1、2.2 基本不等式l 考纲要求1了解基本不等式的推导过程2会用基本不等式解决简单的最值问题3理解基本不等式在实际问题中的应用4掌握公式，凑项，凑系数，分离，常数代换，换元，平方等方法求解最值l 知识解读知识点基本不等式1基本不等式：2基本不等式成立的条件：a0，b0.3等号成立的条件：当且仅当ab时，等号成立4其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数知识点几个重要的不等式1a2b22ab(a，bR)22(a，b同号)3ab(a，bR)4 (a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.知识点利用基本不等式求最值1已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最
2、小值2.2已知x，y都是正数，如果和xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值S2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方l 题型讲解题型一、基本不等式的理解例1下列不等式中，正确的是()Aa4Ba2b24abCDx22例2若ab0，则下列不等式成立的是()AabBabCa
3、bDab题型二、基本不等式求最值方法1直接运用例3已知x0，则x2有()A最大值为0B最小值为0C最大值为4D最小值为4例4已知，且，则的最大值为（ ）A BC D例5已知，且，则的最小值为（ ）A BC D方法2配凑法例6若x，则y3x1有()A最大值0 B最小值9C最大值3 D最小值3例7(2022长沙模拟)设0x1)的最小值为_例10若a，bR，ab0，则的最小值为_.方法4常数代换（1代换）例11若x0，y0，且1，则xy有()A最大值64B最小值 C最小值 D最小值64例12(2022重庆模拟)已知a0，b0，且ab2，则的最小值是()A1 B2C D方法5消元法例13(2022烟台
4、模拟)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_例14若实数满足，则的最小值为_例15(2022襄阳模拟)若实数x1，y且x2y3，则的最小值为_方法6平方例16已知为正实数，求的最大值方法7构建目标不等式例17已知正实数满足，则的最小值是_例18已知正实数满足，则的最小值为_题型三、基本不等式的实际应用例19某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定矩
5、形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是_ cm2.例20网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x3.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是_万元l 达标训练1已知0a1，则下列不等式中成立的是()AabBC2Dab1)，
6、则y的最小值为_4已知函数y(x0，y0，且2x8yxy0，则当xy取得最小值时，y等于()A16 B6 C18 D126已知非负数满足，则的最小值是（ ）A3 B4C10 D167(2020山东枣庄检测)已知正数x，y，满足xy1，则M的最小值为_.8设a，b，c都是正数，试证明不等式：6.9某厂家拟在2019年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m0)(单位：万元)满足x3(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销
7、售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)(1)将2019年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；(2)该厂家2019年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？l 课后提升1已知正数满足，则的最大值是（ ）A BC1 D2（多选题）设，且，那么（ ）A有最小值B有最大值C有最大值D有最小值3已知，则的最小值为（ ）ABCD4若a，b，c都是正数，且abc2，则的最小值是_.5已知x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_.6(2022重庆沙坪坝区模拟)若x0，y0且xyxy，则的最小值为_7设ab0，则a2的最小
8、值是_8设a，bR，a2b22，求的最小值2.2 基本不等式l 考纲要求1了解基本不等式的推导过程2会用基本不等式解决简单的最值问题3理解基本不等式在实际问题中的应用4掌握公式，凑项，凑系数，分离，常数代换，换元，平方等方法求解最值l 知识解读知识点基本不等式1基本不等式：2基本不等式成立的条件：a0，b0.3等号成立的条件：当且仅当ab时，等号成立4其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数知识点几个重要的不等式1a2b22ab(a，bR)22(a，b同号)3ab(a，bR)4 (a，bR)以上不等式等号成立的条件均为ab.知识点利用基本不等式求最值1已知x，y都是正数，如果
9、积xy等于定值P，那么当xy时，和xy有最小值2.2已知x，y都是正数，如果和xy等于定值S，那么当xy时，积xy有最大值S2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方l 题型讲解题型一、基本不等式的理解例1下列不等式中，正确的是()Aa4Ba2b24abCDx22【答案】D【
