1、第28讲两角和与差及二倍角的三角函数两角和与差及二倍角的三角函数1特级教师王新敞源头学子1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.熟练应用公式进行化简、求值、证明.2特级教师王新敞源头学子1.cos15+sin75=.原式=cos(45-30)+sin(45+30)=+=.3特级教师王新敞源头学子2.定义运算：=a1a4-a2a3,则=.原式=sin15cos75+sin105cos15 =sin15cos75+sin75
2、cos15 =sin(15+75)=1.14特级教师王新敞源头学子3.已知(,),sin=,则tan(+)等于（）AA.B.7 C.-D.-7因为(,),sin=,所以cos=-,tan=-.所以tan(+)=.故选A.5特级教师王新敞源头学子4.已知cos2=，其中(-,0)，则sin的值为()BA.B.-C.D.-cos2=1-2sin2=,解得sin=.又(-,0)，所以sin=-.6特级教师王新敞源头学子5.cos215-cos275+=（）BA.-B.C.-D.原式=cos215-sin215+tan30=cos30+tan30=+=.7特级教师王新敞源头学子1.两角和与差的三角函数
3、公式sin（）=.cos（）=.tan（）=.2.二倍角公式sin2=.cos2=1-2sin2.tan2=.sincoscossincoscossinsin2sincoscos2-sin22cos2-18特级教师王新敞源头学子3.辅助角公式asinbcos=,其中tan=.acosbsin=，其中tan=.4.降幂公式cos2=.sin2=.sin()cos()119特级教师王新敞源头学子题型一 给值求值例1已知为第二象限角，sin=，为第一象限角，cos=，求tan(2+)的值.先求出tan、tan，再由二倍角公式得tan2,由两角和公式得tan(2+).10特级教师王新敞源头学子因为为第
4、二象限角，sin=，则cos=-，所以tan=-.所以tan2=-.又为第一象限角，cos=，则sin=,所以tan=.所以tan(2+)=-.11特级教师王新敞源头学子（1）给值求值，需探明路径，沟通“目标角”与“已知角”，再逐步求值逼近；如2+可看成的2倍与的和，也可以看成是（+)+等，求解过程不一，但结果肯定相同.（2）给值求值，如需用平方关系，切记考察角的范围或分类讨论所在象限.12特级教师王新敞源头学子题型二 化简求值例2求2sin50+sin10(1+tan10)的值.50，10，80都不是特殊角，但它们的和60,90都是特殊角，因此展开巧配和角公式得值，其中=tan60也可产生特
5、殊角.13特级教师王新敞源头学子（方法一）切化弦，巧用.原式=2sin50+sin10(1+)=2sin50+sin10|sin80|=cos10 =2sin60=.14特级教师王新敞源头学子（方法二）切化弦，用辅助角公式.原式=2sin50+sin10 =2sin50+sin10|sin80|=（同上）=.15特级教师王新敞源头学子（方法三）巧拆角、细约分.原式=2sin(60-10)+sin10(1+)cos10=(cos10-sin10+sin10+)cos10=(cos210+sin210)=.16特级教师王新敞源头学子化简求值，当题中没有特殊角时，常通过恒等变形生成特殊角，或在题中通
6、过约分消去非特殊角，或将非特殊角用规律角表示，隐去非特殊角，从而得值，即“生成约去抵消”三步曲.17特级教师王新敞源头学子求的值.因为1+tan10=1+=.所以原式=.18特级教师王新敞源头学子题型三 变形求角或求值例3已知(，)，cos（+2）cos（-2）=.(1)求的值；(2)求2sin2+tan-1的值.19特级教师王新敞源头学子（1）因为(+2)+(-2)=，整体代换、异角化同角,根据整体范围求角；（2）切化弦，用公式2sin2-1=-cos2，迅速向已知靠拢.20特级教师王新敞源头学子（1）由cos（+2）cos（-2）=sin（-2）cos（-2）=sin（-4）=cos4=，
7、可得cos4=.又(，),则4(,2).因此4=，所以=.21特级教师王新敞源头学子(2)2sin2+tan-1=-（1-2sin2）=-cos2=-cos2=-=.欲求角，常变形或构造求出某一角的三角函数值，再根据范围得角；条件等式下的求值，常将条件、结论均化简，寻找切合点，从而代值得值.22特级教师王新敞源头学子1.准确选用两角和与差及二倍角公式的关键是观察、分析角之间的和、差与二倍关系，同时应注意角之间的差别是的整数倍时仍可运用和、差公式与二倍角公式进行三角恒等式变形，最后运用诱导公式实现目标解决.2.角 的 变 换 常 见 途 径 有:=（+）-,2=（+）+（-），=2 等.对公式会“正用”“逆用”“变形用”.23特级教师王新敞源头学子3.常见变换公式有：cos2=，sin2=，tantan=tan()(1tantan)等.4.三角函数求值的常见题型有两类：给角求值和给式求值.24特级教师王新敞源头学子课后再做好复习巩固课后再做好复习巩固.谢谢！谢谢！再见！25特级教师王新敞源头学子
