1、北京市北大附中2020届高三数学6月阶段性检测试题（含解析）一、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列岀的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算，先化简复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果.【详解】因为，所以其共轭复数为.故选：A.【点睛】本题主要考查求复数的共轭复数，属于基础题型.2. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】确定集合，由二次函数性质确定集合，然后根据交集定义计算【详解】由题意，故选：B【点睛】本题考查集合的交集运算，解题关键是确定集合中的元素3.
2、设向量，且，则（ ）A. 3B. 2C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】先计算出的坐标表示，然后结合题意向量垂直 计算可得结果【详解】由题意，解得故选：A【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，掌握向量垂直的坐标运算是解题关键4. 的展开式中的系数是（ ）A. B. C. 120D. 210【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合二项展开式的通项公式，可得，则r7，将r7代入通项公式计算可得答案【详解】由二项展开式，知其通项为，令，解得.所以的系数为.故选B.【点睛】本题考查指定项的系数，应该牢记二项展开式的通项公式，属于基础题5. 已知平面，直线，满足，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要
3、条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】利用平面与平面的位置关系判断充分条件和平面平面平行的性质定理判断必要条件.【详解】，若，则或相交，故不充分；若，由面面平行的性质定理得平行或异面 ，故不必要；故选：D【点睛】本题主要考查以直线、平面的位置关系为载体的逻辑条件判断，属于基础题.6. 已知正项数列中，则等于（ ）A. B. 4C. 8D. 16【答案】B【解析】【分析】由可知数列为等差数列，利用等差数列的性质即可得到答案【详解】根据题意可知数列为等差数列，且，所以公差为， 所以因为是正项数列所以故选B.【点睛】本题考查等差中项，以及等差数列的
4、通项公式，属于简单题7. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】根据题中所给的几何体的三视图，可知该几何体为底面是直角梯形的，且一条侧棱与底面垂直，结合三视图中数据，可得，即，故选C8. 若在上是增函数，则的最大值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把函数化为一个角的一个三角函数形式，然后求出增区间，再判断求解【详解】，增区间是，则区间，的最大值为故选：B【点睛】本题考查正弦型函数的单调性，考查两角差的正弦公式，掌握正弦函数的性质是解题关键9. 德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件
5、宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形（另一种是顶角为的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算出，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出的值，即可得出合适的选项.【详解】因为是顶角为的等腰三角形，所以，则，而，所以，.故选：C【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.
6、10. 甲、乙、丙三人尝试在下面的表格中填入第二排的数字，使得第一个数字表明这一排中0的数量，第二个数字表明这一排中1的数量，第三个数字表明这一排中2的数量，依此类推，最后一个数字表明这一排中6的数量.0123456甲说：“第七个数字一定是0”；乙说：“这些数字的和是7，所以第一个数字不能比3大”；丙说：“这七个数字有且只有一种填法”其中，说法正确的是（ ）A. 甲B. 乙C. 甲 乙D. 甲 乙 丙【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用反证法可知，若第七个数字不是0，设第七个数字为，从而推出矛盾，可知甲说法正确；同理可知第五个和第六个数字也如上述原因需填0，所以第四个数字不能填0，从而推出
7、其他数字，得出最后答案，即可判断乙丙的说法，从而得出答案.【详解】解：由题意可知，若第七个数字不是0，设第七个数字为，则就要求第二排要有个6，那就要在其他地方填上6，对应着要有6个该数字，无法满足，所以第七个数字是0，则甲说法正确；第五个和第六个数字也如上述原因需填0，所以第四个数字不能填0，若是0则第一个数至少为4，需要在第二和第三个数字上填4，个数不够，只能填1，若是填2，仍不成立，所以最后答案仅为3211000，所以乙丙的说法正确，所以说法正确的是甲 乙 丙.故选：D.【点睛】本题考查反证法的应用，以及合情推理和演绎推理的应用，考查学生逻辑推理能力，属于基础题.二、填空题共5题，每题5分
