1、高考资源网（） 您身边的高考专家5.3.2等比数列的前n项和课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知等比数列an各项为正,a3,a5,-a4成等差数列,Sn为an的前n项和,则=()A.2B.C.D.答案C解析设等比数列an的公比为q,则有q0,又a3,a5,-a4成等差数列,a3-a4=2a5,a1q2-a1q3=2a1q4,即1-q=2q2,解得q=-1(舍去)或q=,q=,=1+q3=1+.2.(2021江西南昌高三二模)已知等比数列an中,a1+a4=2,a2+a5=4,则数列an的前6项和S6=()A.12B.14C.16D.18答案B解析设公比为q,则q=2,a1+a4=a1+a1q3
2、=9a1=2,a1=,S6=14.故选B.3.在各项均为正数的等比数列an中,若am+1am-1=2am(m2),数列an的前n项积为Tn,若T2m-1=512,则m的值为()A.4B.5C.6D.7答案B解析因为an是正项等比数列,所以am+1am-1=2am=,则am=2,又T2m-1=a1a2a2m-1=,所以22m-1=512=29,m=5.故选B.4.(2020甘肃武威第六中学高三二模)已知等比数列an,a1=1,a4=,且a1a2+a2a3+anan+1k,则k的取值范围是()A.B.,+C.D.,+答案D解析设等比数列an的公比为q,则q3=,解得q=,an=.anan+1=.数
3、列anan+1是首项为,公比为的等比数列.a1a2+a2a3+anan+1=1-,k.故k的取值范围是,+.5.(多选)(2020山东济南高二期末)若Sn为数列an的前n项和,且Sn=2an+1(nN+),则下列说法正确的是()A.a5=-16B.S5=-63C.数列an是等比数列D.数列Sn+1是等比数列答案AC解析因为Sn为数列an的前n项和,且Sn=2an+1(nN+),所以S1=2a1+1,因此a1=-1.当n2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,所以数列an是以-1为首项,以2为公比的等比数列,故C正确;因此,a5=-124=-16,故A正确;又Sn=2
4、an+1=-2n+1,所以S5=-25+1=-31,故B错误;因为S1+1=0,所以数列Sn+1不是等比数列,故D错误.故选AC.6.在等比数列an中,公比为2,前n项和为Sn,若S5=1,则S10=.答案33解析S5=31a1=1,a1=,S10=1 023=33.7.等比数列an中,若前n项和Sn=2n-1,则+=.答案(4n-1)解析当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,当n=1时,a1=S1=21-1=1适合上式,an的通项公式为an=2n-1.=4n-1,即数列构成以1为首项,4为公比的等比数列.前n项和Tn=+(4n-1).8.已知数列an的前n项和
5、为Sn,且对任意nN+,有2Sn=3an-2,则a1=;Sn=.答案23n-1解析令n=1,则2S1=3a1-2,得a1=2;由2Sn=3an-2,得当n2时,2Sn-1=3an-1-2,-得2an=3an-3an-1,即当n2时,an=3an-1,又a1=2,故数列an是以2为首项,3为公比的等比数列,an=23n-1,Sn=3n-1.9.(2020湖南长郡中学高三三模)若数列an的前n项和为Sn,且a1=1,a2=2,(Sn+1)(Sn+2+1)=(Sn+1+1)2.(1)求Sn;(2)记数列的前n项和为Tn,证明:1Tn1,且Tn=1+=2-2.所以1Tn2.10.已知an是首项为1,公
6、差为2的等差数列,Sn表示an的前n项和.(1)求an及Sn;(2)设bn是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0.求bn的通项公式及其前n项和Tn.解(1)因为an是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.故Sn=1+3+(2n-1)=n2.(2)由(1)得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4.又因为b1=2,bn是公比q=4的等比数列,所以bn=b1qn-1=24n-1=22n-1.从而bn的前n项和Tn=(4n-1).关键能力提升练11.设数列an(nN
7、+)的各项均为正数,前n项和为Sn,log2an+1=1+log2an,且a3=4,则S6=()A.128B.65C.64D.63答案D解析因为log2an+1=1+log2an,所以log2an+1=log22an,所以an+1=2an,所以数列an是公比为2的等比数列.又因为a3=4,所以a1=1,S6=63.12.(2020全国,文6)记Sn为等比数列an的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则=()A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1答案B解析设等比数列an的公比为q.a5-a3=12,a6-a4=24,=q=2.又a5-a3=a1q4-a1q2=1
8、2a1=12,a1=1.an=a1qn-1=2n-1,Sn=2n-1.=2-=2-21-n.故选B.13.等比数列an共有奇数项,所有奇数项和S奇=255,所有偶数项和S偶=-126,末项是192,则首项a1=()A.1B.2C.3D.4答案C解析设等比数列an共有2k+1(kN+)项,公比为q,则a2k+1=192,则S奇=a1+a3+a2k-1+a2k+1=(a2+a4+a2k)+a2k+1=S偶+a2k+1=-+192=255,解得q=-2,而S奇=255,解得a1=3,故选C.14.(2020湖南长郡中学高三三模)公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.让乌龟在阿基里斯
9、前面1 000米处开始,与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1 000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他10米.当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然领先他1米所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若乌龟恰好领先阿基里斯10-2米时,乌龟爬行的总路程为()A.米B.米C.米D.米答案D解析由题意,乌龟每次爬行的距离组成等比数列an,且a1=100,q=,an=10-2,Sn=(米).故选D.15.(2020天津高三模拟)已知数列an是以1为首项,2为公差的等差数列,bn是以1为首项,2为公比的等比数列
10、,设cn=,Tn=c1+c2+cn(nN+),则当Tn2 020时,n的最大值为.答案9解析an是以1为首项,2为公差的等差数列,an=2n-1.bn是以1为首项,2为公比的等比数列,bn=2n-1.Tn=c1+c2+cn=+=a1+a2+a4+=(21-1)+(22-1)+(24-1)+(22n-1-1)=2(1+2+4+2n-1)-n=2-n=2n+1-n-2.Tn2 020,2n+1-n-22 020,解得n9.故当Tn1时,记cn=,求数列cn的前n项和Tn.解(1)由题意,有即解得故(2)由d1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=,于是Tn=1+,Tn=+.-可得Tn=2+=
11、3-,故Tn=6-.学科素养拔高练18.(2020辽宁大连高二月考)若数列an的前n项和Sn满足Sn=2an+n,bn=log2(1-an).(1)求证:数列an-1是等比数列;(2)求数列的前n项和Tn;(3)设cn=anbn,求数列cn的前n项和Wn.(1)证明当n=1时,a1=S1=2a1+1,可得a1=-1;当n2时,根据题意,得Sn-1=2an-1+(n-1),所以Sn-Sn-1=(2an+n)-2an-1+(n-1)=2an-2an-1+1,即an=2an-1-1.an-1=2(an-1-1),即=2(n2).数列an-1是首项为-2,公比为2的等比数列.(2)解由(1)知,an-1=(-2)2n-1=-2n,an=1-2n.bn=log2(1-an)=log22n=n,则Tn=1-+=1-.(3)解cn=n(1-2n)=n-n2n,令dn=n2n,En=d1+d2+d3+dn-1+dn,则En=121+222+323+(n-1)2n-1+n2n,等式两边同时乘以2可得2En=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1,两式相减可得-En=21+22+23+24+2n-n2n+1.化简可得En=(n-1)2n+1+2.令Fn=1+2+3+n=,则Wn=Fn-En=-(n-1)2n+1-2.- 5 - 版权所有高考资源网
