1、？6.4.3余弦定理、正弦定理第4课时余弦定理、正弦定理应用举例？课标定位素养阐释1.了解实际测量中的专用名词与术语.2.会从给定的现实情境中抽象出三角形.3.能运用余弦定理、正弦定理解决一些与测量有关的简单实际问题.4.发展直观想象、数学建模和数学运算素养.自主预习新知导学合作探究释疑解惑思 想 方 法随 堂 练 习？自主预习新知导学？一、实际应用问题中的专用名词与术语【问题思考】1.(1)基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.？(2)仰角和俯角:在视线和水平线所成的角中
2、,视线在水平线上方的角叫仰角,视线在水平线下方的角叫俯角(如图).(3)方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如点B的方位角为(如图).？(4)方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90的水平角,如南偏西60,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60.？2.做一做:从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则,的关系是()A.B.=C.+=90D.+=180解析:如图,在A处望B处的仰角与从B处望A处的俯角是内错角,根据水平线平行,得=.答案:B？二、解决实际问题的步骤【问题思考】1.解三角形应用题的一般步骤:？答案:C？【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后
3、面的括号内画“”,错误的画“”.(1)若点A在点B的北偏西50,则点B在点A的西偏北50.()(2)方向角的取值范围是0360,方位角的取值范围是090.()(3)方位角是270的方向正好是正西方向.()(4)测量底部不能到达的建筑物的高度的方法是不唯一的.()？合作探究释疑解惑探究一探究二探究三？探究一 求距离问题？分析:要求出A,B之间的距离,先把AB放在ABC(或ADB)中,但不管在哪个三角形中,AC,BC(或AD,BD)这些量都是未知的.再把AC,BC(或AD,BD)放在ACD和BCD中求出它们的值.？如图,不可到达的A,B是地面上两点,要测量A,B两点之间的距离,步骤是:(1)取基线
4、CD;(2)测量CD,ACB,BCD,ADC,BDA;(3)在ACD中,解三角形得AC;在BCD中,解三角形得BC;(4)在ABC中,利用余弦定理得？【变式训练1】在某次军事演习中,红方为了准确分析战场形势,在两个相距为的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在同一平面上的A处和B处,且ADB=30,BDC=30,DCA=60,ACB=45,如图所示,求蓝方这两支精锐部队之间的距离.？探究二 求高度问题【例2】在平地上有A,B两点,点A在山坡D的正东方向,点B在山坡D的东南方向,同时点B在A的南偏西15方向,且距离A为,在A处测山坡顶C的仰角为30,求山坡的高度.分析:欲求山坡的高度,只需求
5、出AD,然后在RtADC中求解.？对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题,我们可选择一条过建筑物底部点的基线,在基线和基线所在的平面上取另外两点,这样四点可以构成两个小三角形.其中,把不含未知高度的那个小三角形作为依托,从中解出相关量,进而应用到含未知高度的三角形中,利用正弦定理或余弦定理解决即可.？【变式训练2】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为,沿BE方向前进30 m,至点C测得顶端A的仰角为2,再继续前进 m,至点D,测得顶端A的仰角为4,求的大小及建筑物的高.？探究三 求角度问题【例3】某渔船在航行中不幸遇险,发出求救信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45,距
6、离为10 km的C处,并测得渔船正沿方位角为105的方向,以10 km/h的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以km/h的速度前去营救,求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间.？解:如图所示,？因为CAB为锐角,所以CAB=30,所以舰艇航行的方位角BAD=45+30=75.故舰艇航行的方位角为75,航行的时间为1 h.？1.在与三角形有关的问题中,求某些角的度数时,最好用余弦定理,这是因为余弦函数在区间(0,)内是单调递减的,由所求得的余弦值,不用判断角的个数问题(主要区别钝角、锐角问题),答案是唯一的,而正弦函数在区间(0,)内不是单调的,因而求出正弦值后有两个角与之对应,还需判断角的合理性.若用正
7、弦定理求角,应结合具体图形来判断角的解的个数,也可尽量地利用直角三角形来解答.2.测量角度问题的情境属于“根据需要对某些物体定位”,在实际应用时,测量数量越准确,定位精度越高.？【变式训练3】甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60的方向,两船相距a n mile,乙船正向北行驶,若甲船的速度是乙船速度的倍,则甲船应沿方向行驶才能追上乙船.？解析:如图,设到点C处甲船追上乙船,甲船追上乙船所用的时间为t h,乙船的速度为v n mile/h.答案:北偏东30？思 想 方 法？函数与方程思想在解三角形应用举例中的应用【典例】如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步
8、行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,得(1)求索道AB的长;(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?a？审题视角:(1)利用正弦定理求出AB的长;(2)先设再建立时间t与甲、乙间距离d的函数关系式,利用关系式求最值.？(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d,此时甲行走了(100+50t)m,乙距离A处13
9、0t m,所以由余弦定理,得？1.与函数思想相联系的就是方程思想.所谓方程思想,就是在解决问题时,用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系,列出方程(组),从而求出未知数及各量的值,使问题获得解决,所设的未知数沟通了变量之间的联系.方程可以看做未知量与已知量相互制约的条件,它架设了由已知探索未知的桥梁.2.函数与方程思想在数学中有着广泛的应用,本章在利用余弦定理、正弦定理求角或边长时,往往渗透着函数与方程思想.？【变式训练】某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20 n mile的A处,并正以30 n mile/h
10、的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v n mile/h的航行速度匀速行驶,经过t h与轮船相遇.(1)若要使相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)为保证小艇在30 min内(含30 min)能与轮船相遇,试确定小艇航行速度的最小值.？解:(1)设相遇时小艇航行的距离为s n mile,？(2)设小艇与轮船在B处相遇,如图所示.？随 堂 练 习？1.已知A,B两地相距10 km,B,C两地相距20 km,且ABC=120,则A,C两地相距()答案:D？2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40方向,灯塔B在观察站C的南偏东60方向,则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10方向B.北偏西10方向C.南偏东10方向D.南偏西10方向解析:由题意可知,ACB=180-40-60=80,AC=BC,CAB=CBA=50,A在B的北偏西10方向.答案:B？答案:D？4.甲、乙两楼相距20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30,则甲楼高为,乙楼高为.？
