1、？8.4.1平面？课标定位素养阐释1.在直观认识的基础上,感受平面的概念.2.了解三个基本事实(基本事实1、2、3)和三个推论,会用图形、文字、符号三种语言形式表述三个基本事实和三个推论.3.能够利用三个基本事实和三个推论证明简单问题.4.在探究三个基本事实的情境中,感悟立体几何结论发现的过程,体验研究立体几何的方法,提升空间想象能力和数学抽象素养.自主预习新知导学合作探究释疑解惑随 堂 练 习？自主预习新知导学？一、平面【问题思考】1.生活中常见的,给我们以平面印象的物体,如黑板面、桌面、平整的操场、平静的湖面等等,那么这些平面有大小之分吗?几何里所说的“平面”是怎样的?提示:生活中的平面有
2、大小之分;几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的,是向四周无限延展的,无大小之分.？2.(1)几何中的平面是向四周无限延展的.(2)我们常用矩形的直观图,即平行四边形表示平面,右图的平面可表示为平面、平面ABCD、平面AC或者平面BD.？(3)在画两个相交平面时,如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住,通常把被挡住的部分画成虚线或不画,这样可使画出的图形立体感更强一些(图、图).？3.做一做:在下列各种面中,不能认为是平面一部分的应该为()A.黑板面B.乒乓球桌面C.篮球的表面D.平静的水面答案:C？二、平面的基本性质【问题思考】1.若一根直尺边缘上的任意两点在桌面上,则直尺边
3、缘上的其余点和桌面有何关系?为什么自行车后轮旁只安装一只撑脚就能固定自行车?两张纸面相交有几条交线?提示:直尺边缘上的其余点也在桌面上.撑脚和自行车的两个轮子与地面的接触点不在一条直线上.两张纸面相交有一条交线.？2.平面的基本性质？3.做一做:已知平面平面=l,点P,P,则点P与直线l的关系是.答案:Pl？三、基本事实的推论【问题思考】1.三个关于平面的基本事实是人们经过长期观察与实践总结出来的,是几何推理的基本依据,也是我们进一步研究立体几何的基础.下面各条件能否确定一个平面?(1)直线与直线外一点;(2)两条相交直线;(3)两条平行直线.提示:都能.？2.基本事实的三个推论？3.做一做:
4、(1)(多选题)下列说法正确的是()A.任意三点确定一个平面B.圆上的三点确定一个平面C.任意四点确定一个平面D.两条平行直线确定一个平面(2)若两个平面有三个公共点,则这两个平面()A.相交B.重合C.相交或重合D.以上都不对？解析:(1)不在同一条直线上的三点确定一个平面.圆上三个点不会在同一条直线上,所以可确定一个平面,故A错误,B正确.当四点在一条直线上时不能确定一个平面,故C错误.根据推论3知,两条平行直线可确定一个平面,故D正确.(2)若三个点在同一条直线上,则两平面可能相交;若这三个点不在同一条直线上,则这两个平面重合.答案:(1)BD(2)C？【思考辨析】判断下列说法是否正确,
5、正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)经过一条直线和一个点,有且只有一个平面.()(2)平面与平面相交,它们只有有限个公共点.()(3)如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合.()？合作探究释疑解惑探究一探究二探究三？探究一 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化【例1】根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.(1)点P与直线AB;(2)点C与直线AB;(3)点M与平面AC;(4)点A1与平面AC;(5)直线AB与直线BC;(6)直线AB与平面AC;(7)平面A1B与平面AC.？解:(1)点P直线AB;(2)点C直线AB;(3)M平面AC;(4)A1平面AC;(
6、5)ABBC=B;(6)AB平面AC;(7)平面A1B平面AC=AB.？三种语言的转换方法:(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示;(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.？【变式训练1】画图表示下列符号语言给出的关系:(1)A,B,Al,Bl;(2)a,b,ac,bc=P,=c.解:如图.(1)(2)？探究二 点、线共面问题【例2】如图,l1l2=A,l2l3=B,l1l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内.分析:先由l1与l2确定一个平面,再证明l3在
