1、2016年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1若集合A=xR|x23x，B=x|1x2，则AB=（）Ax|1x0Bx|1x3Cx|0x2Dx|0x32已知直线ax+3y1=0与直线3xy+2=0互相垂直，则a=（）A3B1C1D33已知a=log46，b=log40.2，c=log23，则三个数的大小关系是（）AcabBacbCabcDbca4若x，y满足，则u=2x+y的最大值为（）A3BC2D5已知数列an的前n项和Sn=15+91321+（1）n1（4n3），则S11=（）A21B19C19D2
2、16在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a=b”是“acosB=bcosA”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为（）A0，3B0，4C2，3D2，48函数f（x）的定义域为1，1，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为1，2，图象如图2所示A=x|f（g（x）=0，B=x|g（f（x）=0，则AB中元素的个数为（）A1B2C3D4二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9若复数（2+ai）
3、2（aR）是实数，则a=10以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为11如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥PABC的主视图与左视图的面积的比值为12已知函数若f（f（1）=0，则实数a=；在的条件下，若直线y=m与y=f（x）的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是13如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=+（，R），则+=14每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中65个学生及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树，绿一方净土”的义务植树活动活动将65个家庭分成A，B两组
4、，A组负责种植150棵银杏树苗，B组负责种植160棵紫薇树苗根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时，种植一棵紫薇树苗用时假定A，B两组同时开始种植，若使植树活动持续时间最短，则A组的家庭数为，此时活动持续的时间为h三、解答题（共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15已知函数（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值16已知公差为正数的等差数列an满足a1=1，2a1，a31，a4+1成等比数列（） 求an的通项公式；（） 若a2，a5分别是等比数列bn的第1项和第2项，求使数列的前n项和Tn的最大正整数n17如图，在四棱锥PABCD中，PA平
5、面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，BAD=60，M是PD的中点（）求证：OM平面PAD；（）平面PBD平面PAC；（）当三棱锥CPBD的体积等于时，求PA的长18“爱心包裹”是中国扶贫基金会依托中国邮政发起的一项全民公益活动，社会各界爱心人士只需通过中国邮政网点捐购统一的爱心包裹，就可以一对一地将自己的关爱送给需要帮助的人某高校青年志愿者协会响应号召，组织大一学生作为志愿者，开展一次爱心包裹劝募活动将派出的志愿者分成甲、乙两个小组，分别在两个不同的场地进行劝募，每个小组各6人爱心人士每捐购一个爱心包裹，志愿者就将送出一个钥匙扣作为纪念以下茎叶图记录了这两个
6、小组成员某天劝募包裹时送出钥匙扣的个数，且图中甲组的一个数据模糊不清，用x表示已知甲组送出钥匙扣的平均数比乙组的平均数少1个（） 求图中x的值；（）“爱心包裹”分为价值100元的学习包，和价值200元的“学习+生活”包，在乙组劝募的爱心包裹中100元和200元的比例为3：1，若乙组送出的钥匙扣的个数即为爱心包裹的个数，求乙组全体成员劝募的爱心包裹的价值总额；（）在甲组中任选2位志愿者，求他们送出的钥匙扣个数都多于乙组的平均数的概率19已知F1（1，0）和F2（1，0）是椭圆的两个焦点，且点在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）直线l：y=kx+m（m0）与椭圆C有且仅有一个公共点，且与x轴和y轴分
7、别交于点M，N，当OMN面积取最小值时，求此时直线l的方程20已知函数f（x）=x2alnx，aR（）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（）求f（x）在区间1，+）上的最小值；（）在（）的条件下，若h（x）=x2f（x），求证：当1xe2时，恒有成立2016年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1若集合A=xR|x23x，B=x|1x2，则AB=（）Ax|1x0Bx|1x3Cx|0x2Dx|0x3【考点】并集及其运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的并集即可【解答
