1、江苏省南通市2022届重点中学“强基”测试高三数学2021.9一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设，则=（ ）A.B.C.D.2.平流层是指地球表面以上到的区域,下述不等式中,能表示平流层高度的是（ ）A.B.C.D3.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.如果某重卦中有3个阳爻，3个阴爻，则它可以组成种重卦.A.6B.15C.20D.14.已知函数，若，则有（ ）A.B.C.D.5.函数在一个周期内的图象如图（其中，），则函数的解析式为
2、（ ）A.B.C.D.6.在中，内角所对的边分别为，若，则的形状是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形7.如图，无人机在离地面高300m的M处，观测到山顶A处的俯角为15、山脚C处的俯角为60，已知，则山的高度为A.B.200mC.D.300m8.三棱锥的所有顶点都在球的球面上.棱锥的各棱长为：，则球的表面积为（ ）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.已知，则下列叙述中正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.“”是“”的充分不必要条件D.命题
3、“，”的否定是“，”10.关于函数有下列命题，其中正确的是A.是以为最小正周期的周期函数B.的表达式可改写为C.的图象关于直线对称D.的图象关于点对称11.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）A.B.数列是等比数列C.D.数列是公差为2的等差数列12.抛物线的焦点为F，直线l过点F，斜率，且交抛物线C于A，B（点A在x轴的下方）两点，抛物线的准线为m，于，于，下列结论正确的是（ ）A.若，则B.C.若，则D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。13.已知向量，且，则m=_.14.已知，则_.15.已知为双曲线的右焦点
4、，过作的渐近线的垂线， 为垂足，且（为坐标原点），则的离心率为_.16.在平面直角坐标中，已知，是圆上的两个动点，满足，则面积的最大值是_.四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分10分）在中，.（1）求；（2）若，求的周长.18.（本小题满分12分）等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，.（1）求数列和的通项公式；（2）令，设数列的前项和，求.19.（本小题满分12分）2017年11月河南省三门峡市成功入围“十佳魅力中国城市”，吸引了大批投资商的目光，一些投资商积极准备投入到“魅力城市”的建设之中.某投资公
5、司准备在2018年年初将四百万元投资到三门峡下列两个项目中的一个之中.项目一：天坑院是黄土高原地域独具特色的民居形式，是人类“穴居”发展史演变的实物见证.现准备投资建设20个天坑院，每个天坑院投资0.2百万元，假设每个天坑院是否盈利是相互独立的，据市场调研，到2020年底每个天坑院盈利的概率为，若盈利则盈利投资额的，否则盈利额为0.项目二：天鹅湖国家湿地公园是一处融生态、文化和人文地理于一体的自然山水景区.据市场调研，投资到该项目上，到2020年底可能盈利投资额的，也可能亏损投资额的，且这两种情况发生的概率分别为和.（1） 记（单位：百万元）为投资项目一盈利额，求（用表示）；（2）试以项目盈利
6、的期望为依据，针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个项目，并说明理由.20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中， 为直角梯形，平面平面，.是以为斜边的等腰直角三角形， ， 为上一点，且.（1）证明：直线平面；（2）求二面角的余弦值.21.（本小题满分12分）已知椭圆过点，顺次连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为，点.（1）求椭圆的方程.（2）已知点，是椭圆上的两点.（）若，且为等边三角形，求的边长；（）若，证明：不可能为等边三角形.22.（本小题满分12分）已知函数，（1）讨论函数的单调性；（2）当时，若曲线与曲线存在唯一的公切线，求实数的值；（3）当， 时，不等式恒成立，求实数的取
7、值范围.江苏省南通市2022届重点中学“强基”测试参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.B 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C 7.B 8.B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.BC 10.BD 11.ABC 12.ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上。13.14. 15.216.四、解答题：本题共6小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答。解答时应
8、写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（1），.（2）设的内角，的对边分别为，.，.由余弦定理可得，则，的周长为.18.（1）设数列的公差为，数列的公式为，由.得，解得.，.（2）由，得，则为奇数，为偶数，.19.解：（1）由题意记为盈利的天坑院个数，则，则盈利的天坑院数的均值.故盈利的均值为（2）记为投资项目二盈利额，则的分布列为：2盈利的均值.8分当时，解得.故两个项目均可投资.当时，解得.此时选择项目一.当时，解得.此时选择项目二.20.解：（1）证明：连接交于点，连接.因为，所以与相似.所以.又，所以.因为平面， 平面，所以直线平面.（2）解：平面平面，平面平面， 平面，所以平面.以
9、为坐标原点， 所在的方向分别为轴、轴的正方向，与均垂直的方向作为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则， ， ， ， ，.设平面的一个法向量为，则，令，得，设平面的一个法向量为，则，令，得.设二面角的平面角的大小为，则.所以二面角的余弦值为.21.解：（1）依题意，联立两式，解得，故椭圆的方程为.（2）（）由且为等边三角形及椭圆的对称性可知，直线和直线与轴的夹角均为30，由，可得.，的边长为，即或.（）因为，故直线斜率存在.设直线，中点为，联立，消去得，由得到，所以，所以.又，若为等边三角形，则有，即，即，化简得，由得点坐标为不合题意.故不可能为等边三角形.22.（1）， ，当时， ，在上单调递减；当时， 时，当，递减；当， ， 递增；（2）曲线，设公切线与的切点为， ，易知，由，所以，由，故，所以，故，所以，构造函数， 问题等价于直线与曲线在时有且只有一个交点，当时，递增；当时，递减；的最大值为， ，当时，故；（3）当时， ，设，当，即时，由，则， 在递增，故，所以在递增，由，所以成立；当时， ，由在单调递增，令，则，故在存在唯一的零点，使得，当时， 递减，又，所以；即在递减，由，所以，所以不成立，综上，.
