1、高 考 总 复 习 优 化 设 计 GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI 第五节 三角函数的图像与性质 第五章 2023内容索引0102强基础 增分策略 增素能 精准突破 课标解读 衍生考点 核心素养 1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图像.2.了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性.3.借助图像理解正弦函数、余弦函数在0,2,正切函数在(-)上的性质(如单调性、最大和最小值、图像与x轴的交点等).1.三角函数的定义域与值域 2.三角函数的性质 数学抽象 逻辑推理 直观想象 数学运算 2,2 强基础 增分策略 1.五点法作正弦函数、余弦函数的
2、图像 知识梳理 五个关键点的横坐标是相应函数的零点和极值点(最值点)(1)正弦函数 y=sin x,x0,2的图像中,五个关键点:(0,0),(2,1),(,0),(32,-1),(2,0).(2)余弦函数 y=cos x,x0,2的图像中,五个关键点:(0,1),(2,0),(,-1),(32,0),(2,1).微点拨在用五点法作函数y=Asin(x+),y=Acos(x+)的图像时,应令x+=0,2,得到的x的相应值,是对应五点的横坐标的值.2 32 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图像 定义域 R R _ 值域 R 奇偶
3、性 奇函数 周期性 _-1,1-1,1 奇函数偶函数周期 ,最小正周期为 周期 ,最小正周期为|2+,Z 2k(kZ)2 2k(kZ)2 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 单调性 递增区间-2+2k,2+2k(kZ)-+2k,2k(kZ)(-2+k,2+k)(kZ)递减区间 2+2k,32+2k(kZ)2k,+2k(kZ)无 零点 (kZ)2+k(kZ)(kZ)对称轴方程 无 对称中心(k,0)(2+k,0)(2,0)k k x=k+2(kZ)x=k(kZ)微点拨(1)正弦、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期;正切函数y=tan x无单调递减区间,在其定义域上不具有
4、单调性.(2)求函数y=Asin(x+),y=Acos(x+)的单调区间时,要注意A,的符号,尽量化成0的形式,避免因混淆单调区间而导致错误.常用结论 1.函数 y=Asin(x+),y=Acos(x+)的最小正周期为 T=2|,函数y=Atan(x+)的最小正周期为 T=|.2.函数y=Asin|x|不是周期函数.3.函数y=|Asin(x+)|,y=|Acos(x+)|的最小正周期分别是函数y=Asin(x+),y=Acos(x+)最小正周期的一半,即 T=|;函数y=|Atan(x+)|的最小正周期与 y=Atan(x+)的最小正周期相等,即 T=|.4.正弦曲线、余弦曲线的对称轴恰经过
5、相应曲线的最高点或最低点,对称中心分别是正弦函数和余弦函数的零点.5.正弦曲线、余弦曲线相邻两条对称轴、两个对称中心之间的距离均为12T,相邻的对称中心与对称轴之间的距离等于14T,正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12T(其中 T 是相应函数的最小正周期).6.对于函数 y=Asin(x+),当=k(kZ)时为奇函数;当=k+2(kZ)时为偶函数;其图像的对称轴方程可由 x+=k+2(kZ)确定,对称中心的横坐标由 x+=k(kZ)确定.7.对于函数 y=Acos(x+),当=k+2(kZ)时为奇函数;当=k(kZ)时为偶函数;其图像的对称轴方程可由 x+=k(kZ)确定,对称中心的横坐标由
