极坐标的概念.doc

1、（一）极坐标概念 确定平面内的点的位置有各种方法，用一对实数确定平面内的点位置的方法称为直角坐标方法，因其方法简捷且应用广泛（如地球的经纬线和剧场中座位号）而成为解析几何中最主要的内容；用方向（角）和距离来确定平面内的点的位置是极坐标的基本思想。极坐标在工程中和军事上也有广泛应用。 1.1极坐标系定义 在平面上选一定点O，由O出发的一条射线OX，规定一个长度单位和角的正方向（通常以反时针旋转为正方向）合称一个极坐标系。其中O为极点，射线OX为极轴，由极径和极角两个量构成点的极坐标，一般记作（，）。 1.2平面内的点与极坐标系的关系 平面内有一点P，|OP|用表示，称为P点的极径；OX到OP的角

2、叫极角，P（，）为极坐标。 (1)有一组极坐标（，）能在极坐标系中找唯一的点与其对应； (2)在极坐标系中有一个点P，则有无数组极坐标与其对应。 P点固定后，极角不固定。（，）与（，2k+）（kz）表示同一点坐标； P点固定后，的值可正、可负。0时，极角的始边为OX轴，终边为线；0，极轴始边为OX轴，终边为的反向延长线；规定：=0时，极角为任意角，如（，）与（，2k+)及（-，2k+)(kz)表示同一点。 极坐标与极坐标平面内的点不一一对应。 例1.在极坐标系中，点P（，）与Q（-，2-）的位置是（ ） A.关于极轴所在直线对称 B.关于极点对称 C.重合 D.关于直线（R）对称 分析：Q（-

3、，2-）与（,-）表示同一点，它与点P（，）关于直线（R）（过极点而垂直于极轴的直线）对称。 故选D。 例2.在极坐标系中，如果等边三角形的两个顶点是，那么C的坐标可能是（ ） A. B. C. D.（3，） 分析：,极径相同，极角相差，A、B以极点对称，又|AB|=4，ABC为等边，C对应极角为. 或 故选B 。 例3.A、B两点的极坐标分别为A(1，1)，B(2，2)，则 |AB|=_。 分析：用余弦定理可得此结论可作为公式。 1.3极坐标与直角坐标的互化 取极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，在极坐标系中P(，)，设在直角坐标系中P(x,y) 则2=x2+y2、(注意

4、角所在象限) 此三组式子，即为极坐标与直角坐标的互化公式。 例1.将下列各极坐标方程化为直角坐标方程。 (1) (2) (3) (4)2=2cos2 解：(1) 得y=-x； (2)sin2=2cos+2,2sin2=2cos+2,(y2-2x)2=4(x2+y2)得y2=4(x+1)； (3)42+52cos2=36,4(x2+y2)+5x2=36,得x2+4y2=36； (4)4=22(cos2-sin2),(x2+y2)=2x2-2y2 例2.椭圆在以原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中的方程为（ ） A. B. C. D. 分析：,得 故选C 。（二）极坐标方程的确定 2.1几种

5、直线的极坐标方程 (1)从极点O发出的一条射线（如图1），其极坐标方程为：=1（0）； (2)过极点O的一条直线（），其极坐标方程为=1（R）； (3)如图3 过点（a,o）且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：cos=a； (4)如图4 过点（a,)且垂直于极轴的直线的极坐标方程为：cos= -a；如图1如图2 如图3如图4 (5)如图5 平行于极轴在极轴上方a个单位的直线的极坐标方程为：sin=a； (6)如图6 平行于极轴且在极轴下方a个单位的直线的极坐标方程为：sin=-a； (7)如图7 过点M（a,1）,且与极径OM垂直的直线的极坐标方程为：cos(-1)=a.如图5如图6如图7 例1

6、.过点且与极轴平行的直线的极坐标方程是（ ） A. B.=1 C. D. 分析：极点到直线距离d=1.根据直线极坐标方程(5)得sin=1，故选C。 例2.已知点P的坐标为（1,），那么通过P点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ）（上海 94年高考题） A.=1 B.=cos C.cos= -1 D.cos=1 分析：根据直线极坐标方程(4)得cos=-1 故选C。 例3.已知直线1的参数方程为：（t为参数），直线2的极坐标方程为（极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合）。则1与2的夹角是（ ） A. B. C. D. 分析：直线化为普通方程为x-2y+3=0,其斜率；直线化为普通方程，即，其