8、，共25分.11. 双曲线的渐近线方程为_，焦距为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据双曲线的方程，可直接得出渐近线方程，以及焦距.【详解】令得，即双曲线的渐近线方程为；焦距为.故答案为：；.【点睛】本题主要考查求双曲线的渐近线方程，以及双曲线的焦距，属于基础题型.12. 设为等比数列的前项和，若，且，成等差数列，则 .【答案】.【解析】试题分析：，成等差数列，又等比数列，.考点：等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比数列基本量的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.13. 不恒为常数的函数的
9、定义域为，且为奇函数，为偶函数，写出一个满足条件的的解析式_.【答案】【解析】【分析】考虑到正弦函数是奇函数，把它向左平移个单位即变为偶函数，把转化为1即可得【详解】是奇函数，把它向左平移个单位即变为偶函数，即为满足题意的一个函数故答案为：【点睛】本题考查函数的奇偶性，函数的图象变换，掌握函数的基本性质是解题基础，解题的一种思路：为奇函数，为偶函数，实质就是有对称轴，又原点为对称中心，可得函数是周期函数，这样联想三角函数可作为模型进行变换即可得14. 已知函数，若，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】讨论与的取值范围，代入解析式，解不等式即可求解.【详解】由当，即时，则，解得，此时无解，
10、当，即时，则，解得或，此时无解，当，即时，则，解得或，此时.综上所述，的取值范围是.故答案为：【点睛】本题考查了分段函数，考查了分类讨论的思想，属于基础题.15. 已知曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于3的动点的轨迹，则曲线的一条对称轴方程是_，的最小值是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】设，由题意可得，分，三种情况讨论，求出轨迹方程，即可得出对称轴以及的最小值.【详解】设，由题意可得，即，当，即或时，无解；当时，则，此时曲线的一条对称轴方程是；即此时的最小值是；当时，则，此时曲线的一条对称轴方程是；即此时的最小值是；综上，的最小值是.故答案为：；.【点睛】本题主要考查求
11、抛物线的轨迹方程，考查抛物线的对称性，以及求抛物线上的点到定点的距离问题，属于常考题型.三、解答题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面平面，且，为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，得，再由面面垂直得线面垂直得，从而可证结论线面垂直；（2）以为轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求线面角【详解】（1），平面，平面，又平面，平面平面，面平面，平面，平面，而平面，又，平面，平面（2）以为轴建立空间直角坐标系，由（1），则，设平面一个法
12、向量是，则，取，则，即，设直线与平面所成角为，则【点睛】本题考查证明线面垂直，考查用向量法求直线与平面所成的角掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互关系证明空间垂直的关键求空间角的常用方法是空间向量法，关键是建立空间直角坐标系17. 在中，_，求边上的高.从，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】答案见详解.【解析】【分析】选择，利用正弦定理求出，再利用余弦定理即可求解；选择：利用余弦定理求出即可求解；选择：利用三角形的面积公式可得，再利用余弦定理即可求解.【详解】选择：在中，由正弦定理，得，所以，由余弦定理，得，解得，边上的高.选择：在中，由，得，由余弦定理，得，化简，解得
13、，边上的高.选择：在中，由，得，所以，由余弦定理，得，解得，所以或，边上的高.点睛】本题考查了余弦定理、正弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题.18. 某学校对甲、乙、丙、丁四支足球队进行了一次选拔赛，积分前两名的球队将代表学校参加上级比赛.选拔赛采用单循环制（每两个队比赛一场），胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分.经过三场比赛后，积分状况如下表所示：甲乙丙丁积分名次甲7乙1丙0丁0根据以往的比赛情况统计，乙队与丙队比赛，乙队胜或平的概率均为，乙队与丁队比赛，乙队胜、平、负的概率均为，且四个队之间比赛结果相互独立.（1）求选拔赛结束后，乙队与甲队并列第1名概率；（2）设随机
14、变量为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量的分布列与数学期望；（3）在目前的积分情况下，不论后面的比赛中丙队与丁队相互比赛的结果如何，乙队一定能代表学校参加上级比赛的概率是多少？说明理由.【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3），理由见解析.【解析】【分析】（1）由题意得乙队的积分为7分，即乙队胜丙队和丁对，由相互独立事件同时发生的概率公式可得结果；（2）随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，5，7，计算其对应的概率可得分布列和期望；（3）分为当乙队积7分时，当乙队积5分时，当乙队积分小于5分时三种情形分析即可得结果.【详解】（1）设乙队胜、平、负丙队分别为事件，乙队胜、平、负丁队分别为事