6、x+=k+2(kZ)确定.8.对于函数 y=Atan(x+),当=k(kZ)时为奇函数;其图像没有对称轴,其对称中心的横坐标由 x+=2(kZ)确定.对点演练 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)函数y=cos(2x+)是一个非奇非偶函数.()(2)函数y=asin(2x-)+1在R上的最大值为a+1.()(3)函数y=|tan x|与y=tan x的周期相等,都是.()3 3(4)若直线 x=x0是函数 f(x)=2sin(x+8)图像的一条对称轴,则 f(x0+4)=0.()2.若函数f(x)=sin(3x+)(0)是一个偶函数,则等于()A.0B.2C.6D.3答
7、案 B 解析由于 sin 3+2=cos 3x,而函数 y=cos 3x 是偶函数,所以=2,故选 B.3.函数y=3sin(-2x)的单调递减区间为 .4 答案 8+,38+(kZ)解析由于 y=3sin 4 2=-3sin 2 4,令-2+2k2x-4 2+2k(kZ),解得-8+kx38+k(kZ),故函数的单调递减区间是 8+,38+(kZ).增素能 精准突破 考点一三角函数的定义域与值域(多考向探究)考向1.三角函数的定义域 典例突破 例 1.(1)函数 f(x)=2sin 2-1的定义域为()A.3+4k,53+4k(kZ)B.13+4k,53+4k(kZ)C.6+4k,56+4k
8、(kZ)D.16+4k,56+4k(kZ)(2)(2021山东济南高三月考)函数y=tan(-2x)的定义域是 .4 答案(1)B(2)2+38,解析(1)由题意得,2sin2x-10,所以 sin2x12,因此6+2k2x56+2k(kZ),解得13+4kx53+4k(kZ),故函数的定义域为 13+4,53+4(kZ),故选B.(3)由题得y=-tan 2 4,则2x-4k+2(kZ),解得x2+38(kZ),故函数定义域为 2+38,.方法总结求三角函数定义域的方法(1)求三角函数的定义域一般可归结为解三角不等式(或等式);(2)求三角函数的定义域经常借助两个工具:三角函数线和三角函数的
9、图像,有时也利用数轴;(3)对于较为复杂的求三角函数的定义域问题,应先列出不等式(组)分别求解,然后利用数轴或三角函数线求交集.对点训练 1(2021 湖南湘潭高三月考)函数 y=sin+cos-12的定义域为 .答案 2 2+3,解析依题意有 sin 0,cos-12 0,则 2 2+,Z,2-3 2+3,Z,解得 2kx2k+3,kZ,故定义域为 2 2+3,.考向2.三角函数的值域与最值 典例突破 例 2.(1)(2021 江苏宿迁高三一模)已知函数 f(x)=22cos xsin(4-x),则 f(x)在区间(-58,0)上()A.既有最大值,又有最小值 B.有最大值,没有最小值 C.
10、有最小值,没有最大值 D.既没有最大值,也没有最小值(2)(2021湖南张家界高三月考)函数f(x)=sin2x-4cos x的最大值为 .(3)(2021 山东聊城高三三模)函数 f(x)=sin2+3cos-sin-2在0,4上的值域为 .答案(1)B(2)4(3)-3,-2 解析(1)f(x)=22cos xsin 4 =22cos x 22 cos 22 sin =2cos2x-2sin xcos x=cos 2x-sin 2x+1=2cos 2+4+1.又 x 58,0,2x+4,4.根据余弦型函数的图像与性质可知函数有最大值f(x)max=2+1,无最小值.故选 B.(2)f(x)
11、=sin2x-4cos x=-cos2x-4cos x+1=-(cos x+2)2+5,且-1cos x1,当cos x=-1时,f(x)取最大值,f(x)max=-(-1+2)2+5=4.(3)令 cos x-sin x=t,则 1-sin 2x=t2,即 sin 2x=1-t2,于是 f(x)=1-2+3-2=-t-2.又 t=cos x-sin x=2cos +4.当 x 0,4 时,t0,1,则-t-2-3,-2,故函数f(x)在 0,4 上的值域为-3,-2.方法总结求三角函数值域(最值)的几种类型及解法思路 对点训练 2(1)(2021 浙江金华高三月考)函数 y=tan(4sin