7、斜率k2=1，两直线夹角若为，则，故选C 。 2.2几种圆的极坐标方程 (1)圆心为极点，半径为r的圆的极坐标方程为：=r(R)； (2)圆心O（r,0），半径为r的圆的极坐标方程为：=2rcos； (3)圆心O（r,），半径为r的圆的极坐标方程为：=-2rcos； (4)圆心O，半径为r的圆的极坐标方程为：； (5)圆心O，半径为r的圆的极坐标方程为：；(6)一般圆的极坐标方程：圆心O（0，0），半径为r的极坐标方程。设动点（，），依据余弦定理得2+20 -20 cos（-0）=r2 即2-20 cos(-0)+02-r2=0. 以上方程的推导方程有两种：一是基本方法，也就是轨迹法。轨迹法就

8、是设曲线动点为（，），然后找出可解三角形，在可解三角形中建立等量关系；二是直极转化法，也就是写出直角坐标方法，然后再化为极坐标方程。 例1. 极坐标方程所表示的曲线是（ ） A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 分析： 故选D。 例2.极坐标方程2-(1+2cos)+2cos=0所表示的曲线是（ ） A.抛物线 B.一直线和一个圆 C.两条直线 D.两相交圆 分析：是两相交的圆 故选D。 例3.极坐标方程分别是= -cos和= -sin的两个圆的圆心距是（ ） A.2 B. C.1 D. 解法一：圆=-cos 圆心；圆=-sin，圆心根据两个点间距离 ，应选D； 解法二：两个圆的圆心分别在

9、极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线上，且两圆都过极点，半径都为根据两个点间距离 ，应选D； 解法三：两个圆的圆心分别在极轴反向延长线和过极点垂直于极轴直线上，且两圆都过极点，半径都为，根据勾股定理，； 解法四：；.圆心距.返回主题2.3焦点为极点的椭圆、双曲线和抛物线标准统一的极坐标方程： (1)圆锥曲线统一定义：在同一平面内到一定点和一定直线的距离之比为常数e的动点轨迹，就叫圆锥曲线。其中定点叫圆锥曲线的焦点，定直线叫准线。 (2)圆锥曲线的标准统一极坐标方程：如果以定点O为极点，以过定点所作定直线L的垂线的反向延长线为极轴正方向建立极坐标系为标准坐标系。那么在此标准极坐标系下圆锥曲线的标

10、准统一方程,其中p是焦点到相应准线的距离。在椭圆和双曲线中p就是相应直角坐标系中的,. (3)将化为直角坐标方程(1-e2)x2+y2-2e2px-e2p2=0,其中0e1时两方程表示椭圆（极点和原点是椭圆的左焦点）；e1时两方程表示双曲线（极点和原点是双曲线的右焦点）；e=1时两方程表示抛物线（极点和原点是抛物线焦点）。 例1.设椭圆 (0e1).求：a、b、c及另一个焦点的极坐标，两条准线的极坐标方程。 解：令=0得A点极径 =得A点极径 由+得 -得 F1为极点 左准线 cos=-p，右准线 . 例2.求双曲线 (e1)的a、b、c，焦点的坐标和准线的方程。 解：令=0 (e1) = 由

11、、得 焦点F2(0，)为极点，F1 (2c,)即 右准线 cos=-p 左准线 例3.求圆锥曲线过焦点的弦AB之长 解： 当e=1时，抛物线过焦点弦长 解评：圆锥曲线极坐标方程只有一个，比较容易记忆，注意圆锥曲线统一标准极坐标方程的极点是其一个焦点。也正因为此，遇到圆锥曲线有关焦点弦问题，用极坐标方程来解题，运算要简捷。返回主题（三）极坐标方程的应用 3.1由极坐标方程讨论曲线及性质 例1.椭圆的焦距是（ ） A. B.2 C. D.1 分析：极坐标方程化为标准式应选B. 例2. 若圆锥曲线的一条准线方程是cos=1，则另一条准线的极坐标方程是_。 分析：化标准式，两条准线间距离 另一条准线为

