1、四川省雅安市雅安中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，仅有一个选项符合题目要求，请将正确选项填涂在答题卡上）1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据集合的并集和补集运算，即可求出【详解】因为，所以，故故选：A【点睛】本题主要考查集合的并集和补集运算2.在用二次法求方程3x+3x-8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f（1）0，f（1.5）0，f（1.25）0，则方程的根落在区间（）A. B. C. D. 不能确定【答案】B【解析】【分析】根据函数的零点存
2、在性定理，由f（1）与f（1.5）的值异号得到函数f（x）在区间（1，1.5）内有零点，同理可得函数在区间（1.25，1.5）内有零点，从而得到方程的根所在的区间【详解】解：f（1）0，f（1.5）0， 在区间（1，1.5）内函数存在一个零点 又f（1.5）0，f（1.25）0， 在区间（1.25，1.5）内函数存在一个零点， 由此可得方程的根落在区间（1.25，1.5）内， 故选：B【点睛】本题给出函数的一些函数值的符号，求相应方程的根所在的区间着重考查了零点存在定理和方程根的分布的知识，考查了学生分析解决问题的能力，属于基础题3.下列函数中既是偶函数，又在上是减函数的是（ ）A. B. C
3、. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断哪些函数是偶函数，然后再检验其是否在上是减函数，即可得出【详解】根据幂函数的性质以及偶函数定义，可知函数和是偶函数，但在上是减函数，在上是增函数故选：A【点睛】本题主要考查幂函数的性质的判断4.已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据指数函数与对数函数单调性得到a，b，c的取值范围，即得到它们的大小关系【详解】解：由对数和指数的性质可知， 故选：D【点睛】本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一
4、个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来5.函数的图象与轴的交点个数（ ）A. 至少有个B. 至多有个C. 有且仅有个D. 有个或个【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义即可判断【详解】根据函数的定义，定义域中的一个值只能对应一个值，若函数定义域中有，则函数的图象与轴有一个交点，否则，就没有交点，故函数的图象与轴的交点个数至多有个【点睛】本题主要考查函数概念的理解与运用6.设集合，则M、N的关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为集合M中,集合N中，因为k属于整数，那么可分母中的结合的关系，因此可知,选A .7.设，且，则 ( )A. B. 10C. 20D. 100【
5、答案】A【解析】【分析】将指数式化为对数值，然后利用对数运算公式化简，由此求得的值.【详解】由得，所以，故选A.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式互化，考查对数运算，属于基础题.8.定义在上的函数（其中且），对于任意都有成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据单调性定义，可知函数在上单调递减，故各段函数在其对应定义域上单调递减，而且，解不等式组即可求出实数的取值范围【详解】因为，由单调性定义可知，函数在上单调递减，故有 ，解得故选：A【点睛】本题主要考查函数单调性的判断以及根据分段函数的单调性求参数范围9.已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是
6、()A. aB. 12a0C. 12a0D. a【答案】B【解析】【分析】由题意可知对于一切实数都成立，分类讨论，求出实数a的取值范围.【详解】由题意可知对于一切实数都成立,当a0时，不等式成立，即符合题意；当时，要想对于一切实数都成立，只需，解得12a0,综上所述，实数a的取值范围是12a0，故本题选B.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了分类思想.10.已知函数在上是增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】若函数f（x）=log2（x2ax+3a）在2，+）上是增函数，则x2ax+3a0且f（2）0，根据二次函数单调性，我们可得到关于a的不等式，解
7、不等式即可得到a的取值范围【详解】若函数f（x）=log2（x2ax+3a）在2，+）上是增函数，则当x2，+）时，x2ax+3a0且函数f（x）=x2ax+3a为增函数即，f（2）=4+a0解得4a4故选：C【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a的不等式，是解答本题的关键11.已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：函数是定义在上的偶函数，等价为），即函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，）等价为即，解得,故选
8、项为C考点：（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：，即，结合单调性得：将不等式进行等价转化即可得到结论.12.已知定义在上的函数，满足，当 时，设函数（为常数）的零点个数为，则的所有可能取值构成的集合为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出函数的图象，函数零点个数等于函数的图象与直线的交点个数，由图观察即可得出【详解】令，所以函数零点个数等于函数的图象与直线的交点个数作出函数的图象，由图可知，当