12、 2x)的值域为()A.-4,4B.-tan 1,tan 1C.-1,1D.-22,22(2)(2021北京清华附中高三模拟)若函数f(x)=sin(x+)+cos(x+)的最大值为2,则常数的一个取值为 .4 答案(1)C(2)-4 满足=2 4,即可 解析(1)令 t=sin 2x,则当 xR 时,t=sin 2x-1,1,则4sin 2x 4,4,而y=tan x 在 4,4 上单调递增,所以 tan 4 sin 2-1,1,故选 C.(2)f(x)=sin +4+cos(x+)=sin xcos 4+cos xsin4+cos xcos-sin xsin=22 sin sin x+22
13、+cos cos x=(22-sin)2+(22+cos)2sin(x+).因为 f(x)最大值为 2,则(22-sin)2+(22+cos)2=2,即 2-2sin+2cos=4,所以 sin 4=-1,解得-4=2k-2(kZ),即=2k-4(kZ),故常数 的一个取值可以为-4.考点二三角函数的性质(多考向探究)考向1.三角函数的周期性 典例突破 例 3.(1)(2021 全国乙,文 4)函数 f(x)=sin3+cos3的最小正周期和最大值分别是()A.3 和2B.3 和 2C.6 和2D.6 和 2(2)(2021 河南商丘高三月考)函数 f(x)=cos x+2cos 12x 的一
14、个周期为()A.B.2C.3D.4(3)(多选)下列函数中,以2为周期的函数有()A.f(x)=|sin 2x|B.f(x)=sin xcos 2xC.f(x)=|x|+|cos|D.f(x)=sin|4x|答案(1)C(2)D(3)AC 解析(1)f(x)=2sin 3+4,故函数 f(x)的最小正周期 T=213=6,函数 f(x)的最大值为2.故选 C.(2)易知 y=cos x,y1=2cos12x 的最小正周期分别为 2,4,则 2,4 的公倍数 4是 f(x)的一个周期,故选 D.(3)对于函数 f(x)=|sin 2x|,由于 f +2=sin 2 +2 =|sin 2x|=f(
15、x),所以周期为2,故 A 项正确;对于 f(x)=sin xcos 2x,f +2=sin +2 cos 2 +2=-cos xcos 2xf(x),所以函数周期不是2,故 B 项错误;对于 f(x)=|sin|+|cos|,由于 f +2=|sin(+2)|+|cos(+2)|=|cos|+|sin|=f(x),即周期为2,故 C 项正确;函数f(x)=sin|4x|不是周期函数,故 D 项错误.故选 AC.方法点拨 对点训练 3(1)(2021 北京西城高三模拟)函数 f(x)=1-cos4sin4 的最小正周期是()A.4B.2C.D.2(2)(2021 河南新乡高三期中)已知函数 f
16、(x)=cos(x+3)(N*),若函数 f(x)图像的相邻两对称轴之间的距离至少为4,且在区间(,32)上存在最大值,则 的取值个数为()A.4B.3C.2D.1答案(1)B(2)C 解析(1)由于 f(x)=1-(1-2sin22)2sin2cos2=tan 2x,所以其最小正周期为2,故选 B.(2)该函数的最小正周期为 T=2,由于函数 f(x)图像的相邻两对称轴之间的距离2 4,即 4,所以 4.函数 f(x)取最大值时,x+3=2k(kZ),即x=2 3(kZ).由 2 3 32(kZ)得 2k-13 32(kZ),即3+16 k9+212(kZ).因为 4,且 N*,所以当=1
17、时,23k1112,无整数解;当=2 时,76k53,无整数解;当=3 时,53k2912,有整数解 k=2;当=4 时,136 k0,|2)的最小正周期为,将其图像向左平移3个单位长度后对应的函数为偶函数,则f(6)=()A.-12B.32C.1D.12答案(1)D(2)D 解析(1)f(x)=2sin2 4+-1=-1 2sin2 4+=-cos 2+2=sin 2x,可得 f(x)的最小正周期为22=.因为 f(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-f(x),所以 f(x)是奇函数,所以 f(x)是最小正周期为 的奇函数,故选 D.(2)因为函数 f(x)=sin(x+)的最小正周