12、 例3.双曲线的渐近线方程是_. 分析：化标准线 设双曲线渐近线上一动点M（,）。 令此时不存在，1为渐近线与极轴夹角。在MOF中 (如图)根据正弦定理 双曲线的两条渐近线的方程为：和 . 解评：用圆锥曲线统一标准极坐标方程讨论曲线性质。主要记住椭圆和双曲线,及直线的极坐标方程；例3求双曲线渐近线的极坐标方程高考大纲不作要求，有同学愿用极坐标求动点轨迹研究可作参考。返回主题 3.2圆锥曲线过焦点弦问题在极坐标中应用 因为圆锥曲线的统一标准极坐标方程的极点是其一个焦点，且过极点弦长可直接得1+2之值。因此遇到有关过焦点弦问题用极坐标方程解决，可简化做题过程。 例1.过椭圆的左焦点作一条倾角为的直

13、线，则它被曲线截得的弦长是_。 解：设直线与曲线交点为、它被曲线截得的弦长 例2.已知椭圆长轴AA=6，焦距，过椭圆焦点F1作直线交椭圆于M、N两点，若F2F1M=,(0).当取什么值时，|MN|等于椭圆短轴的长。 解：（此题MN是过焦点弦问题，用极坐标解题较好）以F1为极点，F1F2所在射线为极轴建立极坐标系。 a=3，, 椭圆的极坐标方程为 令： 例3.过抛物线y2=2px的焦点F作两条互相垂直的直线1和2,分别与抛物线交于A、B点和C、D点 (1)求证：为定值；(2)求|AB|+|CD|的最小值。解：(1)以焦点F为极点，x轴正方向为极轴正向建立极坐标系，则y2=2px的极坐标方程为 设

14、A(1，)则B(2，+), （为定值） (2) 当sin22=1 时，等号成立，最小值为8p 解评：抛物线直角坐标方程中p与极坐标方程中p相同，因此抛物线直角坐标方程（原点为抛物线顶点）与极坐标方程（极点为抛物线焦点）互换极为容易，过焦点弦问题用极坐标方程解决较好。返回主题同步检测1.曲线的极坐标方程=4sin化为直角坐标方程为（ ）（98年全国高考题） A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=42.已知点P的坐标为（1，），那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ）（94年上海高考题） A.=1 B.=cos C.co

15、s= -1 D.cos=13.的半径和圆心的极坐标分别为（ ） A. B. C. D.4.双曲线的顶点坐标是（ ） A.（8，0），（2，） B.（-8，0），（2，） C.（-8，0），（-2，） D.（8，0），（-2，）5.椭圆的长轴长_，短轴长_，短轴上顶点的坐标_，焦点坐标_，准线方程_。返回主题强化练习 1.设椭圆(ab0)，A、B为椭圆上任意两点，且（其中O为坐标轴原点），求证：为定值。 2.设有一彗星，围绕地球沿一抛物线轨迹运行，地球恰好位于这轨迹的焦点处。当此彗星离地球为d万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，求这彗星运行中与地球的最短距离。 3.F是定点，是定

16、直线，点F到直线的距离为p（p0）,点M在直线上滑动，动点N在MF的延长线上，且满足。(1)求动点N的轨迹。(2)求|MN|的最小值。（1989年上海高考题）返回主题同步检测答案： 1.B 2.C 3.C 4.B 提示： 1.2=4cos x2+y2-4x=0 x2+(y-2)2=4 故选B； 2.把=1，=代入方程，只有C成立； 3.化为直角坐标方程得,半径r=1，圆心化为极坐标.故选C 。 4. a=3,b=4,c=5顶点A(c-a,) A（-(a+c),0） 5. 2a=10, 短轴上顶点坐标为,焦点（0，），（4，0），准线或返回主题强化练习解答： 1.解化为极坐标方程x=cos,y=

