1、课时训练数列求和1.已知在等比数列an中,a1=2,且a1,a2,a3-2成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足:bn=1an+2log2an-1,求数列bn的前n项和Sn.2.已知数列an的前n项和为Sn,且满足2Sn+an-n=0.(1)求证:数列an-12为等比数列;(2)求数列an-n的前n项和Tn.3.(2021四川成都石室中学高三月考)在数列an中,a1=3,且对任意nN*,都有an+an+22=an+1.(1)设bn=an+1-an,判断数列bn是否为等差数列或等比数列;(2)若a2=5,cn=an,n为奇数,2an-1,n为偶数,求数列cn的前2n项的和S
2、2n.4.(2021云南昆明“三诊一模”检测)已知等差数列an的前n项和为Sn,a3n=3an-2,且S5-S3=4a2.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列1Sn的前n项和为Tn,证明:Tn34.5.(2021山东淄博一模)将n2(nN*)个正数排成n行n列:a11a12a13a14a1na21a22a23a24a2na31a32a33a34a3na41a42a43a44a4nan1an2an3an4ann其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且各列的公比都相等,若a11=1,a13a23a33=1,a32+a33+a34=32.(1)求a1n;(2)设Sn=a11+a22+
3、a33+ann,求Sn.6.(2021四川绵阳中学高三月考)已知等差数列an的各项均为正数,其前n项和为Sn,Sn2=a13+a23+an3.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn=(-1)n4n(2an-1)(2an+1),数列bn的前n项和为Tn,求T2n.7.(2020新高考,18)已知公比大于1的等比数列an满足a2+a4=20,a3=8.(1)求an的通项公式;(2)记bm为an在区间(0,m(mN*)中的项的个数,求数列bm的前100项和S100.8.(2021河北秦皇岛模拟)已知数列an满足2an+1=an+1,a1=54,bn=an-1.(1)求证:数列bn是等比数列;(2)
4、求数列的前n项和Tn.从条件n+1bn,n+bn,4log2bnlog2bn+1中任选一个,补充到上面的问题中,并给出解答.9.(2021山东滨州一模)已知等差数列an和等比数列bn满足a1=2,b2=4,an=2log2bn.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设数列an中不在数列bn中的项按从小到大的顺序构成数列cn,记数列cn的前n项和为Sn,求S100.10.(2021广东汕头三模)已知数列an的前n项和为Sn,数列Snn是首项为12,公差为14的等差数列,若x表示不超过x的最大整数,如0.5=0,lg 499=2.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=lgan,求数列bn的前
5、2 021项的和.11.(2021四川成都七中高三月考)设等差数列an的前n项和为Sn,已知a2=3,且S5=4a3+5.(1)求an的通项公式;(2)若1a1a2+1a2a3+1anan+11),a1=1,数列bn满足bn+1-bn=an+1-,b1=1-1.(1)求数列bn的通项公式;(2)规定:x表示不超过x的最大整数,如-1.2=-2,2.1=2.若=2,cn=1bn+2n-2,记Tn=c1+c2+c3+cn(n2),求Tn2-2Tn+2Tn-1的值,并指出相应n的取值范围.答案：1.解:(1)设等比数列an的公比为q,a1,a2,a3-2成等差数列,2a2=a1+(a3-2)=2+(
6、a3-2)=a3,q=a3a2=2,an=a1qn-1=2n.(2)由(1)及bn=1an+2log2an-1,可知bn=12n+2log22n-1=12n+2n-1,Sn=12+1+122+3+123+5+12n+(2n-1)=12+122+123+12n+1+3+5+(2n-1)=121-12n1-12+n1+(2n-1)2=n2-12n+1.2.(1)证明当n=1时,2S1+a1-1=0,解得a1=13.因为2Sn+an-n=0(nN*),当n2时,2Sn-1+an-1-(n-1)=0,-,得3an=an-1+1,即an=13an-1+13,当n2时,an-12an-1-12=13an-
7、1+13-12an-1-12=13,又a1-12=-16,所以an-12是以-16为首项,以13为公比的等比数列.(2)解:由(1)可得an=-1213n+12,所以an-n=-1213n-n+12,所以数列an-n的前n项和Tn=-12131-13n1-13(n+1)n2+n2,化简得Tn=1413n-1-n22.3.解:(1)由an+an+22=an+1,得an+an+2=2an+1,an+2-an+1=an+1-an,所以数列an是等差数列.当an的公差为零时,bn+1=bn=0,数列bn是等差数列,不是等比数列;当an的公差不为零时,bn+1=bn0,数列bn既是等差数列也是等比数列.