10、解析】a0，则a4不成立，故A错；a1，b1，a2b24ab，故B错，a4，b16，则，故C错；由基本不等式可知D项正确例2若ab0，则下列不等式成立的是()AabBabCabDab【答案】B【解析】ab，因此B项正确题型二、基本不等式求最值方法1直接运用例3已知x0，则x2有()A最大值为0B最小值为0C最大值为4D最小值为4【答案】C【解析】x0，x22224，当且仅当x，即x1时取等号例4已知，且，则的最大值为（ ）A BC D【答案】A【解析】由基本不等式知；（当且仅当时取等号），的最大值为.例5已知，且，则的最小值为（ ）A BC D【答案】B【解析】因为，且，所以，所以，所以，即当
11、且仅当即，时等号成立，故的最小值方法2配凑法例6若x，则y3x1有()A最大值0 B最小值9C最大值3 D最小值3【答案】C【解析】x，3x20，y3x23333.当且仅当23x，即x时取“”例7(2022长沙模拟)设0x1)的最小值为_【答案】9【解析】因为x1，则x10，所以y(x1)5259，当且仅当x1，即x1时等号成立，所以函数的最小值为9.例10若a，bR，ab0，则的最小值为_.【答案】4【解析】因为ab0，所以4ab24，当且仅当即a2，b2时取等号，故的最小值是4.方法4常数代换（1代换）例11若x0，y0，且1，则xy有()A最大值64B最小值 C最小值 D最小值64【答案
12、】D【解析】由题意xyxy2y8x28，8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x4，y16.例12(2022重庆模拟)已知a0，b0，且ab2，则的最小值是()A1 B2C D【答案】C【解析】因为a0，b0，且ab2，所以1，所以(ab)，当且仅当a，b时，等号成立方法5消元法例13(2022烟台模拟)已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_【答案】6【解析】方法一(换元消元法)由已知得9(x3y)x3y，当且仅当x3y，即x3，y1时取等号即(x3y)212(x3y)1080，令x3yt，则t0且t212t1080，得t6，即x3y的最小值为6.方法二(代入消元法)由x3yxy
13、9，得x，所以x3y3y3(1y)6261266，当且仅当3(1y)，即y1，x3时取等号，所以x3y的最小值为6.例14若实数满足，则的最小值为_【答案】8【解析】实数满足，解得.则，当且仅当时，等号成立例15(2022襄阳模拟)若实数x1，y且x2y3，则的最小值为_【答案】4【解析】令x1m,2y1n，则m0，n0且mnx12y11，(mn)2224，当且仅当，即mn时取“”的最小值为4.方法6平方例16已知为正实数，求的最大值【答案】【解析】x，y为正实数，3x2y10，W23x2y210(3x2y)20，当且仅当3x2y，3x2y10，即x，y时，等号成立W2，即W的最大值为2.方法
14、7构建目标不等式例17已知正实数满足，则的最小值是_【答案】【解析】由已知得，则，因为，所以，因此，当且仅当，即，即时，等号成立；所以的最小值是.例18已知正实数满足，则的最小值为_【答案】2【解析】正实数x，y满足，当且仅当等号成立，故的最小值为2.题型三、基本不等式的实际应用例19某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海
15、报面积最小，其最小值是_ cm2.【答案】72 600【解析】设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，由题意可得3ab60 000，所以ab20 000，即b，所以该海报的高为(a20)cm，宽为(3b10252)cm，即(3b30)cm，所以整个矩形海报面积S(a20)(3b30)3ab30a60b60030(a2b)60 6003060 60030260 6003040060 60072 600，当且仅当a，即a200时等号成立，所以当广告栏目的高为200 cm，宽为100 cm时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是72 600 cm2.例20网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段
16、时期内，成为商业的一个主要发展方向某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x3.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是_万元【答案】37.5【解析】由题意知t1(1x3)，设该公司的月利润为y万元，则yx32x3t16x316x345.545.5237.5，当且仅当x时取等号，即最大月利润为37.5万元l 达标训练1
17、已知0a1，则下列不等式中成立的是()AabBC2Dab【答案】D【解析】对于选项A，因为0a1，所以(ab)2a22abb24ab，故选项A错误；对于选项B，故选项B错误；对于选项C，2，故选项C错误；对于选项D,2a22b2a22abb2(ab)2，所以ab，1)，则y的最小值为_【答案】【解析】2x1，x0，yxx22，当且仅当x，即x时取“”y的最小值为.4已知函数y(x1)，则()Af(x)有最小值4Bf(x)有最小值4Cf(x)有最大值4Df(x)有最大值4【答案】A【解析】y(x1)2.因为x1，所以x10，所以y224，当且仅当(x1)，即x2时，等号成立故f(x)有最小值4.