17、sin,得 b22cos2+a22sin2=a2b2,即 2.解：以地球所在位置为极点，抛物线对称轴为极轴建立极坐标系，设抛物线方程为 在抛物线上，故； 又也可能在抛物线上 故 抛物线上各点中顶点离焦点最近，慧星与地球最短距离为（万公里）或（万公里）。 3.解：以F为极点，过F而垂直于，方向向右为正建立极坐标系。 (1)设N（，），,过F作FK于K，设|FK|=p，,(其中|FN|=)， 即（0cosp）。 若,即0p1时，N的轨迹为双曲线右支的一部分（如右图）。 若,即p=1时，N的轨迹为抛物线一部分（如右图）。 若即p1时，N为椭圆的一部分。 (2) 若0p2时，则时，|MN|min=4

18、若p2时，则cos=1时，极坐标型例题分析发布时间：2005年7月24日 14时58分例1 点M(1，)是否在曲线C(3-4cos)=1上，为什么？分析 点M(1，)的极坐标可以有无数种表示形式，点M是否在曲线C上，只要点M有其中一个极坐标满足方程解 由1(3-4cos)1 不能判断点M不在曲线C上，点M(1，)，即是M(-1，2)且-1(3-4cos2)=1点M(1，)在曲线C(3-4cos)=1上说明 解此题要注意“点和极坐标”的“一多对应”特性，适合曲线的极坐标方程的每一对有序实数(，)所确定的点一定在此曲线上，但此曲线上点的坐标不一定全适合此方程例2 化下列极坐标方程为直角坐标方程分析

19、 要利用cos=x；sin=y；2=x2+y2进行转化sin2=-6cos当0时，两边乘以2sin2=-6cos即：y2=-6x(x0)当=0时，原方程有解，曲线过原点所得直角坐标方程为：y2=-6x说明 化极坐标方程为直角坐标方程时，要注意变形的等价性，特别要检查极点是否在曲线上这是因为在变形过程中，通常要用去乘不过极点，在得到22cos2=后，如不限制0，则原点在曲线直线的距离是_分析 由极坐标的定义，(0时)或|p|(0时)为曲线上点到极点的距离，因此可求|p|的最小值，另一种方法是化直线的极坐标方程为普通方程，再利用点到直线的距离公式求解sin+cos=1直线的直角坐标方程是x+y-1

20、=0说明 解法一需要对极坐标的概念有较深刻的理解；解法二的关键一步是化极坐标方程为直角坐标方程，这是解决极坐标问题的常用方法分析 如图3-3，|OA|，|OB|是从原点出发的两条线段的长度，启发我们把椭圆方程化为极坐标方程后，利用极径的意义求解解 以原点为极点，ox为极轴建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程说明 对有心圆锥曲线，若涉及曲线上的点与中心连线的问题，则通常以中心为极点，对称轴为极轴建立极坐标系；若涉及抛物线顶点弦的问题，则通常以顶点为极点，对称轴为极轴建立极坐标系极坐标例题发布时间：2005年7月24日 14时46分(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；(3)化曲线E的极坐标方

21、程：kcos2+3sin2-6cos=0为直角坐标方程，并说明曲线的形状解 (1)设M的直角坐标为(x，y)，则(3)在方程kcos2+3sin2-6cos=0两边同乘以得k2cos2+32sin2-6cos=0用x=cos，y=sin代入得kx2+3y2-6x=0因极点在曲线上，则原点也满足方程当k=0时，曲线为抛物线y2=2x；注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两的值，再由(x，y)所在象限确定为第几象限角，得出的值(ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以，使方程中出现2，cos，sin以便直接代入公式转化但应考查0时的点是否在曲线上例13-2-2

22、 已知锐角AOB=2内一动点P，过P向角的两边OA，OB作垂线，PMOA于M，PNOB于N当四边形PMON面积为定值a2时，求P点的轨迹解 如右图，以O为极点，AOB的平分线为极轴建立极坐标系设P点坐标为(，)(-，0)则MOP=-，PON=+所以OM=cos(-)，PM=sin(-)ON=cos(+)，PN=sin(+)于是 SPMON=SPOM+SPON由题设知故P点轨迹为以O为中心，AOB的平分线所在直线为对称轴，注 与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易例13-2-3 已知椭圆(x-2)2+4y2=4P为椭圆上一动

