1、【成才之路】2015届高考数学二轮复习 专题4 第3讲 空间向量及其应用素能训练（文、理）一、选择题1(2014北京理，7)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，)，若S1、S2、S3分别是三棱锥DABC在xOy、yOz、zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()AS1S2S3BS2S1且S2S3CS3S1且S3S2DS3S2且S3S1答案D解析DABC在xOy平面上的投影为ABC，故S1ABBC2，设D在yOz和zOx平面上的投影分别为D2和D3，则DABC在yOz和zOx平面上的投影分别为OCD2和OAD3，D2(0,1，)，D3
2、(1,0，)故S22，S32，综上，选项D正确2(2013天津和平区模拟)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案B解析以A为原点，AB、AD、AA1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设AB1，则B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，D1(0,1,2)，AA12AB，E(0,0,1)，(1,0,1)，(1,0,2)，cos，故选B.3已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于()A.B.
3、C.D.答案B解析如图，设A1在平面ABC内的射影为O，以O为坐标原点，OA、OA1分别为x轴、z轴建立空间直角坐标系如图设ABC边长为1，则A(，0,0)，B1(，)，(，)平面ABC的法向量n(0,0,1)，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为sin|cos，n|.4(2014吉林九校联合体二模)如图，在四面体OABC中，已知ACBC，|3，|1，则()A8B6C4D3答案C解析如图，取AB的中点D，ACBC，ABDC，又()，()()()(22)(91)4.5如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是()AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成
4、的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案D解析四边形ABCD是正方形，ACBD.又SD底面ABCD，SDAC.SDBDD，AC平面SDB，从而ACSB.故A正确易知B正确设AC与DB交于O点，连接SO.则SA与平面SBD所成的角为ASO，SC与平面SBD所成的角为CSO，又OAOC，SASC，ASOCSO.故C正确由排除法可知选D.6正四面体ABCD的棱长为1，G是ABC的中心，M在线段DG上，且AMB90，则GM的长为()A.B.C.D.答案D解析解法一：取AB的中点N，由正四面体的对称性可知AMB为等腰三角形，MNAB.又G为ABC的中心，NG，故MG
5、.解法二：设a，b，c，a(abc)(1)abc，(ab)(1)abca(1)bc.由0，abbcac，可解得.|.二、填空题7如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是_答案a解析设M(0，m，m)(0ma)，(a,0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s(，0，)，(0，m，am)，故点M到直线AD1的距离d，根式内的二次函数当m时取最小值()2aa2a2，故d的最小值为a.8.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点MAB1，NBC1，且AMBN，有以下四个结论：AA1MN；A1C1MN；MN平
6、面A1B1C1D1；MN与A1C1是异面直线其中正确命题的序号是_(注：把你认为正确命题的序号都填上)答案解析在正方体中，AB1BC1，MAB1，NBC1，且AMBN，当M为AB1的中点时，N为BC1的中点，即B1C的中点，此时MNACA1C1，否则MN与A1C1异面，都错；在BB1上取点E，使NEB1C1，则，MEABA1B1，平面MNE平面A1B1C1，MN平面A1B1C1D1，又AA1平面A1B1C1D1，AA1MN，故正确三、解答题9.如图，已知ABCDA1B1C1D1是底面为正方形的长方体，A1D12，A1A2，点P是AD1上的动点(1)当P为AD1的中点时，求异面直线AA1与B1P
7、所成角的余弦值；(2)求PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值解析(1)(解法一)过点P作PEA1D1，垂足为E，连接B1E，则PEAA1，B1PE是异面直线AA1与B1P所成的角在RtAA1D1中，A1D12，AA12，A1EA1D11，B1E.又PEAA1，在RtB1PE中，B1P2，cosB1PE.异面直线AA1与B1P所成角的余弦值为.(解法二)以A1为原点，A1B1所在的直线为x轴，A1D1所在直线为y轴，A1A所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图所示，则A1(0,0,0)，A(0,0,2)，B1(2,0,0)，P(0，1，)，(0,0,2)，(2,1，)，cos，.异面直线A
8、A1与B1P所成角的余弦值为.(2)由(1)知，B1A1平面AA1D1，B1PA1是PB1与平面AA1D1所成的角，且tanB1PA1.当A1P最小时，tanB1PA1最大，这时A1PAD1，由A1P，得tanB1PA1，即PB1与平面AA1D1所成角的正切值的最大值为.10(2013北京海淀模拟)如图所示，PA平面ABC，点C在以AB为直径的O上，CBA30，PAAB2，点E为线段PB的中点，点M在上，且OMAC.(1)求证：平面MOE平面PAC；(2)求证：平面PAC平面PCB；(3)设二面角MBPC的大小为，求cos的值解析(1)因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点，所以OEP
