1、【2016年高考备考艺体生文化课精选好题突围系列】专题七 导数第一问导数的概念与运算【背一背基础知识】1. 函数在点处的导数的几何意义函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是. 2. 几种常见函数的导数(1) （C为常数）. (2) .(3) . （4) . (5) ；. (6) ; .3.导数的运算法则（1）. （2）. （3）.4.复合函数的求导法则 设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作.【讲一讲基本技能】1. 必备技能：曲线的切线问题求曲线在某点的切线：先求出曲线在该点的导数即为切线的斜率，再用点斜式求出切线方程.求曲线过某
2、点的切线：先设出切点的坐标，求出曲线在切点的导数，利用切线过已知点，求出切点坐标，从而求出切线方程.2.典型例题例1函数（）当时，求曲线在点处的切线方程；（）若f（x）在区间（1，2）内是增函数，求a的取值范围【答案】（）；（）【分析】（）先求导，再求，由导数的几何意义可知所求切线的斜率根据直线方程的点斜式可求得切线方程（）在区间内是增函数等价于在内恒成立，可转化为在内恒成立，可根据二次函数最值问题求得在区间上的最值，从而可得的范围【解析】 例2已知函数，函数在处的切线与直线垂直（1）求实数的值；（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）；【分析】（1）利用导数的几
3、何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点,利用导数的几何意义求切线的斜率；（2）函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增，若，则在这个区间内单调递减，若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.【解析】【练一练趁热打铁】1. 已知函数f（x）=xalnx（aR）（1）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；2. 已知函数，若在处与直线相切（1）求的值；（2）求在上的最大值 导数在研究函数中的应用【背一背基础知识】1. 函数的单调性与导数的关系设函数在某个区间内可导，若，则为增函数；若，则为减函数.2.函数
4、极值(1)函数的概念设函数在附近有定义，若对附近的所有点，都有，则称是函数的一个极大值，记作=；设函数在附近有定义，若对附近的所有点，都有，则称是函数的一个极小值，记作=.注意：极值是研究函数在某一点附近的性质，使局部性质;极值可有多个值，且极大值不定大于极限值;极值点不能在函数端点处取.（2）函数极值与导数的关系当函数在处连续时，若在附近的左侧，右侧，那么是极大值；若在附近的左侧，右侧，那么是极小值.注意：在导数为0的点不一定是极值点，如函数，导数为，在处导数为0，但不是极值点；极值点导数不定为0，如函数在的左侧是减函数，右侧是增函数，在处取极小值，但在处的左导数=-1，有导数=1，在处的导
5、数不存在.3. 函数的最值对函数有函数值使对定义域内任意，都有（）则称是函数的最大（小）值.注意：若函数存在最大（小）值，则值唯一；最大值可以在端点处取；若函数的最大值、最小值都存在，则最大值一定大于最小值.最大值不一定是极大值，若函数是单峰函数，则极大（小）值就是最大（小）值.【讲一讲基本技能】1.必备技能：（1）用导数函数求单调区间方法求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）
6、区间是谁，若题中含参数注意分类讨论；(2) 已知在某个区间上的单调性求参数问题先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数）0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加.（3）函数的极值问题 求函数的极值，先求导函数，令导函数为0，求出导函数为0时，方程的根和导数不存在的点，再用导数判定这些点两侧的函数的单调性，若左增由减，则在这一点取值极大值，若左减右增，则在这一点去极小值，要说明在哪一点去极大（小）值；已知极值，求参数，先求导，则利用可导函数在极值点的导数为0，列出关于参数方程，求
7、出参数，注意可导函数在某一点去极值是导函数在这一点为0的必要不充分条件，故需将参数代入检验在给点的是否去极值；已知三次多项式函数有极值求参数范围问题，求导数，导函数对应的一元二次方程有解，判别式大于0，求出参数的范围.（4）函数最问题对求函数在某一闭区间上，先用导数求出极值点的值和区间端点的值，最大者为最大值，最小者为最小值，对求函数定义域上最值问题或值域，先利用导数研究函数的单调性和极值，从而弄清函数的图像，结合函数图像求出极值；对已知最值或不等式恒成立求参数范围问题，通过参变分离转化为不等式（）（是自变量，是参数）恒成立问题，（），转化为求函数的最值问题，注意函数最值的区别于联系.2.典型
8、例题例1已知函数，当时，取得的极值（1）求函数的单调区间；【答案】（1）函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.【分析】（1）先对函数求导，利用当时，取得的极值，得，求得的值，从而求得函数的解析式，求导利用导数的符号求得函数的单调区间；（2）对任意恒成立，即对任意恒成立成立，问题转化为由（1）知当，从而求得的取值范围【解析】例2已知函数（），其导函数为（1）求函数的极值；【答案】（1）有极大值，无极小值；【解析】（1）由题知，则，对求导，根据，和，以及极值的概念来确定的极值【解析】【练一练趁热打铁】1. 已知函数（1）当时，求函数在上的最大值和最小值； 2. 设（）的图象关于原点对称，当时，的
9、极小值为，求的解析式；（）若，是上的单调函数，求的取值范围解答题：10101. 已知函数令（）当时，求函数的单调递增区间；2 已知函数（），其导函数为（1）求函数的极值；3. 已知函数（为自然对数的底数）（1）求函数的最小值；4. 已知函数，（1）若，求函数的单调区间；5已知函数，其中常数（1）当时，求函数的单调区间；6. 已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）若在区间上单调递增，试求的取值或取值范围7. 已知函数（1）若，求曲线在点处的切线；（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；8. 已知函数9. 已知函数（1）求函数的单调区间；10. 已知函数，在处的切线与直线垂直，函数（1）求实数的值；（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
