1、第18讲求轨迹方程一、复习目标、熟悉求曲线方程的两类问题：一是动点变动的根本原因，二是动点变动的约束条件、熟练掌握求曲线方程的常用方法：定义法、代入法、待定系数法、参数法等，并能灵活应用。二课前热身1到顶点和定直线的距离之比为的动点的轨迹方程是 2直线与椭圆交于P、Q两点，已知过定点（1，0），则弦PQ中点的轨迹方程是 3已知点P是双曲线上任一点，过P作轴的垂线，垂足为Q，则PQ中点M的轨迹方程是 4在中，已知，且成等差数列，则C点轨迹方程为 三例题探究lA例1设动直线垂直于轴，且与椭圆交于两点，P是上满足的点，求点P的轨迹方程。OyxB例2如图，在中，平方单位，动点P在曲线E上运动，若曲线E
2、过点C且满足的值为常数。（1） 求曲线E的方程；C（2） 设直线的斜率为1，若直线与曲线E有两个不同的交点Q、R，求线段QR的中点M的轨迹方程。AyxOB例3如图所示，过椭圆E：上任一点P，作右准线的垂线PH，垂足为H。延长PH到Q，使HQ=（1）当P点在E上运动时，求点Q的轨迹G的方程；（2）当取何值时，轨迹G是焦点在平行于轴的直线上的椭圆？证明这些焦点都在同一个椭圆上，并写出椭圆的方程；（3）当取何值时，轨迹G是一个圆？判断这个圆与椭圆的右准线的位置关系。OxPyHQl例4设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足点N的坐标为，当绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方
3、程；（2）的最小值与最大值。四方法点拨例1用直接法：若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则只需直接把这种关系“翻译”成关于动点的坐标的方程。经化简所得同解的最简方程，即为所求轨迹方程。其一般步骤为：建系设点列式代换化简检验。例2用圆锥曲线的定义求方程。如果题目中的几何条件能够满足圆、椭圆、双曲线，抛物线的第一、二定义，则直接利用曲线定义写出其轨迹方程。例3求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为变量间的关系。在确定了轨迹方程之后，有时需要对方程中的参数进行讨论，因为参数取值的变化会使方程
4、表示不同的曲线，会使其与其他曲线的位置关系不同，会引起另外某些变量取值范围的变化。例4本题是运用参数法求的轨迹。当动点P的坐标之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量，并用表示动点P的坐标，从而得到动点轨迹的参数方程，消去参数，便可得到动点P的轨迹普通方程。其中应注意方程的等价性，即由的范围确定出范围。冲刺强化训练（18）班级姓名学号日期月日1.若点M（x,y）满足，则点M的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D抛物线.2.点M为抛物线上的一个动点，连结原点O与动点M，以OM为边作一个正方形MNPO，则动点P的轨迹方程为（）A.B. C. D. 3.方程化简的结果是（）A.B. C. D.
5、 4.一动圆M与两定圆均外切，则动圆圆心M的轨迹方程是.5.抛物线关于直线对称的曲线方程是.椭圆与椭圆关于直线对称，椭圆的方程是（）A. B. C. D. .下列四个命题：圆关于点A(1，2)对称的曲线方程是；以点（2，3）和点（2，1）为焦点的椭圆方程可以是；顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点(4，3)的抛物线方程只能是；双曲线右支上一点P到左准线的距离为18，则P点到右焦点的距离为；以上正确的命题是.（将正确命题的序号都填上）.对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件焦点在轴上；焦点在轴上；抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为；抛物线的通径长为；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2,1）
6、。能使这抛物线的方程是的条件是（要求填写合适条件的序号）.求经过定点， 以轴为准线，离心率为的椭圆下方的顶点的轨迹方程。10.设曲线C：和直线.记与C的两个交点为A、B，求线段AB中点的轨迹方程；若线段AB上的点Q满足，求点Q的轨迹方程；在点Q的轨迹上是否存在点Q0，使得经过曲线C的焦点的弦被点Q0平分？证明你的结论.第18讲求轨迹方程【课前热身】1（提示：设动点，则。）；2 ； 3（提示：设，则将代入双曲线方程得。）； 4（提示：到AB的距离之和为8。）【例题探究】例1解析设P点的坐标为，则由方程得，A、B两点的坐标分别为又即，又直线与椭圆交于两点，所以所以点P的轨迹方程为。例2解析（1），
7、又，从而，所以点在以A、B为焦点，长半轴，半焦距，短半轴的椭圆上，曲线E的方程为（2）设直线，代入E的方程，消，可得所以有解之得设的中点为两点的坐标分别为，将得所以即为M点的轨迹方程。例3解析（1）由右准线设则由，得且，=，故有，即为所求点的轨迹G的方程。（2）当，即时，轨迹G是焦点在平行于轴的直线上的椭圆，设其焦点,则消去得（3）当，即时，轨迹G为圆，其方程为：即又的右准线即圆心G到准线的距离为此时G与相交。例4解析：（1）直线过点，当斜率存在时，设其斜率为，则的方程为记由题设可得点A、B的坐标是方程组的解，消去得于是，设点P的坐标为，则 消去参数得 当不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0
8、），也满足方程，所以点P的轨迹方程为。（1） 由点P的轨迹方程知即又故当时，取得最小值为；当时，取得最大值为。 冲刺强化训练181、；2、；3、；4、解析：应用圆锥曲线的定义，注意只有一支.5、；、注意焦点所在位置的变化。7、；8、9、解：(1) (2)直线m恰为准线，定值即为离心率e. (3) 当|PA|=|PB|时，|PA|PB|最大。此时点P的坐标为10、略解：（1）设AB中点M，联立方程组得：，则，消云k得，注意到0，得AB中点的轨迹方程是.（2）点Q的轨迹方程是，是一条线段（无端点）.（3）曲线C的焦点F，设过F的直线方程为，与曲线C的方程联立，得弦的中点的横坐标为,解得.当时，弦的中点的纵坐标；当时，弦的中点的纵坐标.综上，存在点 ，使得经过曲线C的焦点的弦被点Q0平分.