23、点，O为原点，以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角OPQ求Q点轨迹方程解 以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系化椭圆方程(x-2)2+4y2=4为x2+4y2-4x=0用x=cos，y=sin代入得椭圆的极坐标方程2cos2+42sin2-4cos=0设Q，P两点的极坐标分别为(，)，(，)因点P在椭圆上，故用x=cos，y=sin代入上式得这就是点Q的轨迹方程注 因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便焦距解 法一设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(1，0)，(2，)，则为右焦点；MF1F2=若|MN|等于椭圆短轴长，求(0)以

24、左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极设M点的极坐标为(1，)则N点极坐标为(2，+)于是注 对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解极坐标例题发布时间：2005年7月24日 14时46分(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；(3)化曲线E的极坐标方程：kcos2+3sin2-6cos=0为直角坐标方程，并说明曲线的形状解 (1)设M的直角坐标为(x，y)，则(3)在方程kcos2+3sin2-6cos=0两边同乘以得k2cos2+32sin2-6cos=0用x=cos，y=sin代入得kx2+3y2

25、-6x=0因极点在曲线上，则原点也满足方程当k=0时，曲线为抛物线y2=2x；注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两的值，再由(x，y)所在象限确定为第几象限角，得出的值(ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以，使方程中出现2，cos，sin以便直接代入公式转化但应考查0时的点是否在曲线上例13-2-2 已知锐角AOB=2内一动点P，过P向角的两边OA，OB作垂线，PMOA于M，PNOB于N当四边形PMON面积为定值a2时，求P点的轨迹解 如右图，以O为极点，AOB的平分线为极轴建立极坐标系设P点坐标为(，)(-，0)则MOP=-，PON=+所以OM=c

26、os(-)，PM=sin(-)ON=cos(+)，PN=sin(+)于是 SPMON=SPOM+SPON由题设知故P点轨迹为以O为中心，AOB的平分线所在直线为对称轴，注 与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易例13-2-3 已知椭圆(x-2)2+4y2=4P为椭圆上一动点，O为原点，以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角OPQ求Q点轨迹方程解 以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系化椭圆方程(x-2)2+4y2=4为x2+4y2-4x=0用x=cos，y=sin代入得椭圆的极坐标方程2cos2+42sin2-4cos=0

27、设Q，P两点的极坐标分别为(，)，(，)因点P在椭圆上，故用x=cos，y=sin代入上式得这就是点Q的轨迹方程注 因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便焦距解 法一设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(1，0)，(2，)，则为右焦点；MF1F2=若|MN|等于椭圆短轴长，求(0)以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极设M点的极坐标为(1，)则N点极坐标为(2，+)于是注 对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解极坐标例题发布时间：2005年7月2

28、4日 14时46分(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；(3)化曲线E的极坐标方程：kcos2+3sin2-6cos=0为直角坐标方程，并说明曲线的形状解 (1)设M的直角坐标为(x，y)，则(3)在方程kcos2+3sin2-6cos=0两边同乘以得k2cos2+32sin2-6cos=0用x=cos，y=sin代入得kx2+3y2-6x=0因极点在曲线上，则原点也满足方程当k=0时，曲线为抛物线y2=2x；注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两的值，再由(x，y)所在象限确定为第几象限角，得出的值(ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以，使方

29、程中出现2，cos，sin以便直接代入公式转化但应考查0时的点是否在曲线上例13-2-2 已知锐角AOB=2内一动点P，过P向角的两边OA，OB作垂线，PMOA于M，PNOB于N当四边形PMON面积为定值a2时，求P点的轨迹解 如右图，以O为极点，AOB的平分线为极轴建立极坐标系设P点坐标为(，)(-，0)则MOP=-，PON=+所以OM=cos(-)，PM=sin(-)ON=cos(+)，PN=sin(+)于是 SPMON=SPOM+SPON由题设知故P点轨迹为以O为中心，AOB的平分线所在直线为对称轴，注 与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便在判定曲线形状时