8、】解：由A中不等式变形得：x（x3）0，解得：0x3，即A=x|0x3，B=x|1x2，AB=x|1x3，故选：B2已知直线ax+3y1=0与直线3xy+2=0互相垂直，则a=（）A3B1C1D3【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】由直线的垂直关系可得a的方程，解方程可得a值【解答】解：直线ax+3y1=0与直线3xy+2=0互相垂直，a3+3（1）=0，解得a=1故选：C3已知a=log46，b=log40.2，c=log23，则三个数的大小关系是（）AcabBacbCabcDbca【考点】对数值大小的比较【分析】利用对数函数的性质、换底公式求解【解答】解：a=log46b=lo
9、g40.2，c=log23=log49a=log46，cab故选：A4若x，y满足，则u=2x+y的最大值为（）A3BC2D【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求z的取值范围【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由u=2x+y得y=2x+u，平移直线y=2x+u，由图象可知当直线y=2x+u与BC平行时，线段BC上的任意一点都能使y=2x+u取得最大值，由，解得，即C（0，3），代入目标函数u=2x+y得z=0+3=3故选：A5已知数列an的前n项和Sn=15+91321+（1）n1（4n3），则S11=（）A21B19C19D
10、21【考点】数列的求和【分析】观察数列an的前n项和Sn的特点，a2na2n1=4，S11=（4）5+41=21【解答】解S11=15+913+1721+3337+41，=（15）+（913）+（1721）+（3337）+41，=（4）5+41=21，故答案选：D6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a=b”是“acosB=bcosA”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】acosB=bcosAsinAcosB=sinBcosAtanA=tanBA=B，即可判断出结论【解答】解：acos
11、B=bcosAsinAcosB=sinBcosA，A，B（0，），则A，B，tanA=tanBA=Ba=b，故选：C7如图程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”执行该程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，8，0，则输出a和i的值分别为（）A0，3B0，4C2，3D2，4【考点】程序框图【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b，i的值，即可得到结论【解答】解：模拟执行程序框图，可得：a=6，b=8，i=0，i=1，不满足ab，不满足a=b，b=86=2，i=2满足ab，a=62=4，i=3满足ab，a=42=2，i=4不满足ab，满足a=b，
12、输出a的值为2，i的值为4故选：D8函数f（x）的定义域为1，1，图象如图1所示；函数g（x）的定义域为1，2，图象如图2所示A=x|f（g（x）=0，B=x|g（f（x）=0，则AB中元素的个数为（）A1B2C3D4【考点】函数的图象；交集及其运算【分析】结合图象，分别求出集合A，B，再根据交集的定义求出AB，问题得以解决【解答】解：由图象可知，若f（g（x）=0，则g（x）=0或g（x）=1，由图2知，g（x）=0时，x=0，或x=2，g（x）=1时，x=1或x=1故A=1，0，1，2，若g（f（x）=0，由图1知，f（x）=0，或f（x）=2（舍去），当f（x）=0时，x=1或0或1，故
13、B=1，0，1，所以AB=1，0，1，则AB中元素的个数为3个故选：C二、填空题共6小题，每小题5分，共30分9若复数（2+ai）2（aR）是实数，则a=0【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接由复数代数形式的乘法运算化简复数（2+ai）2，又已知复数是实数，则虚部等于0，求解a值即可【解答】解：（2+ai）2=4+4ai+（ai）2=4a2+4ai，复数（2+ai）2（aR）是实数，4a=0，即a=0故答案为：010以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为x2+y22x=0【考点】抛物线的简单性质；圆的标准方程【分析】由抛物线y2=4x可求出圆心为（1，0）又过坐标原点则
14、半径为R=1再代入圆的标准方程即可求解【解答】解：抛物线y2=4x焦点（1，0）所求圆的圆心为（1，0）又所求圆过坐标原点所求圆的半径R=1所求圆的方程为（x1）2+y2=1即x22x+y2=0故答案为：x22x+y2=011如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥PABC的主视图与左视图的面积的比值为1【考点】简单空间图形的三视图【分析】主视图，左视图，都是三角形；底面ABC的射影都是正方体的棱长，P到底边的距离都是正方体的棱长，求出比值即可【解答】解：三棱锥PABC的主视图与左视图都是三角形，底面ABC的射影都是正方体的棱长，P到底边的距离（
15、三角形的高）都是正方体的棱长，所以，三棱锥PABC的主视图与左视图的面积的比值为：1故答案为：112已知函数若f（f（1）=0，则实数a=1；在的条件下，若直线y=m与y=f（x）的图象有且只有一个交点，则实数m的取值范围是（，0）1，+）【考点】分段函数的应用【分析】利用分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由分段函数的表达式得f（1）=2（1）=2，f（2）=a+1，则由f（f（1）=0，得f（2）=a+1=0，得实数a=1；在的条件下，a=1，则f（x）=，作出函数f（x）的图象如图：由图象知当x0时，函数f（x）为单调递减函
