1、第二章2.42.4.2第1课时一、选择题1(2015河南洛阳市高二期末测试)过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1x210，则弦AB的长度为()A16B14C12D10答案C解析设抛物线的焦点为F，则|AB|AF|BF|x11x21x1x2210212.2抛物线x28y的通径为线段AB，则AB长是()A2B4C8D1答案C解析抛物线x28y，通径为|8|8，选C.3(2015阜新高二检测)已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，点P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18B24C36D48答案C解析设
2、抛物线方程y22px(p0)|AB|即通径为2p12，p6，点P到AB的距离为P6，SABP12636.4已知过抛物线y26x焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是()A.或B或C.或D答案B解析解法一：抛物线y26x，2p6，即焦点坐标F(，0)设所求直线方程为yk(x)与抛物线y26x消去y，得k2x2(3k26)xk20设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)x1x2直线过抛物线y26x焦点，弦长为12.x1x2312，x1x29即9，解得k21ktan1，0，)或解法二：弦长|AB|(为直线AB倾斜角)12，sin2sin，0，)，或.5(2015安庆高二检测)设抛物线y
3、22x与过焦点的直线交于A、B两点，则的值是()A.BC3D3答案B解析抛物线y22x焦点(，0)当直线AB斜率不存在时，可得A(，1)，B(，1)(，1)(，1)1，选B.6设抛物线的顶点在原点，其焦点F在y轴上，又抛物线上的点P(k，2)与点F的距离为4，则k等于()A4B4或4C2D2或2答案B解析由题设条件可设抛物线方程为x22py(p0)，又点P在抛物线上，则k24p，|PF|424，即p4，k4.二、填空题7一个正三角形的两个顶点在抛物线y2ax上，另一个顶点是坐标原点，如果这个三角形的面积为36，则a_.答案2解析设正三角形边长为x.36x2sin60，x12.当a0时，将(6，
4、6)代入y2ax得a2，当a6，能安全通过10(2016山西大同高二检测)已知抛物线y28x，(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|OB|，若焦点F是OAB的重心，求OAB的周长解析(1)抛物线y28x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x2，x轴，x0.(2)如图所示由|OA|OB|可知ABx轴，垂足为点M，又焦点F是OAB的重心，则|OF|OM|.因为F(2,0)，所以|OM|OF|3，所以M(3,0)，故设A(3，m)代入y28x得m224，所以m2或m2，所以A(3,
5、2)，B(3，2)，所以|OA|OB|，所以OAB的周长为24.一、选择题1一个动圆圆心在y28x上，且动圆恒与直线x20相切，则此动圆必过定点()A(4,0)B(2,0)C(0,2)D(0，2)答案B解析由题意得，抛物线的焦点坐标为F(2,0)，准线方程为x2，因为动圆与x2相切，圆心在抛物线上，所以圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，即动圆必过抛物线的焦点F(2,0)2抛物线y4x2上的某点到直线y4x5的距离最短，则该点的坐标是()A(0,0)B(1,4)C(，1)D以上都不对答案C解析设直线y4xb与抛物线y4x2相切，由，得4x24xb0，1616b0，b1.方程4x24x10的两
6、根为x1x2.将x代入y4x2得y1，故选C.3已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线的斜率为，且右焦点与抛物线y24x的焦点重合，则该双曲线的离心率等于()A.BC2D2答案B解析抛物线y24x的焦点(，0)为双曲线的右焦点，c，又，结合a2b2c2，得e，故选B.4过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若点A、B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则A1FB1为()A45B60C90D120答案C解析设抛物线方为y22px(p0)如图，|AF|AA1|，|BF|BB1|，AA1FAFA1，BFB1FB1B.又AA1OxB1B，A1FOFA1A，B1FOFB1B，A1FB1AFB9
7、0.二、填空题5(2016浙江嘉兴高二检测)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p_.答案2解析由题意知直线l的方程是x，代入抛物线方程得yp，即直线l被抛物线所截得的弦长是2p，故p2.6(2016安徽合肥高二检测)设A、B是抛物线x24y上两点，O为原点，若|OA|OB|，且AOB的面积为16，则AOB_.答案90解析设A(x，y)，由题意可知，解得x0y04BOA90.三、解答题7(2016山东荷泽高二检测)已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(1)若直线l
8、的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离.解析(1)因为抛物线方程为y26x，所以准线方程为x，F(，0)，又因为直线l的倾斜角为60，所以直线l的斜率为ktan60，所以焦点l的方程为y(x)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，消去y得x25x0，则x1x25，而|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，所以|AB|538.(2)由抛物线的定义，知|AB|AF|BF|x1x239，所以x1x26，于是线段AB的中点M的横坐标是3.又准线方程是x，所以中点M到准线的距离为3.8定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y2x上移动，求AB中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标.解析如图，设F是抛物线y2x的焦点，A、B两点到准线的垂线分别是AC、BD，M点到准线的垂线为MN，N为垂足，则|MN|(|AC|BD|)，根据抛物线定义得|AC|AF|，|BD|BF|，|MN|(|AF|BF|).设M点的横坐标为x，则|MN|x，x|MN|，等号成立的条件是弦AB过点F，由于|AB|2p1，AB过焦点是可能的，此时M点到y轴的最短距离是，即AB的中点横坐标为.当F在AB上时，设A、B的纵坐标分别为y1、 y2，则y1y2p2，从而(y1y1)2yy2y1y222，y1y2，M点的坐标为(，)时，M到y轴距离的最小值为.