18、5已知x0，y0，且2x8yxy0，则当xy取得最小值时，y等于()A16 B6 C18 D12【答案】B【解析】因为x0，y0,2x8yxy，所以1，所以xy(xy)10102102418，当且仅当即时取等号，所以当xy取得最小值时，y6.6已知非负数满足，则的最小值是（ ）A3 B4C10 D16【答案】B【解析】由，可得，当且仅当取等号7(2020山东枣庄检测)已知正数x，y，满足xy1，则M的最小值为_.【答案】22【解析】由正数x，y满足xy1，可得0x，则M1111122.当且仅当y，x时，取得最小值22.8设a，b，c都是正数，试证明不等式：6.【答案】见解析【解析】证明：因为a
19、0，b0，c0，所以2，2，2，所以，当且仅当，即abc时，等号成立所以6.9某厂家拟在2019年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m0)(单位：万元)满足x3(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件已知2019年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)(1)将2019年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；(2)该厂家2019年的促销费用为多少万元时，厂家
20、的利润最大？【答案】y29(m0)【解析】(1)由题意，可知当m0时，x1，13k，解得k2，x3，又每件产品的销售价格为1.5元，yx(816xm)48xm48m29(m0)(2)m0，(m1)28，当且仅当m1，即m3时等号成立，y82921，ymax21.故该厂家2019年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元l 课后提升1已知正数满足，则的最大值是（ ）A BC1 D【答案】B【详解】，因为，所以，因此，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），所以.2（多选题）设，且，那么（ ）A有最小值B有最大值C有最大值D有最小值【答案】AD【解析】解：由题已知得：,故有,
21、解得或（舍）,即（当且仅当时取等号）,A正确;因为,所以,又因为,有最小值,D正确.3已知，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】已知，则，当且仅当 时，即当，且，等号成立，故的最小值为，4若a，b，c都是正数，且abc2，则的最小值是_.【答案】3【解析】a，b，c都是正数，且abc2，abc13，且a10，bc0. (a1bc)(54)3. 当且仅当a12(bc)，即a1，bc1时，等号成立5已知x，y为实数，若4x2y2xy1，则2xy的最大值是_.【答案】【解析】 因为4x2y2xy1，所以(2xy)23xy1，即(2xy)22xy1，所以(2xy)221，解得(2xy)2，即2xy6(2022重庆沙坪坝区模拟)若x0，y0且xyxy，则的最小值为_【答案】32【解析】因为x0，y0且xyxy，则xyxyy，即有x1，同理y1，由xyxy得，(x1)(y1)1，于是得1233232，当且仅当，即x1，y1时取“”，所以的最小值为32.7设ab0，则a2的最小值是_【答案】4【解析】ab0，ab0，a(ab)0，a2a2ababa2ababa(ab)ab224，当且仅当即a，b时等号成立a2的最小值是4.8设a，bR，a2b22，求的最小值【答案】【解析】由题意知a2b22，a21b214，(a21b21)，当且仅当，即a2，b2时等号成立，的最小值为
