1、？6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时习题课余弦定理和正弦定理的综合应用？课标定位素养阐释1.理解三角形面积公式的推导过程.2.掌握利用余弦定理、正弦定理解决三角形的面积问题.3.能够运用余弦定理、正弦定理解决一些与几何计算有关的简单实际问题.4.提升逻辑推理和数学运算素养.自主预习新知导学合作探究释疑解惑易 错 辨 析随 堂 练 习？自主预习新知导学？一、三角形的面积公式【问题思考】1.如图,在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.你能用三角形的边和角的正弦表示ABC的边AC上的高以及ABC的面积吗?？提示:如图,过点B作BDAC于点D,则BD为ABC的边AC上的高,在RtBCD中,
2、BD=BCsin C=asin C.在RtABD中,BD=ABsin A=csin A.即ABC的边AC上的高BD=asin C=csin A.？答案:B？二、三角形中有关边和角的常用性质【问题思考】1.(1)三角形内角和定理:在ABC中,A+B+C=;(2)在ABC中,abAB sin Asin B;(3)在ABC中,a+b c,b+c a,c+a b;(4)在ABC中,A为锐角cos A0a2 b2+c2;A为直角cos A=0a2=b2+c2;A为钝角cos A b2+c2.？2.做一做:已知锐角三角形的三边长分别为2,3,x,则实数x的取值范围为.？【思考辨析】判断下列说法是否正确,正
3、确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)在ABC中,若A=2B,则a=2b.()(2)在ABC中,若cos 2A=cos 2B,则A=B.()(3)三角形的面积等于其中两边以及它们所夹内角的正弦值的乘积.()(4)若ABC的面积,则C=45或135.()？合作探究释疑解惑探究一探究二探究三？探究一 三角形的面积问题分析:对于(1),已知ABC的两角及其中一角的对边,可通过解三角形求出另外的量再求面积;对于(2),首先可通过面积公式求出AC,然后可利用余弦定理求AB,也可以利用三角形的性质求AB.？C=60,ABC为等边三角形,AB=2,即边AB的长度等于2.？【变式训练1】设ABC的内角
4、A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且cos B=,b=2.(1)当A=30时,求a的值;(2)当ABC的面积为3时,求a+c的值.？探究二 三角形中的几何计算问题？余弦定理、正弦定理本身是研究几何图形计算的工具,因此在面对几何图形时,关键是寻找相应的三角形,并在三角形中运用余弦定理、正弦定理,特别是涉及公共边时,要利用公共边来进行过渡,即利用公共边创造的互补或互余关系列式,其本质是构建关于角的关系的方程.？探究三 三角形的综合问题？解决三角形的综合问题,除灵活运用余弦定理、正弦定理及三角形的有关知识外,一般还要用到三角函数、三角恒等变换、方程等知识.因此,掌握余弦定理、正弦定理、三角函数的
5、公式和性质是解题的关键.？【变式训练3】ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周长.？易 错 辨 析？忽视三角形中角的取值范围致错【典例】在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,ABC的面积为S,若a=4,b=5,S=,求c的长.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?？已知正弦值求角时,要根据题目条件分类求解,防止漏解.？答案:D？随 堂 练 习？答案:A？2.已知锐角三角形ABC的面积为,BC=4,CA=3,则角C的大小为()A.75B.60 C.45 D.30答案:B？答案:D？答案:2？(1)证明:由已知得sin(2A+B)=2sin A+2cos(A+B)sin A,即sin(A+-C)=2sin A-2sin Acos C.则sin(C-A)=2sin A-2sin Acos C,sin Ccos A+sin Acos C=2sin A.得sin(A+C)=2sin A,即sin B=2sin A.由正弦定理得b=2a.