30、，则化为直角坐标方程较容易例13-2-3 已知椭圆(x-2)2+4y2=4P为椭圆上一动点，O为原点，以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角OPQ求Q点轨迹方程解 以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系化椭圆方程(x-2)2+4y2=4为x2+4y2-4x=0用x=cos，y=sin代入得椭圆的极坐标方程2cos2+42sin2-4cos=0设Q，P两点的极坐标分别为(，)，(，)因点P在椭圆上，故用x=cos，y=sin代入上式得这就是点Q的轨迹方程注 因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便焦距解 法一设长轴两端点为A1，A2，其极

31、坐标为(1，0)，(2，)，则为右焦点；MF1F2=若|MN|等于椭圆短轴长，求(0)以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极设M点的极坐标为(1，)则N点极坐标为(2，+)于是注 对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解极坐标例题发布时间：2005年7月24日 14时46分(2)把点N的直角坐标(-3，4)化成极坐标；(3)化曲线E的极坐标方程：kcos2+3sin2-6cos=0为直角坐标方程，并说明曲线的形状解 (1)设M的直角坐标为(x，y)，则(3)在方程kcos2+3sin2-6cos=0两边同乘

32、以得k2cos2+32sin2-6cos=0用x=cos，y=sin代入得kx2+3y2-6x=0因极点在曲线上，则原点也满足方程当k=0时，曲线为抛物线y2=2x；注 (i)点的极坐标与直角坐标互化时，如无特别说明，一般认为两的值，再由(x，y)所在象限确定为第几象限角，得出的值(ii)化极坐标方程为直角坐标方程时，通常在方程两边乘以，使方程中出现2，cos，sin以便直接代入公式转化但应考查0时的点是否在曲线上例13-2-2 已知锐角AOB=2内一动点P，过P向角的两边OA，OB作垂线，PMOA于M，PNOB于N当四边形PMON面积为定值a2时，求P点的轨迹解 如右图，以O为极点，AOB的

33、平分线为极轴建立极坐标系设P点坐标为(，)(-，0)则MOP=-，PON=+所以OM=cos(-)，PM=sin(-)ON=cos(+)，PN=sin(+)于是 SPMON=SPOM+SPON由题设知故P点轨迹为以O为中心，AOB的平分线所在直线为对称轴，注 与到定点距离与角有关的轨迹问题，建立极坐标系用直接法求轨迹方程较方便在判定曲线形状时，则化为直角坐标方程较容易例13-2-3 已知椭圆(x-2)2+4y2=4P为椭圆上一动点，O为原点，以OP为直角边，P为直角顶点向上作等腰直角OPQ求Q点轨迹方程解 以O为极点，Ox为极轴建立极坐标系化椭圆方程(x-2)2+4y2=4为x2+4y2-4x

34、=0用x=cos，y=sin代入得椭圆的极坐标方程2cos2+42sin2-4cos=0设Q，P两点的极坐标分别为(，)，(，)因点P在椭圆上，故用x=cos，y=sin代入上式得这就是点Q的轨迹方程注 因Q点的运动随P点的运动而运动，所以用代入法求轨迹方程又P点的位置与长度和角有关，则用极坐标较方便焦距解 法一设长轴两端点为A1，A2，其极坐标为(1，0)，(2，)，则为右焦点；MF1F2=若|MN|等于椭圆短轴长，求(0)以左焦点F1为极点，射线F1F2为极轴，建立极坐标系，则椭圆的极设M点的极坐标为(1，)则N点极坐标为(2，+)于是注 对与焦半径、焦点弦有关的圆锥曲线的问题，常以焦点为

35、极点，建立极坐标系，利用圆锥曲线统一的极坐标方程求解第十三章参数方程和极坐标专项训练【例题精选】：例1：曲线的参数方程为，则曲线是：A线段B双曲线一支C圆弧D射线答案：A。分析 由，将其代入，整理得：。故该曲线是直线上的一条线段，故选A。例2：参数方程表示：A双曲线一支，这支过点B抛物线一部分，这部分过点C双曲线一支，这支过点D抛物线一部分，这部分过点答案：B。分析 因为因此，参数方程表示抛物线的一部分，这部分过点，故选B。例3：等腰直角三角形ABC，三顶点A、B、C按顺时针方向排列，是直角，腰长为a，顶点A、B分别在x轴y轴上滑动，求顶点C的轨迹方程（要求把结果写成直角坐标系的普通方程）分析