8、(2)若a2=5,由(1)知an+1-an=a2-a1=2,所以数列an是等差数列,且首项为3,公差为2,所以an=3+2(n-1)=2n+1.则cn=2n+1,n为奇数,4n,n为偶数.S2n=S奇+S偶=3+7+11+(4n-1)+(42+44+42n)=(3+4n-1)n2+16(1-16n)1-16=2n2+n+16(16n-1)15.4.(1)解:设数列an的公差为d,在a3n=3an-2中,令n=1,得a3=3a1-2,即a1+2d=3a1-2,故a1=d+1.由S5-S3=4a2得a4+a5=4a2,所以2a1=3d.由解得a1=3,d=2.所以数列an的通项公式为an=2n+1
9、.(2)证明由(1)可得Sn=n(a1+an)2=n(3+2n+1)2=n2+2n,所以1Sn=1n2+2n=121n1n+2,故Tn=121-13+1214+1315+1n1n+2,所以Tn=121+121n+11n+2=342n+32(n+1)(n+2).因为2n+32(n+1)(n+2)0,所以Tn0,所以解得a2=2,故数列an的公差为a2-a1=1,所以an=1+n-1=n.(2)由(1)可得bn=(-1)n4n(2an-1)(2an+1)=(-1)n4n(2n-1)(2n+1)=(-1)n12n-1+12n+1,所以T2n=-1+13+13+15-15+17+14n-1+14n+1
10、=-1+14n+1=-4n4n+1.7.解:(1)设an的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q=12(舍去),q=2.因为a1q2=8,所以a1=2.所以an的通项公式为an=2n.(2)由题设及(1)知b1=0,且当2nm2n+1时,bm=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+(b32+b33+b63)+(b64+b65+b100)=0+12+222+323+424+525+6(100-63)=480.8.(1)证明因为2an+1=an+1,所以2an+1-2=an-1.因为bn=an-1,所以2bn+1=bn,bn+1=12bn.因为
11、b1=a1-1=14,所以数列bn是以14为首项,12为公比的等比数列,bn=12n+1.(2)解:选:因为bn=12n+1,所以n+1bn=(n+1)2n+1,则Tn=222+323+(n+1)2n+1,2Tn=223+324+(n+1)2n+2,Tn=2Tn-Tn=-222-23-24-2n+1+(n+1)2n+2=(n+1)2n+2-23(1-2n-1)1-2-222=(n+1)2n+2+8-2n+2-8=n2n+2,故Tn=n2n+2.选:因为bn=12n+1,所以n+bn=n+12n+1,则Tn=1+14+2+18+3+116+n+12n+1=(1+2+3+n)+14+18+116+
12、12n+1=12n(n+1)+14(1-12n)1-12=n22+n2+1212n+1,故Tn=n22+n2+1212n+1.选:因为bn=12n+1,所以4log2bnlog2bn+1=41n+11n+2,则Tn=41213+1314+1n1n+1+1n+11n+2=4121n+2=2nn+2,故Tn=2nn+2.答案：9.解(1)设等差数列an的公差为d,因为b2=4,所以a2=2log2b2=4,所以d=a2-a1=2.所以an=2+(n-1)2=2n.又an=2log2bn,即2n=2log2bn,所以n=log2bn,所以bn=2n.(2)由(1)得bn=2n=22n-1=a2n-1
13、,即bn是数列an中的第2n-1项.设数列an的前n项和为Pn,数列bn的前n项和为Qn,因为b7=a26=a64,b8=a27=a128,所以数列cn的前100项是由数列an的前107项去掉数列bn的前7项后构成的,所以S100=P107-Q7=107(2+214)22-281-2=11302.10.解(1)数列Snn是首项为12,公差为14的等差数列,所以Snn=12+(n-1)14=n+14,得Sn=n2+n4,当n=1时,a1=S1=12,当n2时,an=Sn-Sn-1=n2+n4(n-1)2+n-14=n2,又a1=12也适合上式,所以an=n2.(2)由(1)得bn=lgan=lg
14、n2,当n=1时,-1lga10;当n=2,3,4,19时,0lgan1;当n=20,21,22,199时,1lgan2;当n=200,201,202,1999时,2lgan3;当n=2000,2001,2021时,3lgan4.故数列bn的前2021项和为lga1+lga2+lga3+lga2021=-1+018+1180+21800+322=3845.11.解(1)(方法1)设数列an的公差为d,则a2=a1+d=3,5a1+10d=4(a1+2d)+5,解得a1=1,d=2.故an的通项公式为an=2n-1.(方法2)S5=5(a1+a5)2=5a3,又S5=4a3+5,则a3=5.公差
15、为a3-a2=2,故an的通项公式为an=a2+(n-2)2=2n-1.(2)由(1)得1anan+1=1(2n-1)(2n+1)=1212n-112n+1,k=1n1akak+1=121-13+1315+12n-112n+1=121-12n+112,由题设不等式恒成立,有1m-112,解得11),则bn+1-bn=n-(1),当n2时,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=(n-1-)+(n-2-)+(1-)+1-1=(n-1+n-2+1)-(n-1)+1-1=n-1-n+-1,又b1=1-1符合上式,因此bn=n-1-n+-1.(2)由(1)知,当=2时,
16、bn=2n-2n+1,则cn=1bn+2n-2=12n-10.当n=2时,T2=c1+c2=43,此时Tn2-2Tn+2Tn-1=103=3;当n=3时,T3=c1+c2+c3=3121,此时Tn2-2Tn+2Tn-1=1021+110+2=2.当n3时,TnT3,因为cn=12n-132n+1(n2),所以Tn1+3123+124+12n+1=1+3181-(12)n-11-12=1+341-12n-174,因此T3Tn74,即Tn3121,74,令x=Tn-1,则x1021,34,Tn2-2Tn+2Tn-1=Tn-1+1Tn-1=x+1x,利用对勾函数的单调性,得x+1x2512,A其中A=1021+110+2,从而Tn2-2Tn+2Tn-1=2.综上,当n=2时,Tn2-2Tn+2Tn-1=3;当n3时,Tn2-2Tn+2Tn-1=2.