15、件，则，设事件C为“选拔赛结束后，乙队与丙队并列第一名”由目前比赛积分榜可知，甲队一定是第一名，所以“乙队与甲队并列第一名”，即乙队的积分为7分，即乙队胜丙队和丁对，所以，（2）随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，5，7；随机变量的分布列为：123457所以.（3）乙队一定能代表学校参加上级比赛的概率是，理由如下：当乙队积7分时，乙队与丙队并列第1名，满足题意；当乙队积5分时，丙队或丁对的可能积分为4，3，2，1，0，乙队一定为第2名，满足题意；当乙队积分小于5分时，丙队或丁对均有可能积分6分，不合题意，所以，当乙队的积分为5分或7分时，一定能代表学校参加上级比赛，其概率为：.【点睛】本题
16、主要考查了相互独立事件同时发生的概率，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，属于中档题.19. 已知椭圆经过点，.（1）求椭圆的方程及其离心率；（2）若为椭圆上第一象限的点，直线交轴于点，直线交轴于点.求证：四边形的面积为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意有，即得椭圆方程；（2）设，写出直线方程，求出点坐标，求出四边形的面积，利用点在椭圆上代入后可得定值【详解】（1）由题意，椭圆标准方程为；（2）设，直线方程为，令得，即，直线方程为，令得，即，为定值【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查椭圆中的面积与定值问题，定值问题的解题思路是，引入参数（本题中引入点的坐标，
17、然后把要证定值的量用参数表示后，根据参数满足的条件化简变形，证得其为常数（与参数无关）20. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若对恒成立，求的取值范围；（3）当时，关于的方程有个不同实数根，写出的值.（结论不要求证明）【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）求得函数的定义域，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调区间；（2）由题意可得出，利用（1）中的结论可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围；（3）利用导数分析函数的单调性与极值，令，由题意可知，方程的两根、满足，由此可求得的值.【详解】（1）当时，函数的定义域为，且.当时，对任意
18、的，此时函数在上单调递减；当时，由可得；由可得.此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.综上所述，当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）当时，则，所以，不等式在区间上不恒成立，不合乎题意；当时，由（1）可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则，即，即，解得.综上所述，实数的取值范围是；（3）当时，由（1）可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，又，当时，当时，对于方程，令，作出函数的图象如下图所示：由于关于的方程有个不同的实数根，所以，关于的二次方程必有两根、，由题意可知，所以，可得.【点睛】本题考查利用导数求解含参函数的单调区间、以及函数
19、不等式恒成立，同时也考查了利用导数求解复合函数的零点问题，考查计数能力，属于难题.21. 已知为行列的数表，称第行列的数为数表的一个元素.现给定中所有元素，定义中第行最大的数与第二大的数（这两数可以相等）的比值为，第列的最大数与第二大的数（两数也可以相等）的比值为，记，由生成，同样的方法，由生成，生成，为了方便，我们可以把中的，记为，.123654 表1111 表2（1）若如表1所示，直接写出；（2）证明：中一定有一行或者一列为1；（3）若如表2所示，且，证明：存在，中所有元素都为1.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由定义直接写出；（2），由于
20、数表的行行交换，列列交换，行列互换（行换成列，列换成行）不影响生成下一个数表，因此可以在中让为所有第一行的和第一列的中的最小值，这样中第一行全为1，中第一行也全为1；（3）首先证明中第一行全为1，第二行都是不减的，接着考虑第2行最后两个数，中最大的数就是第2行最后两数，设其分别为，先研究，若，则，即中最大两数相等，则中第二行全为1，若，则，即第二大数不变，最大数缩小，这样总会有，然后中所有元素全为1【详解】（1）如下：（2）证明：由定义，行行交换，列列交换，行列互换（行换成列，列换成行）不影响结果因此在中，不妨设，中，即中第一行元素全为，中，因此对应的，所以中，即第一行所有元素全为1；（3）由
21、定义知中第一行均为1，在中第2行任取相邻的两数，因为，所以，因此中，第2行也是不减的顺序，同理中，第2行都是不减的顺序因此中最大的数就是第2行最后两数，设其分别为，先考虑中的最后两个数，设为，若，则，即中最大两数相等，则中第二行全为1，若，则，即第二大数不变，最大数缩小，存在正整数满足，则在数表中，最大两数为，在数表中，因此中，第二行所有数相等，中全为1由上面两种情况，存在，中所有元素都为1【点睛】本题考查新定义问题，解题关键是理解数表的生成规则，特别是对规则的理解，如可以进行行行、列列交换，行列置换后结果不变，从而可以调整数表使得最左上角的数最小，然后对数表分析生成新数表时，数的变化，最大的数逐渐减小，这样最后可变为相同，从而都变为1旨在考查学生的创新意识，逻辑推理能力
