1、平面向量基本定理(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.(多选题)如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,可以作为平面内所有向量的一个基底的是()A.e1与e1+e2B.e1-2e2与e1+2e2C.e1+e2与e1-e2D.e1+3e2与6e2+2e1【解析】选ABC.选项A中,设e1+e2=e1,则无解;选项B中,设e1-2e2=(e1+2e2),则无解;选项C中,设e1+e2=(e1-e2),则无解;选项D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以两向量是共线向量.2.如图,在OAB中,P为线
2、段AB上的一点,=x+y,且=2,则()A.x=,y=B.x=,y=C.x=,y=D.x=,y=【解析】选A.由题意知=+,又=2,所以=+=+(-)= +,所以x=,y=.3.在矩形ABCD中,O是对角线的交点,若=e1,=e2,则=()A.(e1+e2)B.(e1-e2)C.(2e2-e1)D.(e2-e1)【解析】选A.因为O是矩形ABCD对角线的交点,=e1,=e2,所以=(+)=(e1+e2),故选A.4.平行四边形ABCD中,M是BC的中点,若=+,则+=()A.B.2C.D.【解析】选D.因为=+,=+=+,=-.所以=+=+(-),所以解得则+=.5.设点O为面积为4的ABC内
3、部一点,且有+2=0,则AOC的面积为()A.2B.1C.D.【解析】选B.如图,以,为邻边作OADB,则=+,结合条件+2=0知,=-2,设OD交AB于M,则=2,所以=-,故O为CM的中点,所以SAOC=SCAM=SABC=4=1.6.如图所示,在ABC中,点M,N分别在AB,AC上,且=2,=,线段CM与BN相交于点P,且=a,=b,则用a和b表示为()A.=a+bB.=a+bC.=a+bD.=a+b【解析】选A.由于=a,=,=b,=b,则=-=b-a,=-=b-a.设= ,= ,由-=,得=a,得解得因此=+=a+ =a+b.二、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,在平行四边形A
4、BCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点,若=+(,R),则+=_.【解析】因为=+=+=+,所以=+,所以=,=,+=.答案:8.如图所示,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则mn的最大值为_【解析】因为点O是BC的中点,所以=(+).又因为=m,=n,所以=+.又因为M,O,N三点共线,所以+=1,即m+n=2,所以mn=1,当且仅当m=n=1时取等号,故mn的最大值为1.答案:1三、解答题(每小题10分,共20分)9.在平行四边形ABCD中,点E是AD边的中点,BE与AC相交于点F,若=m+n (m,nR),求的值.
5、【解析】方法一:根据题意可知AFECFB,所以=,故=(-)=-,所以=-2.方法二:如图,=2,=m+n,所以=+=m+(2n+1),因为F,E,B三点共线,所以m+2n+1=1,所以=-2.10.已知点G是ABO的重心,M是AB边的中点.(1)求+;(2)若PQ过ABO的重心G,且=a,=b,=m a,=n b,求证:+=3.【解析】(1)因为+=2,又2=-,所以+=-+=0.(2)因为=(a+b),且G是ABO的重心,所以=(a+b).由P,G,Q三点共线,得,所以有且只有一个实数,使=,又=-=(a+b)-ma=a+b,=-=nb-(a+b)=-a+b,所以a+b= 又a,b不共线,
6、所以消去,整理得3mn=m+n,故+=3.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.如图,在正方形ABCD中,E为DC的中点,若=+,则+的值为()A.B.-C.1D.-1【解析】选A.由题意得=+=+-=-,所以=-,=1,所以+=.2.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为()A.0,0B.1,1C.3,0D.3,4【解析】选D.因为向量e1与e2不共线,所以解得3.(多选题)已知平行四边形ABCD,则下列各组向量中,不是该平面内所有向量基底的是()A
7、.,B.,C.,D.,【解析】选ABC.D项由于,不共线,所以是一个基底.4.如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=()A.-B.-C.-+D.-+【解析】选C.=+=+=-+=-+=-+(+)=-+.二、填空题(每小题5分,共20分)5.如图,在梯形ABCD中,ADBC,且AD=BC,E,F分别为线段AD与BC的中点.设=a,=b,则=_,=_,=_(用向量a,b表示).【解析】=+=-b-a+b=b-a,=+=-b+ =b-a,=+=-b- =a-b.答案:b-ab-aa-b6.若e1,e2是平面内所有向量的一个基底,且a=3e1-4
8、e2,b=6e1+ke2不能构成一个基底,则k的值为_.【解析】当ab时,a,b不能构成一个基底,故存在,使得a=b,即3e1-4e2=(6e1+ke2),所以6=3,且k=-4.解得=,k=-8.答案:-87.设D,E分别是ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=1+2 (1,2为实数),则1+2的值为_.【解析】=+=+=+(-)=-+,因为=1+2,所以1=-,2=,故1+2=.答案:8.已知平行四边形ABCD中,E为CD的中点,=y,=x,其中x,yR,且均不为0.若,则=_.【解析】因为=-=x-y,由,可设=,即x-y=(- )= =-+,所以则=.答案:三、解答题
9、(每小题10分,共30分)9.如图所示,平行四边形ABCD中,M为DC的中点,N是BC的中点, 设=b,=d, =m,=n.(1)试以b,d为基底表示;(2)试以m,n为基底表示.【解析】(1)=-=(+)-(+) (2)m=+=d+,n=+=+d,所以2n=2+d.由消去d,得=n-m.10.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于O点,线段OD上有一点M满足=3,线段CO上有一点N满足=(0),设=a,=b,已知= a-b,试求实数,的值.【解析】依题意得=b-a,=a+b,且=(a-b)=a-b,=+=(a+b),所以=+=b+=a+b,=+=a+b+ =a+b,即=(a+b)=a+b,由平面向量基本定理,得解得11.如图所示,在ABCD中,=a,=b,BM=BC,AN=AB.(1)试用向量a,b来表示,;(2)AM交DN于O点,求AOOM的值.【解析】(1)因为AN=AB,所以=a,所以=-=a-b.因为BM=BC,所以=b,所以=+=a+b.(2)因为A,O,M三点共线,所以,设=,则=-= -=-b=a+b.因为D,O,N三点共线,所以,设=,则a+b= .由于向量a,b不共线,则解得所以=,=,所以AOOM=311.
