1、？6.4平面向量的应用6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例？课标定位素养阐释1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题.2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用.3.掌握利用向量方法解决平面几何问题的一般步骤.4.提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养.自主预习新知导学合作探究释疑解惑易 错 辨 析随 堂 练 习？自主预习新知导学？一、用向量方法解决平面几何问题【问题思考】1.想一想:向量可以解决哪些常见的平面几何问题?提示:(1)解决有关夹角、长度等的计算或度量问题;(2)解决直线平行、垂直、三点共线、三线共点等位置关系的判断与证明问题.？2.由
2、于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,平面几何图形的许多性质,如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来,因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.？3.平面几何问题与平面向量之间的对应关系:？4.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”:(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.？5.做一做:在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),以线段AB,AC为邻边的平行
3、四边形的两条对角线的长分别是,.？二、向量在物理中的应用【问题思考】1.物理中的动量mv,功Fs是向量中的什么运算?提示:因为m是标量,v是矢量,所以mv为数乘运算;因为F和s均为矢量,所以Fs为数量积运算.2.(1)物理学中的许多量,如力、速度、加速度、位移都是向量.(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的线性运算.？3.利用向量方法解决物理问题的基本步骤:问题转化,即把物理问题转化为数学问题;建立模型,即建立以向量为载体的数学模型;求解参数,即求向量的模、夹角、数量积等;回答问题,即把所得的数学结论回归到物理问题.？4.做一做:(1)已知三个力F1=(-2,-1),F2
4、=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,现加上一个力F4,则F4等于()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)(2)已知速度|v1|=10 m/s,|v2|=12 m/s,且v1与v2的夹角为60,则v1与v2的合速度的大小是()A.2 m/sB.10 m/sC.12 m/sD.？解析:(1)由已知F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=-(-2,-1)+(-3,2)+(4,-3)=-(-1,-2)=(1,2).(2)|v1+v2|2=|v1|2+2v1v2+|v2|2=100+21012cos 60+144=3
5、64,答案:(1)D(2)D？【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(4)力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减运算.()(5)功是力F与位移s的数量积,即W=Fs.()？合作探究释疑解惑探究一探究二探究三？探究一 平面向量在几何证明中的应用【例1】如图所示,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AFDE.？证法二:如图所示,建立平面直角坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),？用向量证明平面几何问题的两种基本方法(1)基向量法:步骤为:选取基底;用基底表示相关向量;利用向量的线
6、性运算或数量积找相应关系;把几何问题向量化.(2)坐标法:步骤为:建立适当的平面直角坐标系;把相关向量坐标化;用向量的坐标运算找相应关系;把几何问题向量化.？探究二 平面向量在几何求值中的应用【例2】(1)已知边长为2的正六边形ABCDEF,连接BE,CE,点G是线段BE上靠近点B的四等分点,连接GF,则等于()A.-6B.-9C.6D.9？1.试用坐标法解本例(1).答案:D？2.本例(3)中,条件不变,试问:在BC上是否存在点M,使得EAM=45?若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由.？1.用向量法求长度的策略(1)利用图形特点选择基底、向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解.(
7、2)建立坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式:若a=(x,y),则2.向量数量积、夹角的计算利用向量或坐标表示出未知向量,代入相应的公式进行计算.？探究三 平面向量在物理中的应用分析:(1)用F1,F2表示F3,求|F3|.(2)利用F1,F2,F3之间的关系求出F2F3,利用夹角公式求解.【例3】设作用于同一点的三个力F1,F2,F3处于平衡状态,若|F1|=1,|F2|=2,且F1与F2的夹角为 ,如图所示.(1)求F3的大小;(2)设力F3,F2的夹角为,求的值.？用向量解决物理中相关问题的步骤(1)转化:把物理问题转化成数学问题.(2)建模:建立以向量为主体的数学模型.(3)求解:求出
8、数学模型的相关解.(4)回归:回到物理现象中,用已经获取的数值去解释一些物理现象.？【变式训练2】一纤夫用纤绳拉船沿直线方向前进60 m,若纤绳与前进方向的夹角为 ,此人的拉力为50 N,则纤夫对船所做的功为J.？易 错 辨 析？未将物理问题转化为向量问题致错【典例】一条河宽为8 000 m,一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需时间为min.错解:因为河宽为8 000 m,船速为20 km/h,所以船到达B处所需时间为答案:24以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?？提示:错解中误将船在静水中的速度
9、作为了船的实际速度导致错误.？正解:因为v实际=v船+v水=v1+v2,|v1|=20,|v2|=12,答案:30？船行驶的实际速度是船在静水中的速度与水速的合成,因此应先借助平行四边形法则或三角形法则求出其实际速度,再解决相关问题.？【变式训练】河水的流速为2 m/s,一艘小船以10 m/s的速度向垂直于对岸的方向行驶,则小船在静水中的速度大小为.解析:设河水的流速为v1,小船在静水中的速度为v2,船的实际速度为v,则v=v1+v2,|v1|=2,|v|=10.因为vv1,所以vv1=0,？随 堂 练 习？答案:B？答案:D？答案:B？4.已知力F=(2,3)作用在一物体上,使物体从A(2,0)移动到B(-2,3),则F对物体所做的功为J.解析:由题意知位移 ,则力F做的功为W=Fs=2(-4)+33=1.答案:1？5.如图,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
