1、？7.1.2复数的几何意义？课标定位素养阐释1.理解复数的几何意义.2.知道复数与有序实数对以及平面向量之间一一对应的关系,能画出复数对应的点和向量.3.知道复数的模的含义,会求复数的模.4.知道共轭复数的含义,会求一个复数的共轭复数.5.体会数学抽象的过程,提升直观想象和数学运算素养.自主预习新知导学合作探究释疑解惑易 错 辨 析随 堂 练 习？自主预习新知导学？一、复数的几何意义【问题思考】1.实数可以用数轴上的点来表示,类比一下,复数可用什么来表示?提示:任何一个复数z=a+bi(a,bR)都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定.2.复数与复平面内的点有怎样的对应关系?提示:一一对应关
2、系.3.复数与复平面内以原点为起点的向量有怎样的对应关系?提示:一一对应关系.？4.(1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.(2)复数集C中的数与复平面内的点按如下方式建立了一一对应关系这是复数的一种几何意义.？5.做一做:(1)已知复数z=i,则复平面内z对应的点Z的坐标为()A.(0,1)B.(1,0)C.(0,0)D.(1,1)？解析:(1)因为复数z=i的实部为0,虚部为1,所以对应点的坐标为(0,1).故选A.答案:(1)A(2)C？二、复数的模【问题思考】1.我们知道,两个复数不一
3、定能比较大小,若两个复数是实数,则可以比较大小;若两个复数是虚数,则不能比较大小.与这两个复数对应的向量的模能比较大小吗?提示:向量的模是非负实数,能比较大小.？答案:2？三、共轭复数【问题思考】1.设复数z1=1+i,z2=1-i,则在复平面内复数z1,z2对应的点Z1,Z2的坐标分别是什么?它们有怎样的关系?提示:点Z1的坐标为(1,1),Z2的坐标为(1,-1),点Z1,Z2关于x轴对称.？答案:D？【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)在复平面内,虚轴上的点对应的复数都是纯虚数.()(2)复数的模一定是正实数.()(3)复数z1z2的充要条件
4、是|z1|z2|.()(4)若两个复数互为共轭复数,则它们的模相等.()？合作探究释疑解惑探究一探究二探究三？探究一 复数与复平面内的点一一对应【例1】(1)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()A.(-3,1)B.(-1,3)C.(1,+)D.(-,-3)？解析:(1)因为z=(m+3)+(m-1)i对应点的坐标为(m+3,m-1),且该点在第四象限,答案:(1)A(2)9？利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤(1)找对应关系:复数的几何表示即复数z=a+bi(a,bR)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示.(2)列出方程(组)或不等式(组
5、):此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.？【变式训练1】当实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内的对应点:(1)位于第四象限内?(2)位于实轴负半轴上?(3)在上半平面(含实轴)?？(3)要使点位于上半平面(含实轴),需m2+3m-280,解得m4或m-7.？探究二 复数与复平面内的向量一一对应？复数与平面向量的对应关系(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点在原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之,复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.(2)解决
6、复数与平面向量一一对应的问题时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.？探究三 复数的模【例3】(1)设复数z1=a+2i,z2=-2+i,且|z1|z2|,则实数a的取值范围是()A.(-,-1)(1,+)B.(-1,1)C.(1,+)D.(0,+)(2)设zC,在复平面内z对应的点为Z,且|z|=3,则点Z的集合是图形.分析:(1)通过复数的模的公式计算|z1|,|z2|,解关于a的不等式.(2)根据复数的模的几何意义判断.？答案:(1)B(2)以原点O为圆心,以3为半径的圆？将本例(2)中的条件改为“1|z|3”,求满足条件的点Z的集合是什么图形
7、?不等式|z|3的解集是圆|z|=3的内部所有的点组成的集合,不等式|z|1的解集是圆|z|=1及圆外部所有的点组成的集合,所以满足条件1|z|3的点Z的集合是以原点O为圆心,以1及3为半径的两个圆所夹的圆环,不包括大圆周,如图阴影部分所示.？从几何意义上理解,复数的模表示复数在复平面内对应的点到原点的距离,故|z|=r表示以原点为圆心,r为半径的圆.？易 错 辨 析？对复数与复平面内向量的对应关系理解不到位致错？以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错解中把向量的平移当成了点的平移,忽视了向量作平移变换后,两个向量仍然相等,从而两向量对应的复数不变.答案
8、:1+I？1.向量平移后,虽然向量的起点和终点都平移了,但所得向量的坐标不变,即向量作平移变换后,所得向量与原向量相等.2.向量坐标的横坐标、纵坐标分别是其对应复数的实部与虚部.？【变式训练】在复平面内,向量对应的复数是1-i,将点P向左平移一个单位长度后得点P0,则点P0对应的复数是.解析:点P(1,-1)向左平移一个单位长度至点P0(0,-1),对应的复数为-i.答案:-i？随 堂 练 习？1.在复平面内,向量a=(-2,1)所对应的复数是()A.z=1+2iB.z=1-2iC.z=-1+2iD.z=-2+i答案:D？2.实部为5,模与复数4-3i的模相等的复数有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案:A？答案:3+4i？4.若x-2+yi和3x-i互为共轭复数,其中x,yR,则x=,y=.答案:-11？5.当实数m取什么值时,复平面内表示复数z=2m+(4-m2)i的点:(1)位于虚轴上;(2)位于第三象限.解:复数z=2m+(4-m2)i在复平面上对应点的坐标为(2m,4-m2).(1)若点(2m,4-m2)在虚轴上,则有2m=0,即m=0.
