1、3.1 函数的概念及其表示l 考纲要求1理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则2掌握判定函数和函数相等的方法3学会求函数的定义域与函数值4明确函数的三种表示方法5通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用l 知识解读知识点函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.知识点函数的三要素1函数的三要素：定义域、值域、对应关系2如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数知识点区间概念(a，b为实数，且
2、ab)定义名称符号数轴表示闭区间开区间左闭右开区间右闭左开区间其它区间的表示定义R符号知识点函数的表示法表示函数的常用方法有解析式法、图象法和列表法知识点分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数知识点常用结论1直线xa与函数yf(x)的图象至多有1个交点2在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集3分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集l 题型讲解题型一、函数的概念例1下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是()例2
3、(多选)下列各组函数是同一个函数的是()Af(x)x22x1，g(s)s22s1Bf(x)x1，g(x)Cf(x)，g(x)Df(x)，g(x)x例3已知函数yf(x)的对应关系如下表，函数yg(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2)的值为()A3B2C1D0题型二、函数的定义域u 常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)yx0的定义域是x|x0(5)yax(a0且a1)，ysin x，ycos x的定义域均为R.(6)ylogax(a
4、0且a1)的定义域为(0，)(7)ytan x的定义域为.u 求复合函数定义域的方法(1) 若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数f(g(x)的定义域可由不等式ag(x)b求出(2) 若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b上的值域例4函数y的定义域为()Ax|x1Bx|x0Cx|x1或x0Dx|0x1例5若函数f(x)的定义域为0,2，则函数f(x1)的定义域为_例6若函数f(x1)的定义域为0,2”，则函数f(x1)的定义域为_题型三、求函数的解析式u 求函数解析式的3种方法待定系数法当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式换元
5、法如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式解方程组法如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式例7求下列函数的解析式(1)已知fx，求f(x)的解析式(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式(3)已知函数f(x)满足f(x)2f(x)2x，求f(x)的解析式例8已知函数f(x)满足f(x)2fx，则f(x)的解析式为_.例9已知fx4，则f(x)_.题型四、分段函数考点一、分段函数求值问题例10设f(x)则f(f(1)_例11已知f(x)，则f(7)_.考点
6、二、分段函数求参数或自变量的值(范围)例12已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a_.例13已知f(x)，若f(a)5，则实数a的值是_；若f(f(a)5，则实数a的取值范围是_l 达标训练1下列所给图象是函数图象的个数为()A1B2C3 D42若函数f(x)满足f(3x2)9x8，则f(x)的解析式是()Af(x)9x8Bf(x)3x2Cf(x)3x4Df(x)3x2或f(x)3x43 (多选)已知函数f(x)，x(，0)(0，)，则下列等式成立的是()Af(x)f Bf(x)fC Df(x)f(x)4(2022安徽江淮十校联考)设函数f(x)若f8，则a等于()A BC1 D25设
7、函数fx，则f(x)的表达式为()A(x1) B(x1)C(x1) D(x1)6已知函数f(x)满足f(2x)2f(x)，且当1x2时，f(x)x2，则f(3)()A BC D97已知f(x)则ff(x)1的解集是()A(， B4，)C(，14，)D(， 4，)8如图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当P沿ABCM运动时，设点P经过的路程为x，APM的面积为y，则函数yf(x)的图象大致是() 9已知f(x)若f(a)2，则a的取值为()A2 B1或2C1或2 D1或210已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，则f(x)_.11(2020山东济南月考
8、)已知函数f(2x1)的定义域为(0, 1)，则函数f(13x)的定义域是 _.12设函数f(x)则不等式xf(x)x2的解集是_13已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)2f(x1)，且f(x)在区间0,1上有解析式f(x)x2.(1)求f(1)，f(1.5)；(2)写出f(x)在区间2,2上的解析式l 课后提升1(多选)(2022张家界质检)设函数f(x)若f(1)2f(0)，则实数a可以为()A1 B0 C1 D22设xR，定义符号函数sgn x则()A|x|x|sgn x| B|x|xsgn|x|C|x|x|sgn x D|x|xsgn x3已知f(x)满足f(ab)f(a)f(b)
9、，且f(2)p，f(3)q那么f(72)等于()ApqD3p2qC2p3qDp3q24已知函数f(x).(1)求f(2)f，f(3)f的值；(2)由(1)中求得的结果，你发现f(x)与f有什么关系？并证明你的结论；(3)求f(2)ff(3)ff(2 019)f的值3.1 函数的概念及其表示l 考纲要求1理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则2掌握判定函数和函数相等的方法3学会求函数的定义域与函数值4明确函数的三种表示方法5通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用l 知识解读知识点函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集
10、合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x)，xA.知识点函数的三要素1函数的三要素：定义域、值域、对应关系2如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数知识点区间概念(a，b为实数，且ab)定义名称符号数轴表示闭区间开区间左闭右开区间右闭左开区间其它区间的表示定义R符号知识点函数的表示法表示函数的常用方法有解析式法、图象法和列表法知识点分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数知识点常用结论1直线xa与函数yf(x)的图象至多有1个交点2在函数的定义中，非
11、空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集3分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集l 题型讲解题型一、函数的概念例1下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是()【答案】C【解析】根据函数定义，对于任意一个数x，都有唯一确定的数y和它对应，C中有两个y与x对应例2(多选)下列各组函数是同一个函数的是()Af(x)x22x1，g(s)s22s1Bf(x)x1，g(x)Cf(x)，g(x)Df(x)，g(x)x【答案】AC【解析】AC的定义域相同，且对应关系一致，所以是相同函数；BD定义域不同，不是同
12、一个函数例3已知函数yf(x)的对应关系如下表，函数yg(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2)的值为()A3B2C1D0【答案】B【解析】由函数g(x)的图象知，g(2)1，则f(g(2)f(1)2.题型二、函数的定义域u 常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)yx0的定义域是x|x0(5)yax(a0且a1)，ysin x，ycos x的定义域均为R.(6)ylogax(a0且a1)的定义域为(0，)(7)ytan x的定义域为.