16、数，且f（x）1，当x0时，f（x）1，要使直线y=m与y=f（x）的图象有且只有一个交点，则m1或m0，即实数m的取值范围是（，0）1，+），故答案为：1；（，0）1，+）13如图，在矩形OABC中，点E，F分别在AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=+（，R），则+=【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】如图所示，建立直角坐标系通过向量的坐标运算及共面向量定理即可得出【解答】解：如图所示，建立直角坐标系设A（a，0），C（0，b），则B（a，b）AB=3AE，BC=3CF，E，F=+，（a，b）=+，解得+=故答案为：14每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中65个学生
17、及其父母以家庭为单位参加“种一棵小树，绿一方净土”的义务植树活动活动将65个家庭分成A，B两组，A组负责种植150棵银杏树苗，B组负责种植160棵紫薇树苗根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时，种植一棵紫薇树苗用时假定A，B两组同时开始种植，若使植树活动持续时间最短，则A组的家庭数为25，此时活动持续的时间为h【考点】函数模型的选择与应用；简单线性规划【分析】根据条件求出两种树苗种植的总时间，得到若使植树活动持续时间最短，则两种树苗种植的时间和人数应该对应成比例，建立比例关系进行求解即可【解答】解：若使植树活动持续时间最短，则两种树苗种植的时间和人数应该对应成比例，150棵银杏树，一个家
18、庭种植完需要的时间为150=60h，160棵紫薇树苗，一个家庭种植完需要的时间为160=96h，对应的时间比为60：96=5：8，则65个家庭安装这个比例进行分配，则A组的家庭数为=25，活动持续的时间为=h，故答案为：25，三、解答题（共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15已知函数（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间上的最大值和最小值【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（）由两角差的正弦公式以及二倍角公式和辅助角公式化简函数，由此得到周期（）由x的范围得到2x+的范围，由此确定最大值与最小值【解答】解：（）=所以f（x）的最小正周期T=
19、（）当时，当，即时，f（x）取得最大值2；当，即时，f（x）取得最小值16已知公差为正数的等差数列an满足a1=1，2a1，a31，a4+1成等比数列（） 求an的通项公式；（） 若a2，a5分别是等比数列bn的第1项和第2项，求使数列的前n项和Tn的最大正整数n【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（）通过设数列an的公差为d（d0），利用2a1（a4+1）=化简、计算可知d=2，进而可得结论；（） 通过（）知数列是以为首项、以为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式可知问题转化解不等式，计算即得结论【解答】解：（）设数列an的公差为d（d0），由已知可得2a1（a4+1）=，即2（1+3d
20、+1）=（1+2d1）2，整理得2d23d2=0，解得：（舍去）或d=2，所以an的通项公式为an=2n1，nN*；（） 由（）知b1=a2=3，b2=a5=9，所以等比数列bn的公比q=3，于是是以为首项、以为公比的等比数列，所以，由，得，即，则满足不等式的最大正整数n=417如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，BAD=60，M是PD的中点（）求证：OM平面PAD；（）平面PBD平面PAC；（）当三棱锥CPBD的体积等于时，求PA的长【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【分析】（I）由
21、中位线定理可知OMPB，故而OM平面PAB；（II）由菱形的性质得BDAC，由PA平面ABCD得BDPA，故BD平面PAC，于是平面PBD平面PAC；（III）根据VCPBD=VPBCD，计算出SBCD代入体积公式得出棱锥的高PA【解答】证明：（）在PBD中，因为O，M分别是BD，PD的中点，所以OMPB又OM平面PAB，PB平面PAB，所以OM平面PAB（）因为底面ABCD是菱形，所以BDAC因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD又ACPA=A，所以BD平面PAC又BD平面PBD，所以平面PBD平面PAC解：（）因为底面ABCD是菱形，且AB=2，BAD=60，所以SBCD=又
22、VCPBD=VPBCD，三棱锥PBCD的高为PA，所以，解得18“爱心包裹”是中国扶贫基金会依托中国邮政发起的一项全民公益活动，社会各界爱心人士只需通过中国邮政网点捐购统一的爱心包裹，就可以一对一地将自己的关爱送给需要帮助的人某高校青年志愿者协会响应号召，组织大一学生作为志愿者，开展一次爱心包裹劝募活动将派出的志愿者分成甲、乙两个小组，分别在两个不同的场地进行劝募，每个小组各6人爱心人士每捐购一个爱心包裹，志愿者就将送出一个钥匙扣作为纪念以下茎叶图记录了这两个小组成员某天劝募包裹时送出钥匙扣的个数，且图中甲组的一个数据模糊不清，用x表示已知甲组送出钥匙扣的平均数比乙组的平均数少1个（） 求图中
