1、21 等差数列一、等差数列的定义1一个数列an，如果从_起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即an1and(常数)，则 称 这 个 数 列 为 _，常 数 d叫 做 这 个 数 列 的_.2等差中项：如果a、A、b成等差数列，那么A叫做a与b的_.友情提示：对等差数列的理解还需注意以下五点：(1)如果一个数列，不从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是一个等差数列；(2)一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不是等差
2、数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十分重要，切记不可丢掉；(3)求公差d时，可以用danan1，也可以用dan1an来求；(4)公差dR，当d0时，数列为常数列；当d0时，数列为递增数列；当d0时，an是递增数列；当_时，an是递减数列；当d0时，an为_；(3)_(m，nN*)；(4)kanb是等差数列，公差为_；(5)a2n是等差数列，公差为_；(6)当 kn是 等 差 数 列 时(kn是 正 整 数)，akn是_；(7)若bn是公差为d的等差数列，那么1an2bn(1，2为常数)也是等差数列，公差为_；(8)_ankank(nk1)四、等差数列的判定和证明(1)证 明 方 法
3、：定 义 法，即 若 一 个 数 列 an满 足_，则数列an为等差数列(2)常见判定方法(充要条件)：若一个数列an满足：_或_，则这个数列为等差数列答案：第2项等差数列公差等差中项ana1(n1)danam(nm)dandn(a1d)amanapaqd0常数列dkd2d等差数列1d2d2anan1and(d是一个与n无关的常数)ananb(a，b为常数)2an1anan21.对于等差数列的定义，我们需要从哪几点去掌握？为什么要强调这几点？(1)在等差数列的定义中，要注意两点，“从第2项起”及“同一常数”，因为数列的第1项没有前一项，因此强调从第2项起，如果一个数列，不从第2项起，而是从第3
4、项起或从第4项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项起或第3项起是一个等差数列(2)一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差，尽管等于常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这个常数可以不同，要注意“差是常数”和“差是同一常数”的含义的不同，如数列2,4,5,9，从第2项起，每一项与前一项的差都是常数，但常数是不相同的，当常数不同时，当然不是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十分重要，切记不可丢掉(3)在数列an中，如果anan1对nN都成立，那么称an是单调递减数列数列的单调性可以用函数的单调性来刻画例如，公差不为零的等差数列的
5、单调性与一次函数的单调性相同，当公差大于零，那么这个等差数列是递增数列，当公差小于零，那么这个等差数列是递减数列3等差数列的判定和证明有哪些方法？判断一个数列是否是等差数列，一般有以下四种方法：(1)定义法：an1and(常数)(nN)an是等差数列(2)递推法：2an1anan2(nN)an是等差数列(3)性质法：利用性质来判断(4)通项法：anpnq(p，q为常数)an是等差数列其中(4)主要应用于选择、填空题中，在解答题中判断一个数列是否是等差数列，一般用(1)、(2)、(3)这三种方法，而方法(3)还经常与(1)、(2)混合运用.判断数列为等差数列的常用方法有两种：(1)定义法：利用a
6、n1an常数(nN*)，anan1常数(n2，nN*)(2)等差中项法例1如果数列an是等差数列，数列bn中，bn3an2.求证：bn是等差数列分析：要证bn是等差数列，即要证bn1bn为常数(nN)证明：an为等差数列，设公差为d，则an1and(nN)，由bn3an2，得bn13an12，bn1bn3(an1an)3d(nN)是常数数列bn是等差数列写出等差数列的通项公式，只需确定它的首项a1与公差d，代入ana1(n1)d即得例2已知an为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式(1)a35，a713；(2)前三项分别为a,2a1,3a.解析：(1)中可设出首项a1与公差d，列方程组求
7、出；设首项为a1，公差为d.ana1(n1)d1(n1)22n1，通项公式an2n1.变式训练2已知数列an为等差数列，分别根据下列条件求出它的通项公式(1)a35，a713；(2)前三项为a,2a1,3a.例3设an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是()A1B2C4 D6解析：设第二项为a，公差为d，则前三项为ad，a，ad.an为递增数列，d0，故d2.故an首项为2.答案：B变式训练3数列an(nN)中，若an1是an和an2的等差中项，则数列an是否为等差数列？并证明你的结论解析：an1是an和an2的等差中项，an1，即an1anan2an1，a2a1a
8、3a2a4a3anan1故数列an为等差数列若an是等差数列，且不是常数数列(即公差d0)，则对任意正整数m，n，p，q，k，有mnpqamanapaq.特别地，有2kpq2akapaq.这是等差数列的一个重要性质，有广泛的应用，活用这一性质，往往会给解题带来很大方便例4在等差数列an中，已知a2a5a89，a3a5a721，求数列的通项公式解析：a2a5a89，a3a5a721，又a2a8a3a72a5，a3a72a56，a3a77，由解得a31，a77或a37，a71，a31，d2或a37，d2.由ana3(n3)d，得an2n7或an2n13.变式训练4在等差数列an中，已知a3a4a5
9、a6a7450，求a2a8.解析：a3a7a4a62a5，a3a7a4a6a55a5450，a590.又a2a82a5，a2a8180.例5若an为等差数列，a158，a6020，则a75_.分析：求通项公式，关键在于求出首项和公差解得d2或d2.当d2时，a11d1，an12(n1)2n3；当d2时，a11d3，an32(n1)2n5.an2n3或an2n5.例6(1)求证：“an是等差数列”的充要条件是“存在常数k和b，使anknb对一切nN*都成立”；(2)试问：是否存在等差数列an满足an1anan1(nN*)？若存在，请求出通项公式，若不存在，请说明理由解析：(1)充分性：anknb
10、，an1k(n1)b，于是an1ank(n1)b(knb)k(常数)，an是公差为k的等差数列必要性：an是等差数列，设其公差为k，ana1(n1)kkna1k.取ba1k，于是anknb.(2)假设存在等差数列an满足性质an1anan1(nN*)，根据(1)可设anknb，于是k(n1)b(knb)2n(knb)1，即(k2k)n2(2bkbk)nb21kb0对一切nN*恒成立由得k0或k1，当k0时，代入得b0，不满足；当k1时，代入得b1，满足，所以ann1，故等差数列n1满足性质an1nan1(nN*)变式训练6已知成等差数列的四个数之和为26，第二个与第三个数之积为40，求这个等差数列解析：设成等差数列的四个数依次为a3d，ad，ad，a3d.由题设知这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.