13、u 求复合函数定义域的方法(1) 若已知函数f(x)的定义域为a，b，则复合函数f(g(x)的定义域可由不等式ag(x)b求出(2) 若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b上的值域例4函数y的定义域为()Ax|x1Bx|x0Cx|x1或x0Dx|0x1【答案】D【解析】由题意可知解得0x1.例5若函数f(x)的定义域为0,2，则函数f(x1)的定义域为_【答案】1,3【解析】f(x)的定义域为0,2，0x12，即1x3，函数f(x1)的定义域为1,3例6若函数f(x1)的定义域为0,2”，则函数f(x1)的定义域为_【答案】2,4【解析】f(x1)的定义
14、域为0,2，0x2，1x13，1x13，2x4，f(x1)的定义域为2,4题型三、求函数的解析式u 求函数解析式的3种方法待定系数法当函数的特征已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式换元法如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数先换元，然后求出外函数的解析式解方程组法如果给定两个函数的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过方程组求出函数解析式例7求下列函数的解析式(1)已知fx，求f(x)的解析式(2)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，求f(x)的解析式(3)已知函数f(x)满足f(x)2f(x)2x，求f(x)的解析式【答案】(1
15、)f(x)，x1 (2)f(x)x2x，xR (3)f(x)2x，xR【解析】(1)令1t，得x，代入得f(t)，t1，故f(x)的解析式是f(x)，x1(2)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab.所以f(x)x2x，xR.(3)由f(x)2f(x)2x，得f(x)2f(x)2x，2，得3f(x)6x，即f(x)2x.故f(x)的解析式是f(x)2x，xR.例8已知函数f(x)满足f(x)2fx，则f(x)的解析式为_.【答案】f(x
16、)x【解析】由f(x)2fx，得f2f(x)，联立得2得f(x)x4f(x)，则f(x)x例9已知fx4，则f(x)_.【答案】x22，x2，)【解析】f22，f(x)x22，x2，)题型四、分段函数考点一、分段函数求值问题例10设f(x)则f(f(1)_【答案】023【解析】f(1)2，f(f(1)f(2)230，例11已知f(x)，则f(7)_.【答案】6【解析】79，f(7)f(f(74)f(f(11)f(113)f(8)又89，f(8)f(f(12)f(9)936，即f(7)6.考点二、分段函数求参数或自变量的值(范围)例12已知函数f(x)若f(a)f(1)0，则实数a_.【答案】3
17、【解析】当a0时，由f(a)f(1)0得2a20，无实数解；当a0时，由f(a)f(1)0得a120，解得a3，满足条件例13已知f(x)，若f(a)5，则实数a的值是_；若f(f(a)5，则实数a的取值范围是_【答案】1或3，1【解析】当a0时，2a35，解得a1；当a0时，a245，解得a3或a3(舍)综上，a1或3.设tf(a)，由f(t)5得3t1.由3f(a)1，解得a1.l 达标训练1下列所给图象是函数图象的个数为()A1B2C3 D4【答案】B【解析】中当x0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；中当xx0时，y的值有两个，因此不是函数图象；中每一个x的值对应唯一
18、的y值，因此是函数图象2若函数f(x)满足f(3x2)9x8，则f(x)的解析式是()Af(x)9x8Bf(x)3x2Cf(x)3x4Df(x)3x2或f(x)3x4【答案】B【解析】令t3x2，则x，所以f(t)983t2.所以f(x)3x2.3 (多选)已知函数f(x)，x(，0)(0，)，则下列等式成立的是()Af(x)f Bf(x)fC Df(x)f(x)【答案】AD【解析】 因为f(x)，所以f，所以f(x)f；f(x)f(x)，所以f(x)f(x)故A，D正确，B，C错误4(2022安徽江淮十校联考)设函数f(x)若f8，则a等于()A BC1 D2【答案】D【解析】f43，则ff
