1、中数网 2005年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类） 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷 1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共40分） 注意事项： 1答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试卷上。 一、本大题共8小题每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）设集合M=x| x1，P=x| x2
2、1，则下列关系中正确的是 （A）MP （B）PM （C）MP （ D）（2）为了得到函数的图象，只需把函数上所有点 （A）向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 （B）向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 （C）向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 （D）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度（3）“m=”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m2)x+(m+2)y3=0相互垂直”的 （A）充分必要条件 （B）充分而不必要条件 （C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件 （4）若，且，则向量与的夹角为 （A）30 （B）60 （C）120 （D）150
3、 （5）从原点向圆 x2y212y27=0作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为 （A） （B） （C） （D）（6）对任意的锐角，下列不等关系中正确的是 （A）sin(+)sin+sin （B）sin(+)cos+cos （C）cos(+)sinsin （D）cos(+)0；. 当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 .（14）已知n次多项式, 如果在一种算法中，计算（k2，3，4，n）的值需要k1次乘法，计算的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算的值共需要 次运算 下面给出一种减少运算次数的算法：（k0， 1，2，n1）利用该算法，计算的值共需要6次运算，计算的值共需
4、要 次运算三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15）（本小题共12分） 已知=2，求 （I）的值； （II）的值（16）（本小题共14分） 如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AA14，点D是AB的中点， （I）求证：ACBC1； （II）求证：AC 1/平面CDB1； （III）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值 （17）数列an的前n项和为Sn，且a1=1，n=1，2，3，求 （I）a2，a3，a4的值及数列an的通项公式； （II）的值.（18）（本小题共13分） 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙
5、每次击中目标的概率， （I）甲恰好击中目标的2次的概率； （II）乙至少击中目标2次的概率； （III）求乙恰好比甲多击中目标2次的概率（19）（本小题共14分） 已知函数f(x)=x33x29xa, （I）求f(x)的单调递减区间；（II）若f(x)在区间2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值（20）（本小题共14分） 如图，直线 l1：ykx（k0）与直线l2：ykx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2（I）分别用不等式组表示W1和W2；（II）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d2，求点P的轨迹C的方程；（III）设不过原点O
6、的直线l与（II）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于M3，M4两点求证OM1M2的重心与OM3M4的重心重合2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1） C （2）A （3）B （4）C （5）B （6）D （7）C （8）B二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）x=1；(1, 0) （10）20 （11）1, 2)(2, +) （12） （13） （14）65；20三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共12分）解：（I） tan=2, ;所以=；（II）由(
7、I), tan=, 所以=. （16）（共14分）（I）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4AB=5， ACBC，且BC1在平面ABC内的射影为BC， ACBC1；（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE， D是AB的中点，E是BC1的中点， DE/AC1， DE平面CDB1，AC1平面CDB1， AC1/平面CDB1；（III） DE/AC1， CED为AC1与B1C所成的角，在CED中，ED=AC 1=，CD=AB=，CE=CB1=2， ， 异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值.（17）（共13分）解：（I）由a1=1，n=1，2，3，得，由（n2），得（n2）
8、，又a2=，所以an=(n2), 数列an的通项公式为；（II）由（I）可知是首项为，公比为项数为n的等比数列， =. （18）（共13分）解：（I）甲恰好击中目标的2次的概率为 （II）乙至少击中目标2次的概率为； （III）设乙恰好比甲多击中目标2次为事件A，乙恰击中目标2次且甲恰击中目标0次为事件B1，乙恰击中目标3次且甲恰击中目标1次为事件B2，则AB1B2，B1，B2为互斥事件=. 所以，乙恰好比甲多击中目标2次的概率为.（19）（共14分） 解：（I） f (x)3x26x9令f (x)0，解得x3， 所以函数f(x)的单调递减区间为（，1），（3，） （II）因为f(2)8121
9、8a=2a，f(2)81218a22a， 所以f(2)f(2)因为在（1，3）上f (x)0，所以f(x)在1, 2上单调递增，又由于f(x)在2，1上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927， 即函数f(x)在区间2，2上的最小值为7（20）（共14分）解：（I）W1=(x, y)| kxykx, x0，W2=(x, y)| kxy0， （II）直线l1：kxy0，直线l2：kxy0，由题意得 , 即， 由P(x, y)W，知k2x2y20， 所以 ，即, 所以动点P的轨
10、迹C的方程为； （III）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为xa（a0）由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以OM1M2，OM3M4的重心坐标都为（a，0），即它们的重心重合， 当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n0） 由，得 由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k2m20且=0设M1，M2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)，则, , 设M3，M4的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)， 由得从而，所以y3+y4=m(x3+x4)+2nm(x1+x2)+2ny1+y2, 于是OM1M2的重心与OM3M4的重心也重合第 8 页 共 8 页