23、x的值；（）“爱心包裹”分为价值100元的学习包，和价值200元的“学习+生活”包，在乙组劝募的爱心包裹中100元和200元的比例为3：1，若乙组送出的钥匙扣的个数即为爱心包裹的个数，求乙组全体成员劝募的爱心包裹的价值总额；（）在甲组中任选2位志愿者，求他们送出的钥匙扣个数都多于乙组的平均数的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图【分析】（）由茎叶图能求出乙组送出钥匙扣的平均数，从而得到甲组的送出钥匙扣的平均数，由此能求出x（） 乙组送出钥匙扣的个数为96，即劝募的总包裹数为96，按照3：1的比例，价值100元的包裹有72个，价值200元的包裹有24个，由此能求出所求爱心包裹
24、的总价值（）乙组送出钥匙扣的平均数为16个甲组送出钥匙扣的个数分别为8，9，14，18，20，21，由此利用列举法能求出他们送出的钥匙扣个数都多于乙组的平均数的概率【解答】解：（）由茎叶图可知乙组送出钥匙扣的平均数为则甲组的送出钥匙扣的平均数为15由8+9+14+（10+x）+20+21=156=90，解得x=8 （） 乙组送出钥匙扣的个数为96，即劝募的总包裹数为96，按照3：1的比例，价值100元的包裹有72个，价值200元的包裹有24个，故所求爱心包裹的总价值=72100+24200=12000元 （）乙组送出钥匙扣的平均数为16个甲组送出钥匙扣的个数分别为8，9，14，18，20，21
25、若从甲组中任取两个数字，所有的基本事件为：（8，9），（8，14），（8，18），（8，20），（8，21），（9，14），（9，18），（9，20），（9，21），（14，18），（14，20），（14，21），（18，20），（18，21），（20，21），共15个基本事件其中符合条件的基本事件有（18，20），（18，21），（20，21），共3个基本事件，故所求概率为19已知F1（1，0）和F2（1，0）是椭圆的两个焦点，且点在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）直线l：y=kx+m（m0）与椭圆C有且仅有一个公共点，且与x轴和y轴分别交于点M，N，当OMN面积取最小值时，求此时直线l的方
26、程【考点】椭圆的简单性质【分析】（）由F1（1，0）和F2（1，0）是椭圆的两个焦点，且点在椭圆C上，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程（）由，得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、基本不等式、椭圆性质，结合已知条件能求出直线方程【解答】（共13分）解：（）F1（1，0）和F2（1，0）是椭圆：的两个焦点，且点在椭圆C上，依题意，c=1，又，故a=2所以b2=3故所求椭圆C的方程为（）由，消y得（4k2+3）x2+8kmx+4m212=0，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，=64k2m24（4k2+3）（4m212）=0，整理得m2=4k2+3
27、 由条件可得k0，N（0，m）所以 将m2=4k2+3代入，得因为|k|0，所以，当且仅当，即时等号成立，SOMN有最小值因为m2=4k2+3，所以m2=6，又m0，解得故所求直线方程为或 20已知函数f（x）=x2alnx，aR（）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；（）求f（x）在区间1，+）上的最小值；（）在（）的条件下，若h（x）=x2f（x），求证：当1xe2时，恒有成立【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，由已知函数f（x）=x2alnx在x=1处取得极值，即f（1）=0，求出a的值，然后检验，满
28、足题意即可；（）由（）得，定义域为（0，+），然后分类讨论，当a0时，f（x）的单调增区间为1，+），最小值为f（1）=1；当0a2，f（x）在区间1，+）上单调递增，最小值为f（1）=1；当a2时，函数f（x）在取得最小值，综上当a2时，f（x）在区间1，+）上的最小值为1；当a2时，f（x）在区间1，+）上的最小值为；（）由h（x）=x2f（x）得h（x）=2lnx，当1xe2时，0lnx2，0h（x）4，欲证，只需证x4h（x）4+h（x），即，设，求出（x），当1xe2时，（x）0，（x）在区间（1，e2）上单调递增，当1xe2时，（x）（1）=0，即，则可证明结论成立【解答】（）解：
29、由f（x）=x2alnx，定义域为（0，+），得函数f（x）=x2alnx在x=1处取得极值，f（1）=0，即2a=0，解得a=2经检验，满足题意，a=2；（）解：由（）得，定义域为（0，+）当a0时，有f（x）0，f（x）在区间1，+）上单调递增，最小值为f（1）=1；当0a2，由f（x）=0得，且当时，f（x）0，f（x）单调递减，当时，f（x）0，f（x）单调递增，f（x）在区间1，+）上单调递增，最小值为f（1）=1；当a2时，当时，f（x）0，f（x）单调递减，当时，f（x）0，f（x）单调递增，函数f（x）在取得最小值综上当a2时，f（x）在区间1，+）上的最小值为1；当a2时，f（x）在区间1，+）上的最小值为（）证明：由h（x）=x2f（x）得h（x）=2lnx当1xe2时，0lnx2，0h（x）4，欲证，只需证x4h（x）4+h（x），即证，即设，则当1xe2时，（x）0，（x）在区间（1，e2）上单调递增当1xe2时，（x）（1）=0，即，故当1xe2时，恒成立2016年8月1日