19、(3)a3，得a38，解得a2.5设函数fx，则f(x)的表达式为()A(x1) B(x1)C(x1) D(x1)【答案】C【解析】令t，则x，f(t)，即f(x)(x1)6已知函数f(x)满足f(2x)2f(x)，且当1x2时，f(x)x2，则f(3)()A BC D9【答案】C【解析】f(2x)2f(x)，且当1x2时，f(x)x2，f(3)2f22.7已知f(x)则ff(x)1的解集是()A(， B4，)C(，14，)D(， 4，)【答案】D【解析】当x0时，f(x)0，ff(x)f1，解得x4，当x0时，f(x)x20，ff(x)f(x2)1，解得x(舍)或x，综上可知：x4或x.8如
20、图，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点，当P沿ABCM运动时，设点P经过的路程为x，APM的面积为y，则函数yf(x)的图象大致是() 【答案】A【解析】由题意可得yf(x)画出函数f(x)的大致图象，故选A.9已知f(x)若f(a)2，则a的取值为()A2 B1或2C1或2 D1或2【答案】B【解析】由已知f(x)，且f(a)2，或解得a2或a1.10已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，则f(x)_.【答案】2x7【解析】设f(x)axb(a0)，则3f(x1)2f(x1)3ax3a3b2ax2a2baxb5a2x17，所以a2，b7，所以f(x)2
21、x7.11(2020山东济南月考)已知函数f(2x1)的定义域为(0, 1)，则函数f(13x)的定义域是 _.【答案】【解析】因为函数f(2x1)的定义域为(0,1)，所以12x11，所以函数f(x)的定义域为(1,1)，由113x1得0x，所以函数f(13x)的定义域是.12设函数f(x)则不等式xf(x)x2的解集是_【答案】2,0)(0,1【解析】当x0时，f(x)x，代入xf(x)x2得x2x20，解得2x0时，f(x)1，代入xf(x)x2，解得0x1.综上有2x0或0x1.13已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)2f(x1)，且f(x)在区间0,1上有解析式f(x)x2.(1
22、)求f(1)，f(1.5)；(2)写出f(x)在区间2,2上的解析式【答案】(1)0 (2)见解析【解析】(1)由题意知f(1)2f(11)2f(0)0，f(1.5)f(10.5)f(0.5).(2)当x0,1时，f(x)x2；当x(1,2时，x1(0,1，f(x)f(x1)(x1)2；当x1,0)时，x10,1)，f(x)2f(x1)2(x1)2；当x2，1)时，x11,0)，f(x)2f(x1)22(x11)24(x2)2.所以f(x)l 课后提升1(多选)(2022张家界质检)设函数f(x)若f(1)2f(0)，则实数a可以为()A1 B0 C1 D2【答案】AB【解析】若a0，则f(0
23、)1，f(1)2，f(1)2f(0)成立；若0a1，则f(0)1，f(1)2，f(1)2f(0)成立；若a1，则f(0)1，f(1)0，f(1)2f(0)不成立综上所述，实数a的取值范围是(，1)2设xR，定义符号函数sgn x则()A|x|x|sgn x| B|x|xsgn|x|C|x|x|sgn x D|x|xsgn x【答案】D【解析】当x0时，|x|x，x|sgn x|x，xsgn|x|x，|x|sgn x(x)(1)x，排除A、B、C3已知f(x)满足f(ab)f(a)f(b)，且f(2)p，f(3)q那么f(72)等于()ApqD3p2qC2p3qDp3q2【答案】B【解析】因为f
24、(ab)f(a)f(b)，所以f(9)f(3)f(3)2q，f(8)f(2)f(2)f(2)3p，所以f(72)f(89)f(8)f(9)3p2q.4已知函数f(x).(1)求f(2)f，f(3)f的值；(2)由(1)中求得的结果，你发现f(x)与f有什么关系？并证明你的结论；(3)求f(2)ff(3)ff(2 019)f的值【答案】(1) 1 (2)f(x)f1 (3)2 018【解析】(1)f(x)，f(2)f1，f(3)f1.(2)由(1)可发现f(x)f1.证明：f(x)f1.(3)由(2)知f(x)f1，f(2)f1，f(3)f1，f(4)f1，f(2 019)f1.f(2)ff(3)ff(2 019)f2 018
