙企业购买该机床设备” 为事件B，“丙企业购买该机床设备” 为事件C，则P(A)，P(B)，P(C)，则P()1P(A)1，P()1P(B)1，P()1P(C)1，设“三家企业中恰有1家购买该机床设备”为事件D，P(D)P(A )P(B)P( )1已知P(A|B)0.6，P(B|A)0.3且A，B相互独立，则P(AB)等于()A0.18 B0.9C0.3 D无法求解AP(A|B)0.6，P(B|A)0.3且A，B相互独立，P(A)0.6，P(B)0.3，P(AB)P(A)P(B)0.60.30.182抛掷3枚质地均匀的硬币，A既有正面向上又有反面向
12、上，B至多有一个反面向上，则A与B的关系是()A互斥事件 B对立事件C相互独立事件 D不相互独立事件C由已知，有P(A)，P(B)，P(AB)，满足P(AB)P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立，故选C3某社区为了更好的开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟办理业务所需要的时间(分)12345频率0.10.30.40.10.1则在某一天，第三位居民恰好等待4分钟才开始办理业务的概率为()A0.04 B0.08 C0.17 D0.26C因为第三位居民恰好等待4分钟才开始办理业务，若前两位居民办理业务分别用两分钟
13、，则对应概率为0.30.30.09；若前两位居民办理业务的时间分别为：1分钟和3分钟，则对应的概率为0.10.40.40.10.08；因此，第三位居民恰好等待4分钟才开始办理业务的概率为0.090.080.174已知A与B相互独立，且P(AB)，P(B)，则P(|B)_A与B相互独立，P(AB)P(A)P(B)又P(B)，所以P(A)P(|B)P()1P(A)15明天上午李明要参加“青年文明号”活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率为0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是_0.98设两个闹钟至少有一个准时响的事件为A，则P(A
14、)1(10.80)(10.90)10.200.100.98回顾本节内容，自我完成以下问题：1判断两个事件是否独立的常用方法有哪些？提示(1)定性分析法看一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，没有影响就是相互独立事件，有影响就不是相互独立事件在实际问题中，判断事件的独立性往往凭借经验或借助直观的方法，而不需要通过P(AB)P(A)P(B)验证：如有放回地抽奖两次、掷五次同一枚硬币、两人射击等，由事件本身的性质就能直接判断出它们是否相互影响，从而得出它们是否相互独立(2)定量计算法利用相互独立事件的定义，即P(AB)P(A)P(B)利用条件概率，当P(A)0时，若P(B|A)P(B)，则事件A，B相互独立(3)性质法一般地，当事件A，B相互独立时，A与，与B，与也都相互独立2如何利用独立事件的概率公式解题？提示计算相互独立事件同时发生的概率时，先用字母表示出事件，再分析题中涉及的事件(1)简单计算问题：将题中所求事件转化为若干个独立事件的交事件，利用独立事件的性质和推广求解(2)复杂计算问题：一般将问题划分为若干个彼此互斥的事件，然后运用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率计算公式求解