9、A.因为PA平面PAC，OE平面PAC，所以OE平面PAC.因为OMAC，又AC平面PAC，OM平面PAC，所以OM平面PAC.因为OE平面MOE，OM平面MOE，OEOMO，所以平面MOE平面PAC.(2)因为点C在以AB为直径的O上，所以ACB90，即BCAC.因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC.因为AC平面PAC，PA平面PAC，PAACA，所以BC平面PAC.因为BC平面PBC，所以平面PAC平面PBC.(3)如图，以C为原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系Cxyz.因为CBA30，PAAB2，所以CB2cos30，AC1.延长MO交CB于
10、点D.因为OMAC，所以MDCB，MD1，CDCB.所以P(1,0,2)，C(0,0,0)，B(0，0)，M(，0)所以(1,0,2)，(0，0)设平面PCB的法向量m(x，y，z)因为所以即令z1，则x2，y0.所以m(2,0,1)同理可求平面PMB的一个法向量n(1，1)所以cosm，n.所以cos.一、解答题11如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1.(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE；(3)求二面角ABED的大小解析(1)设AC与BD交于点G，因为EFAG，且EF1，AGAC1，所以四边形AGEF为平行四边形所以A
11、FEG.因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD.如图以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz.则C(0,0,0)，A(，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，B(0，0)，F(，1)所以(，1)，(0，1)，(，0,1)所以0110，1010.所以CFBE，CFDE，所以CF平面BDE.(3)由(2)知，(，1)是平面BDE的一个法向量，设平面ABE的法向量n(x，y，z)，则n0，n0.即所以x0，zy.令y1，则z.所以n(0,1，)，从而cosn，因为二面角ABED为锐角，所以二
12、面角ABED为.点评综合法更注重推理，方法巧妙，计算量不大，对空间想象能力以及逻辑推理能力要求较高，而向量法更多的是计算而且方法统一，具有格式化，易于掌握从近几年高考尤其新课标地区的高考题来看主要以向量法的考查为主，较少使用综合法12(2013桂东一中月考)如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上(1)求证：平面AEC平面PDB；(2)当PDAB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小解析(1)四边形ABCD是正方形，ACBD，PD底面ABCD，PDAC，AC平面PDB，又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.(2)设ACBDO，连接OE，由(1)知A
13、C平面PDB于O，AEO为AE与平面PDB所成的角，O、E分别为DB、PB的中点，OEPD，OEPD，又PD底面ABCD，OE底面ABCD，OEAO，在RtAOE中，OEPDABAO，AOE45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.13(2014北京理，17)如图，正方形AMDE的边长为2，B、C分别为AM、MD的中点在五棱锥PABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD、PC分别交于点G、H.(1)求证：ABFG；(2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长解析(1)在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以ABDE.又因为AB平面
14、PDE，所以AB平面PDE.因为AB平面ABF，且平面ABF平面PDEFG，所以ABFG.(2)因为PA底面ABCDE，所以PAAB，PAAE.如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，F(0,1,1)，(1,1,0)设平面ABF的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，则y1，所以n(0，1,1)设直线BC与平面ABF所成角为，则sin|cosn，|.因此直线BC与平面ABF所成角的大小为.设点H的坐标为(u，v，w)因为点H在棱PC上，所以可设(01)，即(u，v，w2)(2,1，2)，所以u2，v，w22，因为n是平面ABF的
15、法向量，所以n0，即(0，1,1)(2，22)0，解得，所以点H的坐标为(，)所以PH2.14如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA12，C1H平面AA1B1B，且C1H.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN平面A1B1C1，求线段BM的长解析如图所示 ，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点依题意得A(2，0,0)，B(0,0,0)，C(，)，A1(2，2，0)，B1(0,2，0)，C1(，)(1)易得(，)，(2，0,0)，于是cos，.所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.(2)易知(0,2，0)，(，)设平面AA1C1的法向量m(x，y，z)，则即不妨令x，可得m(，0，)同样的，设平面A1B1C1的法向量n(x，y，z)，则即不妨令y，可得n(0，)于是cosm，n，从而sinm，n.所以二面角AA1C1B1的正弦值为.(3)由N为棱B1C1的中点，得N.设M(a，b,0)，则，由MN平面A1B1C1，得即解得故M，因此，所以线段BM的长|.版权所有：高考资源网()