7、这个平面内.也可以证明l1,l2确定的平面与l2,l3确定的平面重合.？证法一:l1l2=A,由推论2知,l1和l2确定一个平面.l2l3=B,Bl2.又l2,B.同理可证C.Bl3,Cl3,l3.直线l1,l2,l3在同一平面内.证法二:l1l2=A,由推论2,知l1,l2确定一个平面.l2l3=B,由推论2知,l2,l3确定一个平面.Al1,l1,A.Al2,l2,A.同理可证B,B,C,C.不共线的三个点A,B,C既在平面内,又在平面内.平面和重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.？证明点、线共面问题的常用方法有:(1)先由部分点、线确定一个平面,再证其余的点、线都在这个平面内;(2
8、)先由其中一部分点、线确定一个平面,其余点、线确定另一个平面,再证平面与重合;(3)假设不共面,结合题设推出矛盾.？【变式训练2】已知直线ab,直线l与a,b都相交,求证:过a,b,l有且只有一个平面.证明:如图所示,ab,由推论3知,过a,b有且只有一个平面.设al=A,bl=B,则A,B,且Al,Bl,l,即过a,b,l有且只有一个平面.？探究三 共线问题【例3】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线.？分析:证明点Q既在平面ABCD内,又在平面ADD1A1内,即点Q在平面ABCD与
9、平面ADD1A1的交线AD上,从而可证三点共线.证明:MNEF=Q,Q直线MN,Q直线EF.又M直线CD,N直线AB,CD平面ABCD,AB平面ABCD,M,N平面ABCD,MN平面ABCD.Q平面ABCD.同理,可得EF平面ADD1A1.Q平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1=AD,Q直线AD,即D,A,Q三点共线.？本例改为:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q.求证:B,Q,D1三点共线.？证明:如图所示,连接A1B,CD1,BD1.A1D1BC,A1D1,BC确定平面A1BCD1.显然B平面A1BCD1,D1平面A1BCD1
10、.BD1平面A1BCD1.同理BD1平面ABC1D1,A1C平面A1BCD1.平面ABC1D1平面A1BCD1=BD1.A1C平面ABC1D1=Q,Q平面ABC1D1.又A1C平面A1BCD1,Q平面A1BCD1.Q直线BD1,即B,Q,D1三点共线.？证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上,也可选择其中两点确定一条直线,然后证明其他点也在其上.？【变式训练3】已知ABC在平面外,AB=P,AC=R,BC=Q,如图所示.求证:P,Q,R三点共线.证法一:AB=P,PAB,P平面.又AB平面ABC,P平面ABC.由基本事实3
11、可知,点P在平面ABC与平面的交线上,同理可证点Q,R也在平面ABC与平面的交线上.P,Q,R三点共线.？证法二:APAR=A,直线AP与直线AR确定平面APR.又AB=P,AC=R,平面APR平面=PR.B平面APR,C平面APR,BC平面APR.BC=Q,QBC,Q平面APR,又Q,QPR,P,Q,R三点共线.？随 堂 练 习？1.若点Q在直线b上,b在平面内,则Q,b,之间的关系可记作()A.QbB.QbC.QbD.Qb答案:B？2.(多选题)已知,为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理正确的是()A.Aa,A,Ba,BaB.M,M,N,N=MNC.A,A=AD.A,B,M,A,B,M,且A,B,M不共线,重合答案:C？3.设平面与平面交于直线l,A,B,且直线ABl=C,则直线AB=.解析:=l,ABl=C,C,C直线AB,直线AB=C.答案:C？4.如图,已知平面,且=l,设在梯形ABCD中,ADBC,且AB,CD.求证:直线AB,CD,l共点.？证明:如图,在梯形ABCD中,ADBC,AB与CD所在的直线必交于一点,设两直线交于点M,则M直线AB,M直线CD.AB,CD,M,M,又=l,Ml,直线AB,CD,l共点.
