1、上海市长宁区2021届高三数学下学期4月教学质量检测（二模）试题考生注意：1答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码2解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分3本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1. 设集合，则 . 2. 复数满足（为虚数单位），则 . 3. 已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的标准差是 . 4. 若向量，则向量与的夹角为_ 5. 若实数满足，则的
2、最小值为 . 6. 函数的最小正周期为_ 7. 在公差不为零的等差数列中，是与的等比中项，则8. 在二项式的展开式中任取两项，则所取两项中至少有一项的系数为偶数的概率是 . 9. 设数列的前项和为，则 .10. 定义域为的奇函数，在上单调递减. 设，若对于任意，都有，则实数的取值范围为 . 11. 设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且不是椭圆的顶点. 若，且，则实数的值为 12. 在中，若的面积为，则 . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13. 设（），则“图像经过点”是“是偶函数”的（ ）. A
3、. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件 ；C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件.14. 直线的参数方程是，则的方向向量可以是（ ）.A； B； C； D.15. 设正四棱柱的底面边长为1，高为2，平面经过顶点，且与棱、所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面共有（ ）个.A1； B2； C3； D4.16. 已知函数与满足：对任意，都有.命题：若是增函数，则不是减函数；命题：若有最大值和最小值，则也有最大值和最小值.则下列判断正确的是（ ）.A. 和都是真命题 B. 和都是假命题 C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题
4、必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤17（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的中点. 已知，. （1）求圆柱的侧面积；（2）求证：18（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）设.（1）若，求的值；（2）设，若方程有两个解，求的取值范围. 19（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某种生物身体的长度（单位：米）与其生长年限（单位：年）大致关系如下：（其中（为自然对数的底2.71828），该生物出生时）.（1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过8米（精确到0.1）；（2）该生物出生
5、年后的一年里身长生长量可以表示为，求的最大值（精确到0.01）.20（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设双曲线的上焦点为，、是双曲线上的两个不同的点（1）求双曲线的渐近线方程；（2）若，求点纵坐标的值；（3）设直线与轴交于点，关于轴的对称点为. 若、三点共线，求证：为定值21（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）数列满足：，且对任意，都有，. （1）求，； （2）设，求证：对任意，都有；（3）求数列的通项公式.2020学年第二学期高三数学质量检测试卷参考答案与评分标准一填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分
6、，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13. C 14. B 15. D 16 . C三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必须的步骤17（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）因为，所以， .2所以圆柱的侧面积为 6(2)因为底面，所以 .3又因为，所以平面 .6因为平面，所以. .818（本题满分14分，第1小题满分8分，第2
7、小题满分6分）解：（1）因为，所以 .2 4 .6 .8 （2） .2由及得 .3因为在内的解为和 .4所以，解得 .6 19（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）解不等式，得， .2所以 .5所以需要经过年 6（2） 3因为，所以，5又因为（当时取等），6所以 所以最大为1.24（当时取得）. 820（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）解：（1）双曲线的渐近线方程为； 4（2）点的坐标为， 1设，则 .2因为点在双曲线上，所以，代入上式，得，解得或 .4因为，所以. 6（3）设，直线的方程为 1则 .2因为、三点共线，所以 .3得，因为，所以 * 4将代入双曲线方程得，代入*式得 .621（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）解：（1），得； .1由，得； .2当时， .3又由，得，与矛盾，所以，. .4（2）假设存在，使得，即，则 .1由，及，得， 3由，及，得 4得，与矛盾， 5所以对任意，都有. .6（3）由（2）知 .2 所以对任意，都有 4当时，得，又由 ，得， 6设，由，及得 7所以对任意，进而 .8