18、期为,所以=2=2,所以f(x)=sin(2x+),图像向左平移3个单位后所得函数为 y=sin 2 +3 +=sin 2+23+.因为 y=sin 2+23+是偶函数,所以23+=2+k(kZ),所以=-6+k(kZ).因为|0)满足f(4+x)+f(4-x)=0,则 的取值不可能是()A.4B.6C.8D.12(2)(2021 安徽合肥高三模拟)将函数 f(x)=tan 2x 的图像向左平移6个单位后,得到的曲线的对称中心是()A.(-6+4,0)(kZ)B.(6+4,0)(kZ)C.(-6+2,0)(kZ)D.(6+2,0)(kZ)答案(1)B(2)A 解析(1)由 f 4+f 4 =0
19、,知 f(x)图像关于 4,0 对称,所以4=k(kZ),则=4k(kZ).当 k=1 时,=4,选项 A 满足题意;当 k=2 时,=8,选项 C 满足题意;当 k=3 时,=12,选项 D 满足题意,故 的取值不可能是 6.(2)函数 f(x)=tan 2x 的图像向左平移6个单位后可得 y=tan 2 +6 =tan 2+3,令 2x+3=2(kZ),解得 x=4 6(kZ),所以 f(x)=tan 2x 的对称中心为 6+4,0(kZ),故选 A.考向4.三角函数的单调性 典例突破 例 6.(1)(2021 新高考,4)下列区间中,函数 f(x)=7sin(x-6)单调递增的区间是()
20、A.0,2 B.2,C.,32 D.32,2(2)(2021 海南海口中学高三期末)函数 f(x)=cos(x-6)(0)在区间3,23 内单调递减,则 的最大值为()A.12B.74C.52D.6答案(1)A(2)B 解析(1)由题意知 x-6 -2+2,2+2,kZ,即 x-3+2,23+2,kZ.当 k=0 时,函数 f(x)=7sin-6 的单调递增区间为-3,23 ,0,2 -3,23 ,0,2 是函数 f(x)的一个单调递增区间.故选 A.(2)x 3,23 ,则3 6x-6 23 6.函数 f(x)在区间 3,23 内单调递减,则 3 6,23 6 2k,2k+(kZ),3-6
21、2,23-6 2+,解得6k+123k+74(kZ).由 6k+123k+74(kZ),可得 k 512,kZ 且 0,则k=0,1274,因此正数 的最大值为74,故选 B.方法总结三角函数单调性问题常见类型及求解策略 题型 解法(1)已知三角函数式求单调区间 化简函数解析式为y=Asin(x+)(0)的形式,视“x+”为一个整体,根据y=sin x的单调区间列不等式求解(2)已知函数解析式,讨论在给定区间上的单调性 方法1:先求出函数全部的单调区间,再给k取特定的整数值,得到在给定区间上的单调性;方法2:从给定区间出发,得出x+的范围,对照y=sin x的单调区间,得到在给定区间上的单调性
22、 题型 解法(3)已知函数的单调区间求参数范围 方法1:求出函数的相应单调区间,令已知区间是所得单调区间的子集,列不等式(组)求解;方法2:从给定区间出发,得出x+的范围,令该范围是函数y=sin x相应单调区间的子集,列不等式(组)求解;方法3:由所给区间的端点到其相应对称中心的距离不超过T(T为周期)列不等式组求解 14 对点训练 6(2021 宁夏中卫高三期中)直线 y=a 与函数 f(x)=tan(x+4)(0)的图像的相邻两个交点的距离为 2,若函数 f(x)在区间(-m,m)(m0)上单调递增,则实数 m 的取值范围是()A.(0,4)B.(0,2C.(0,2)D.(0,4答案 B 解析 因为直线 y=a 与函数 f(x)=tan +4(0)的图像相邻两个交点的距离为 2,所以 T=2,所以=12,即 f(x)=tan 12 +4.由 k-2 12x+4k+2(kZ),可得 2k-32 x0)上单调递增,所以实数 m 的取值范围是(0,2,故选 B.
