1、？7.3.1复数的三角表示式？课标定位素养阐释1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示.2.了解复数的代数表示式与三角表示式之间的关系.3.会进行复数三角形式和代数形式之间的互化.4.了解两个用三角形式表示的复数相等的条件.5.提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.自主预习新知导学合作探究释疑解惑易 错 辨 析随 堂 练 习？自主预习新知导学？复数的三角表示式【问题思考】1.如图,角的终边上一点P(x,y),设P到原点O的距离|OP|=r,那么怎样用角和r表示x,y?？提示:能,由题图得,a=rcos,b=rsin.故a+bi=rcos+irsin=r(cos+isin).？3.(1)复数的
2、辐角:以x轴的非负半轴为始边,向量所在射线(射线OZ)为终边的角,叫做复数z=a+bi的辐角.我们规定在02范围内的辐角的值为辐角的主值,通常记作arg z,即0arg z2.(2)复数的三角形式:一般地,任何一个复数z=a+bi都可以表示成 r(cos+isin)的形式.其中,r是复数z的模;是复数z=a+bi的辐角.r(cos+isin)叫做复数z=a+bi的三角表示式,简称三角形式.为了与三角形式区分开来,a+bi 叫做复数的代数表示式,简称代数形式.？(3)两个用三角形式表示的复数相等的充要条件:两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等.？答案:(1)A(2)B？【思考辨析
3、】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)复数0的辐角的主值是0.()(2)任何一个复数的辐角有无限多个值,且这些值相差2的整数倍.()(3)非零复数z的辐角主值是确定的,且唯一的.()(4)在复数的三角形式中,辐角的值可以用弧度表示,也可以用角度表示,可以是主值,也可以是主值加2k或k360(k为整数).()？合作探究释疑解惑探究一探究二探究三？探究一 复数的三角形式【例1】下列复数是不是三角形式?若不是,把它们转化为三角形式.？复数三角形式的判断依据和变形步骤:(1)判断依据:三角形式的结构特征,模非负,角相同,余弦前,加号连.(2)变形步骤:首先确定复数z对
4、应点所在的象限(此处可假定为锐角),其次判断是否要变换三角函数名称,最后确定辐角.此步骤可简称为“定点定名定角”.？【变式训练1】下列复数是不是三角形式?若不是,把它们转化为三角形式.？(3)由“模非负”知,不是三角形式.复平面上的点Z3(-2cos,-2sin)在第三象限(假定为锐角),余弦“-cos”已在前,不需要变换三角函数名称,因此可用诱导公式“+”将变换到第三象限.所以z3=-2(cos+isin)=2cos(+)+isin(+).？探究二 复数的代数形式转化为三角形式【例2】在复平面内,画出下列复数对应的向量,指出它们的模和辐角的主值,并把这些复数转化为三角形式:？(2)在复平面内
5、,复数-10对应的向量如图所示,则模r=10,对应的点在x轴的负半轴上,所以arg(-10)=.所以-10=10(cos+isin).？复数的代数形式化成三角形式的步骤:(1)先求复数的模;(2)决定辐角所在的象限;(3)根据象限求出辐角(常取它的主值);(4)写出复数的三角形式.？解:(1)模r=1,在复平面内对应的点在x轴的正半轴上,所以arg(1)=0.所以1=cos 0+isin 0.？探究三 把复数转化为代数形式【例3】分别指出下列复数的模和一个辐角,并把这些复数转化为代数形式:？1.类似三角形式的复数求模和辐角时,注意三角形式的结构特征:模非负,角相同,余弦前,加号连.2.将复数的
6、三角形式转化为代数形式,直接求出角的三角函数值,化简即可.？易 错 辨 析？忽视角的范围而致错【典例】求复数z=1+cos+isin(2)的模与辐角的主值.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?？提示:错解中忽视了条件2,导致没有转化为标准的三角形式就直接下结论.？1.在表示复数的三角形式时,要严格套用复数三角形式的四个结构特征.2.注意复数辐角的主值范围0,2).？【变式训练】复数z=1-cos+isin(2)的辐角的主值为()答案:C？随 堂 练 习？答案:B？2.复数z=-sin 100+icos 100的辐角的主值是()A.80B.100C.190D.2
7、60解析:z=-sin 100+icos 100=-cos 10-isin 10=cos 190+isin 190,arg z=190,选C.答案:C？3.两个复数z1,z2的模与辐角分别相等,是z1=z2成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:由两个复数z1,z2的模与辐角分别相等,可得出z1=z2,由z1=z2,得不出两个复数z1,z2的模与辐角分别相等,故选A.答案:A？5.复数-2(sin 10+icos 10)的三角形式为.解析:-2(sin 10+icos 10)=2(-sin 10-icos 10)=2cos(270-10)+isin(270-10)=2(cos 260+isin 260).答案:2(cos 260+isin 260)
