1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式.2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题.3.能描述用向量方法解决距离问题的程序,体会向量方法在研究几何距离问题中的作用.4.提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.自主预习 新知导学一、点到直线的距离【问题思考】(2)设与b方向相同的单位向量为e,那么向量a在向量b上的投影向量等于什么?(3)在上图中,怎样求线段MM1的长度?长度的表达式是什么?提示:在RtMOM1中,由勾股定理,2.填空:点到直线的距离3.做一做:如图,在长方体
2、ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,点F,G分别是AB,CC1的中点,则点D1到直线GF的距离为.解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为坐标轴,建立如图所示的空间直角坐标系,连接GD1,则D1(0,0,2),F(1,1,0),G(0,2,1),二、点到平面的距离【问题思考】1.如图,平面的法向量为n,A是平面内的定点,P是平面外一点,过点P作平面的垂线l,交平面于点Q,回答下列问题:(1)点P到平面的距离是哪一线段的长度?提示:线段PQ.(2)从向量投影的角度来看,点P到平面的距离又是什么?(3)根据向量投影的定义,你能得出点P到平面的距离的表达式吗?2.填空:点
3、到平面的距离3.做一做:已知平面的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面内,则点P(-2,1,4)到平面的距离为()答案:D【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)点到直线的距离实质上就是点与直线上的一点构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的模.()(2)点到平面的距离实质就是从该点出发的斜线段对应的向量在平面的法向量上的投影向量的长度.()(3)线面距离、面面距离均可转化为点面距离,用求点面距离的方法进行求解.()合作探究 释疑解惑探究一探究二易错辨析探究一点到直线的距离【例1】如图,在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABC
4、D-A1B1C1D1,点M是线段DC1上的动点,求点M到直线AD1距离的最小值.分析:设点M的坐标为(0,m,m),利用点到直线的距离公式用m表示距离,把距离表示成关于m的函数.探究一探究二易错辨析探究一探究二易错辨析若本例中的“DC1”改为“BB1”,其他条件不变,试求点M到直线AD1距离的最大值.探究一探究二易错辨析反思感悟 用向量方法求直线外一点N到直线的距离的步骤第一步:依据图形先求出直线的单位方向向量u.探究一探究二易错辨析探究一探究二易错辨析解:取AC的中点D,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,探究一探究二易错辨析探究二点到平面的距离【例2】设正方体ABCD-A1B
5、1C1D1的棱长为2,求:(1)点D1到平面A1BD的距离;(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离.(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离.探究一探究二易错辨析解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0,0),B(2,2,0),取x=1,则y=-1,z=-1.所以,n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量.探究一探究二易错辨析(2)根据题意,知A1D1BC,所以四边形A1BCD1为平行四边形.所以A1BD1C.因为A1B平面B1CD1,D1C平面B1CD1,所以A1B平面B1CD1.同理BD
6、平面B1CD1.因为A1BBD=B,A1B平面A1BD,BD平面A1BD,所以平面A1BD平面B1CD1.所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离.探究一探究二易错辨析反思感悟 用向量方法求点面距的步骤(1)建系:建立适当的空间直角坐标系.(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.提醒:用向量方法求线面距、面面距时一般要转化为求点面距.探究一探究二易错辨析【变式训练2】如图,多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的,其中AB=4,BC=2,CC1=3,BE=1.(1)求BF的长;(2)求点C到平面AEC1F的距离.探究一探究二易错辨析解:由题意
7、知DA,DC,DF两两垂直.建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).(1)设F(0,0,z).四边形AEC1F为平行四边形,探究一探究二易错辨析(2)设n1为平面AEC1F的一个法向量,显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1=(x,y,1),探究一探究二易错辨析【易错辨析】用向量方法求点到平面的距离时因选错向量致误【典例】如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2 ,侧棱长为4,E,F分别为AB,BC的中点,则点D1到平面B1EF的距离d=.探究一探究二易错辨析错解:以
8、D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,探究一探究二易错辨析以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?探究一探究二易错辨析防范措施 1.平面的法向量要计算正确.2.计算点到平面的距离时,选取的向量是该点与平面内的一点构成的向量.探究一探究二易错辨析【变式训练】如图,已知ABC是以ABC为直角的直角三角形,SA平面ABC,SA=BC=2,AB=4,N,D分别是AB,BC的中点,则点A到平面SND的距离为.探究一探究二易错辨析解析:建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.N(0,2,0),S(0,0,2),D(-1,4,0
9、),随堂练习1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,E是CC1的中点,则点E到A1B的距离为()答案:D 解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.连接A1E.A1(4,0,4),B(4,4,0),E(0,4,2),2.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点C1到平面A1BD的距离是()答案:D 解析:以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,连接AC1,BC1,如图所示.3.已知以向量n=(6,3,4)为方向向量的一条直线和直线l垂直,点A(2,0,2)在直线l上,则点P(-4,0,2)到直线l的距离为.4.已知直线AB平面,平面的法向量为n=(1,0,1),平面内一点C的坐标为(0,0,1),直线AB上点A的坐标为(1,2,1),则直线AB到平面的距离为.5.已知正方形ABCD的边长为4,CG平面ABCD,CG=2,E,F分别是AB,AD的中点,求点B到平面GEF的距离.解:建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz,则B(0,4,0),E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2),
