1、第18讲求轨迹方程一、复习目标、熟悉求曲线方程的两类问题:一是动点变动的根本原因,二是动点变动的约束条件、熟练掌握求曲线方程的常用方法:定义法、代入法、待定系数法、参数法等,并能灵活应用。二课前热身1到顶点和定直线的距离之比为的动点的轨迹方程是 2直线与椭圆交于P、Q两点,已知过定点(1,0),则弦PQ中点的轨迹方程是 3已知点P是双曲线上任一点,过P作轴的垂线,垂足为Q,则PQ中点M的轨迹方程是 4在中,已知,且成等差数列,则C点轨迹方程为 三例题探究lA例1设动直线垂直于轴,且与椭圆交于两点,P是上满足的点,求点P的轨迹方程。OyxB例2如图,在中,平方单位,动点P在曲线E上运动,若曲线E
2、过点C且满足的值为常数。(1) 求曲线E的方程;C(2) 设直线的斜率为1,若直线与曲线E有两个不同的交点Q、R,求线段QR的中点M的轨迹方程。AyxOB例3如图所示,过椭圆E:上任一点P,作右准线的垂线PH,垂足为H。延长PH到Q,使HQ=(1)当P点在E上运动时,求点Q的轨迹G的方程;(2)当取何值时,轨迹G是焦点在平行于轴的直线上的椭圆?证明这些焦点都在同一个椭圆上,并写出椭圆的方程;(3)当取何值时,轨迹G是一个圆?判断这个圆与椭圆的右准线的位置关系。OxPyHQl例4设椭圆方程为,过点的直线交椭圆于点A、B,O是坐标原点,点P满足点N的坐标为,当绕点M旋转时,求:(1)动点P的轨迹方
3、程;(2)的最小值与最大值。四方法点拨例1用直接法:若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系,则只需直接把这种关系“翻译”成关于动点的坐标的方程。经化简所得同解的最简方程,即为所求轨迹方程。其一般步骤为:建系设点列式代换化简检验。例2用圆锥曲线的定义求方程。如果题目中的几何条件能够满足圆、椭圆、双曲线,抛物线的第一、二定义,则直接利用曲线定义写出其轨迹方程。例3求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,通过“坐标互化”将其转化为变量间的关系。在确定了轨迹方程之后,有时需要对方程中的参数进行讨论,因为参数取值的变化会使方程
4、表示不同的曲线,会使其与其他曲线的位置关系不同,会引起另外某些变量取值范围的变化。例4本题是运用参数法求的轨迹。当动点P的坐标之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中间变量,并用表示动点P的坐标,从而得到动点轨迹的参数方程,消去参数,便可得到动点P的轨迹普通方程。其中应注意方程的等价性,即由的范围确定出范围。冲刺强化训练(18)班级姓名学号日期月日1.若点M(x,y)满足,则点M的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D抛物线.2.点M为抛物线上的一个动点,连结原点O与动点M,以OM为边作一个正方形MNPO,则动点P的轨迹方程为()A.B. C. D. 3.方程化简的结果是()A.B. C. D.
5、 4.一动圆M与两定圆均外切,则动圆圆心M的轨迹方程是.5.抛物线关于直线对称的曲线方程是.椭圆与椭圆关于直线对称,椭圆的方程是()A. B. C. D. .下列四个命题:圆关于点A(1,2)对称的曲线方程是;以点(2,3)和点(2,1)为焦点的椭圆方程可以是;顶点在原点,对称轴为坐标轴且过点(4,3)的抛物线方程只能是;双曲线右支上一点P到左准线的距离为18,则P点到右焦点的距离为;以上正确的命题是.(将正确命题的序号都填上).对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件焦点在轴上;焦点在轴上;抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为;抛物线的通径长为;由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1)
6、。能使这抛物线的方程是的条件是(要求填写合适条件的序号).求经过定点, 以轴为准线,离心率为的椭圆下方的顶点的轨迹方程。10.设曲线C:和直线.记与C的两个交点为A、B,求线段AB中点的轨迹方程;若线段AB上的点Q满足,求点Q的轨迹方程;在点Q的轨迹上是否存在点Q0,使得经过曲线C的焦点的弦被点Q0平分?证明你的结论.第18讲求轨迹方程【课前热身】1(提示:设动点,则。);2 ; 3(提示:设,则将代入双曲线方程得。); 4(提示:到AB的距离之和为8。)【例题探究】例1解析设P点的坐标为,则由方程得,A、B两点的坐标分别为又即,又直线与椭圆交于两点,所以所以点P的轨迹方程为。例2解析(1),
7、又,从而,所以点在以A、B为焦点,长半轴,半焦距,短半轴的椭圆上,曲线E的方程为(2)设直线,代入E的方程,消,可得所以有解之得设的中点为两点的坐标分别为,将得所以即为M点的轨迹方程。例3解析(1)由右准线设则由,得且,=,故有,即为所求点的轨迹G的方程。(2)当,即时,轨迹G是焦点在平行于轴的直线上的椭圆,设其焦点,则消去得(3)当,即时,轨迹G为圆,其方程为:即又的右准线即圆心G到准线的距离为此时G与相交。例4解析:(1)直线过点,当斜率存在时,设其斜率为,则的方程为记由题设可得点A、B的坐标是方程组的解,消去得于是,设点P的坐标为,则 消去参数得 当不存在时,A、B中点为坐标原点(0,0
8、),也满足方程,所以点P的轨迹方程为。(1) 由点P的轨迹方程知即又故当时,取得最小值为;当时,取得最大值为。 冲刺强化训练181、;2、;3、;4、解析:应用圆锥曲线的定义,注意只有一支.5、;、注意焦点所在位置的变化。7、;8、9、解:(1) (2)直线m恰为准线,定值即为离心率e. (3) 当|PA|=|PB|时,|PA|PB|最大。此时点P的坐标为10、略解:(1)设AB中点M,联立方程组得:,则,消云k得,注意到0,得AB中点的轨迹方程是.(2)点Q的轨迹方程是,是一条线段(无端点).(3)曲线C的焦点F,设过F的直线方程为,与曲线C的方程联立,得弦的中点的横坐标为,解得.当时,弦的中点的纵坐标;当时,弦的中点的纵坐标.综上,存在点 ,使得经过曲线C的焦点的弦被点Q0平分.