36、 设点C的坐标为，不易直接建立之间的关系，所以可考虑建立之间的间接关系式，即参数方程。完全确定了顶点C的位置，即顶点C的位置是的函数，所以可选为参数。解：如图所示，设，则C点的参数方程为：消去参数，得普通方程为：小结：与旋转有关的轨迹问题，常选角为参数。例4：已知线段=4，直线l垂直平分于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、，使。求直线BP与直线的交点M的轨迹方程。分析 以O为原点，轴建立一直角坐标系，如右图所示，则。如图可知，当P点的位置一定时，点的位置完全确定，从而完全确定了M点的位置，所以可选P点的坐标为参数。解：设，则由，得。直线BP的方程为：直线的方程为：两直线方程化简

37、为：解和组成的方程组。可得直线BP与的交点坐标为：消去参数a，得：所求点M的轨迹是长轴长为6，短轴长为4的椭圆，但不包含点B和。本题也可将直线BP和的方程变形为：、两式相乘，得小结：本题第二种解法，即交轨法。它是求两条曲线系交点轨迹的常用方法，这种方法不解方程组，而是直接由方程组消去参数而得交点的轨迹方程。例5：直线相切，则直线的倾角为：ABCD答案：A分析 将参数方程化为普通方程，直线为，圆为。它们相切的充要条件是：圆心到直线的距离。解得例6：已知直线方程，则两直线的交点与点P(1，5)间的距离是。答案：分析1 将已知直线的方程化为普通方程：，再与直线联立，解得两直线交点，所以。分析2 将已

38、知直线方程代入，解得，则两直线交点，所以。例7：求椭圆上的点到直线的最大、最小距离。解：椭圆上任意一点的坐标可设为，则点P到直线的距离为：小结：圆锥曲线的参数方程，多用于设圆锥曲线上点的坐标为参数形式，以使曲线上点的坐标所含变量个数减少。例8：已知直线点，倾斜角为，且与圆相交于A、B两点，则|AB|=。答案：6。分析 易知直线的参数方程为：即把直线的参数方程（*）代入圆的方程中，整理得。根据参数t的几何意义知，|AB|=6例9：在极坐标系中，点的关系是：A关于极点成中心对称B表示同一个点C关于极轴成轴对称D关于过极点与极轴垂直的直线成轴对称答案：D。分析 在极坐标系中，作出点与点，如图所示，所

39、以选D。例10：在极坐标系中，已知等边三角形ABC的两个顶点是，那么顶点C的一个坐标可能是：ABCD答案：B。分析 在极坐标系中，以AB为边作等边三角形，可得如图所示，其中点C，故选B。例11：极坐标方程所表示的曲线是：A直线B圆C双曲线D抛物线答案：B。分析 将极坐标方程化为直角坐标方程即可判断曲线的形状，因为给定的不恒等于零，用同乘方程的两边得：化直角坐标方程为：，这是以点为圆心，半径为的圆，故选B。例12：极坐标方程所对应的直角坐标方程为。分析 ，去分母得，小结：极坐标方程化为直角坐标方程是重点，在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合。例13：极坐标方程表示的曲线是：A一个圆B一射线及一个圆C两条直线D一条直线及一个圆答案：D分析 方程，可分解为，表示一条直线。表示一个圆，故选D。小结：判断极坐标方程所表示的曲线，有两条途径：一是化为直角坐标方程；二是通过对方程的化简、分析，转化为熟知的极坐标方程（如直线、圆、圆锥曲线）例14：在极坐标系中，与圆相切的一条直线方程是：ABCD答案：B分析 该题既可以化为直角坐标方程求解，也可以直接利用极坐标方程求解。用极坐标方程求解。在极坐标系中作出圆（如图所示），它是以为圆心，为半径的圆，在给出的四个选择支中只有是它的切线，故选B。