9、时，没有交点；当时，有3个交点；当时，有4个交点故选：D【点睛】本题主要考查利用数形结合求解函数零点个数问题以及含有绝对值的函数图象画法二、填空题:（本大题共4个小题，每小题5分，共20分。请将答案填写在答题卡上）13.函数的零点是_【答案】2和3【解析】【分析】根据函数零点的定义即可求出【详解】令，解得或，所以函数的零点是2和3故答案为：2和3【点睛】本题主要考查利用函数零点的定义求零点14.函数（且 ）的图象经过的定点坐标为_【答案】【解析】【分析】令，即可求出定点横坐标，代入求出纵坐标【详解】令，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查含指数式的函数过定点问题的求法一般地，若函数（且），则函
10、数过定点由 解出15.已知函数，其最大值与最小值分别为和，则 _【答案】10【解析】【分析】根据函数为奇函数，所以，即可知【详解】因为，所以函数为奇函数，即有，若存在，则由知，所以故答案为：10【点睛】本题主要考查对数型函数的奇偶性的判断和函数奇偶性的运用16.设幂函数的图象过点，则：的定义域为；是奇函数；是减函数；当时，其中正确的有_（多选、错选、漏选均不得分）【答案】【解析】【分析】根据待定系数法求出幂函数，由幂函数的性质，即可判断各项的真假【详解】设，因为函数的图象过点，所以，解得，根据幂函数的图象，可知不正确，正确，说法有误，应该是在上是减函数，在上是减函数，但在整个定义域上不是减函数
11、；对于，设点，点为线段的中点，点，由图可知，点在点的下方，所以故答案为：【点睛】本题主要考查幂函数的求法和幂函数的性质的判断与应用三、解答题：（本大题共6个小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤）17.计算: ； 【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】（1）根据根式性质以及指数幂的运算性质即可求出；（2）根据对数的运算性质即可求出【详解】原式 原式【点睛】本题主要考查根式的性质、指数幂的运算性质以及对数的运算性质的应用18.已知集合，函数的定义域为B当时，；若，求实数m的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据真数大于零求出集合，代入求出集合，再利用补集
12、运算求出，即可根据交集运算求出；（2）根据可知，再分别讨论集合为空集和不为空集时，成立的条件即可求出【详解】解：根据题意，当时，或 ，则根据题意，若,则, 当时，有，解可得，当时，因，必有，解可得，综上可得：m取值范围是：【点睛】本题主要考查集合的交集、补集运算以及由集合之间的包含关系求参数，易错点是忽视集合为空集的情况，意在考查学生的分类讨论意识和数学运算能力19.已知二次函数满足，且的最大值为2 .(1) 求的解析式；(2) 求函数在 上的最大值 .【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根据可知函数对称轴为，又的最大值为2，所以可设函数（），再由即可解出，进而得出的解析式；(2)根据，
13、因为，且，所以需讨论与的关系，得到函数的单调性，进而求出函数的最大值【详解】(1)因为，对称轴为，又的最大值为2，设函数，由，得，故； ，当时，在上单调递减， 当时，在上递增，在上递减，【点睛】本题主要考查二次函数解析式的求法以及二次函数在动区间上的最值问题的解法，解题关键是通过函数的单调性获悉在何处取得最值，意在考查学生的分类讨论意识和数学运算能力20.随着我国经济的飞速发展，人们的生活水平也同步上升，许许多多的家庭对于资金的管理都有不同的方式。最新调查表明，人们对于投资理财的兴趣逐步提高。某投资理财公司做了大量的数据调查，调查显示两种产品投资收益如下：投资产品的收益与投资额的算术平方根成正
14、比；投资产品的收益与投资额成正比.公司提供了投资1万元时两种产品的收益，分别是0.4万元和0.2万元。(1) 分别求出产品的收益、产品的收益与投资额的函数关系式；(2) 假如现在你有10万元的资金全部用于投资理财，你该如何分配资金，才能让你的收益最大？最大收益是多少？【答案】（1），（2）当投资A产品1万元，B产品9万元时，收益最大，最大收益为2.2万元.【解析】【分析】(1)依题意设出，再根据题意求出即可；(2)设投资A产品万元，则投资B产品万元，则总收益，换元，由二次函数的性质即可求出最值【详解】对A：令，对B：令，由题意：， 令投资A产品万元，则投资B产品万元， 令总收益为，则 令，则，
15、当时，即时，当投资A产品1万元，B产品9万元时，收益最大，最大收益为2.2万元.【点睛】本题主要考查函数在生活中的运用，解题关键是读懂题意，建立合适的关系式，并运用相关知识处理21.已知指数函数满足:，定义域为的函数是奇函数.(1)求的值；(2)判断函数的单调性并用定义加以证明；(3)若对任意的 ，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）见解析；（3）【解析】【分析】(1)依题意设（或），由可求出值，再根据奇函数的定义可得，即可求出；(2) 按照单调性定义证明的步骤，取值作差变形定号下结论，即可证出；(3)根据函数的奇偶性和单调性，即可将转化为，再利用分离参数法将分离，转化去求
16、在上的最小值，即可求出的取值范围【详解】(1)依题意设（或），由得，解得，所以，是R上的奇函数， 即，所以，又，即，解得，检验符合题意 ， 是R上的减函数理由如下：设，则，所以，即故是R上的减函数 (3) ，是R上的奇函数，是R上的减函数，因为，对任意的 恒成立，因为当且仅当时却等号，【点睛】本题主要考查利用单调性的定义判断和证明函数的单调性，利用奇偶性求参数、利用函数性质解抽象不等式，含参的一元二次不等式恒成立问题的解法等，意在考查学生的转化能力、逻辑推理能力以及运算能力22.已知函数，(1) 判断的奇偶性并证明；(2) 令判断在的单调性（不必说明理由）；是否存在，使得在区间的值域为？若存在
17、，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）单调递减，【解析】【分析】(1)根据函数奇偶性的定义，即可证出(2) 求出，由复合函数单调性法则可知，在上单调递减；根据在上单调递减，可以得到，然后转化得出：和是方程的两根，再将其转化为直线与函数的图象在上有两个交点，观察图象，可求出的取值范围【详解】是奇函数；证明如下：由解得或,所以的定义域为，关于原点对称,故为奇函数，在上单调递减假设存在，使在的值域为由知，在上单调递减则有,所以,是方程在上的两根，整理得在有2个不等根和即 ，令，则，即直线与函数的图象在上有两个交点，所以， 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断、复合函数的单调性的判断以及函数、方程与图象之间的关系应用，意在考查学生的转化能力与推理能力
